中考28汇编1．如图，在四边ABCD 中，BC=DC ，∠BAD+∠BCD=180°，AC ⊥BC ，O 是AB 的中点 （1） 如图1，求证：∠OCD=∠OBC（2） 如图2，E 是AC 上一点，连接OE 并延长交AD 于点F ，连接BD ，分别交AC 、OC 于点M 、N ，若∠FOC=3∠CBD ，BN DM 76，试探究线段OE 和EF 之间的数量关系，并证明你的结论。

DCAO NMFEDCBA2．△ABC ，∠ACB=90°，点D 在BC 上，点E 在AD 上，∠CEB=90°，∠CED=∠CBA ，CE 的延长线交AB 于点F ，连接DF 。

（1） 如图1，求证：∠EFD=∠DBE ； （2） 如图2，若32cos =∠CAB ，DF 与BE 交于点G ，猜想GF 与DB 之间的数量关系并证明。

EDCBAGEDCBA3．已知，如图1，等腰直角△ABC 中，AC=BC ，等腰直角△CDE 中，CD=DE ，AD ∥BC ，CE 与AB 相交于点F ，AB 与CD 相交于点O ，连接BE （1） 求证：F 为CE 中点；（2） 如图2，过点D 作DG ⊥BE 于G ，连接AE 交DG 于点H ，连接HF ，请探究线段HF 与BC 之间的数量及位置关系，并证明你的结论。

OFEDCBAOG HFEDCBA4如图在四边形ABCD 中，连结BD 、AC 相交于F ，AB=BC ，AD=DE=DC ，∠ABC+∠EDC=180°，且AB AE AD ⋅=2。

（1） 如图1，求证：∠ADE=2∠DCA ；（2） 如图2，过点B 作BH ⊥CD 于点H ，交AC 于点G ，连结EC 交BD 于点P ，交BH 于点Q ，若31tan =∠ACD ，试探究线段PE 与PQ 之间的数量关系，并证明你的结论。

PG H QFEDCB AFEDCB A5．在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，54sin =B ，作CH ⊥AB 于点H ，D 、K 分别为边AB 、AC 上的点，连接CD 、DK ，在射线DK 上取一点E ，使∠DCE=∠B ，且CE CD CK BC ⋅=⋅54。

（1） 如图，求证：∠CED=90°；（2） 连接AE 并延长交直线BC 于点G ，探究线段BC 、BG 、DH 之间的数量关系，并证明你的结论。

KH ED CBA HCB A HCBA6．如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 边上，连接AD ，点E 在直线AC 上，直线DE 交直线BA 于点F ，且∠BDA=∠CDE（1） 求证：2AB CE BF =⋅；（2） 当∠BAC=120°时，作射线CF ，在射线CF 上确定一点G ，使∠BGC=∠ABC ，直线BG 交直线AC于H ，请你猜想AB 、CE 、AH 这三条线段之间的数量关系，并且证明你的猜想。

F EDAFEDA7．已知，△ABC 中，54sin =∠A ，点D 为AB 中点，点E 、F 分别是射线AC 、CB 上的点，连接DE 、EF 、DF ，∠EDF=90°，∠A=∠EFD （1） 求证：∠ACB=90°；（2） 若点D 关于EF 的对称点为N ，连接CN ，过点F 作FH ⊥CN 交直线CN 于点H ，试探究CE 、CN 、FH 三者之间的关系，并证明你的结论。

FEDADB8．如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点M ，AC 平分∠BAD ，∠ABD 的角平分线交AC 于点E ，∠CBD=∠CAD ，点A 关于直线BE 的对称点F 在BD 上，连接AF 。

（1） 如图①，求证：∠BCE=2∠CAF ； （2） 如图②，过C 作BD 的垂线分别交BD 、BE 于点P 、G ，过E 作AB 的垂线交AB 于点H ，若∠BCE=4∠GCE ，BE=3AE ，22:15: BD BH ，试探究线段BD 、CG 、DF 之间的数量关系，并证明你的结论。

DB9．在△ABC 与△ADE 中，点E 在BC 边上，AE AD 54，AG 为△ADE 的中线，且∠EAG=∠ACB ， MFEDCBAGMHPFEDCBA∠DAG=∠B（1） 如图1，求证：AC AB 54； （2） 如图2，点F 是AC 中点，连接DF ，∠AFD=∠DAE ，连接CD 并延长交AB 于点K ，过点D 作DQ∥BC 交BK 于点Q ，①求证：点Q 为BK 的中点；②试探究线段BE 与DQ 的数量关系，并证明你的结论。

GQKFDCBAGEDCBA10．如图，△ABC 中，∠CAB=45°，点D 在△ABC 部，∠ADC=135°，点E 在△ABC 外部，EA=EB ，DE 平分∠ADB（1） 如图1，求证∠DBA=∠ACD ；（2） 如图2，若CB ⊥AB ，猜想线段CD 与AC 之间的数量关系并证明。

EDCB A DC BA11．△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 边上一点，连接AD ，E 为△ABC 外一点，连接DE 、AE 和BE ，AD=DE ，BE ∥AC 。

（1） 如图1，求证：∠BED=∠DAB ；（2） 如图2，当D 为BC 中点时，作DF ⊥AC 于F ，连接BF 交DE 于点H ，作AK ⊥BF 分别交BF 、DF于点G 、K ，AF= 4DK ，试探究线段DH 和AE 之间的数量关系，并证明你的结论。

ED AGHK FEDCBA12．△ABC ，点D 在AB 上，AD=AC ，连接CD ，点E 、F 分别在线段BC 、射线CA 上， ∠EDF=∠ACB ，点G 在DF 上，DE AD BC DG ⋅=⋅ （1） 如图，求证：∠DGE=∠BAC ； （2） 若AD=3BD ，87cos =∠BAC ，射线CG 交AB 于点H ，探究线段DH ，FA ，FC 之间的数量关系，并证明你的结论。

13．如图，在△ABC 中，BC AC 3=，点D 在AB 边上，∠ADC=∠ACB ，BA BD BC ⋅=2（1） 求证：∠A=30°；（2） 点E 在线段AB 上，连接CE ，把射线EC 绕点E 顺时针针旋转30°，所得射线与过点C 且垂直EC 的直线相交于点F ，取EF 的中点G ，连接BG 并延长，交射线AC 于点H ，请探究线段CH 、CD 、BE 之间的数量关系，并证明你的结论。

14．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，tan∠ABC=2，BD为AC边上的中线，点F在线段BD上，且DF=2BF，连接CF并延长，交AB边于点E（1）求证：∠CEA=90°；（2）点P在线段CA上，过点P作PH∥CE，交线段AB于点G，交射线BD于点H，请探究线段PC、PD、GH之间的数量关系，并证明你的结论。

15．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC边于点D，CE平分∠ACB，交AB边于点E，BD与CE交于点F ，且CA CD CE CF ⋅=⋅ （1） 求证：∠A=60°；（2） 点G 在射线AF 上，点H 在线段AC 上，GH ⊥AC ，若FC=3DF ，请探究线段AG 、DH 、EF 之间的数量关系，并证明你的结论。

FEDCBA FEDCBA16．如图，在△ABC 是中，∠ACB=90°，AC=BC ，点D 在射线AC 上，点E 在线段BD 上，点F 是线段AB 的中点，连接EF ，且BD BE BF ⋅=22（1） 求证：∠BEF=45°；（2） 过点A 作AH ⊥BD ，垂足为点H ，连接HC ，延长FE ，交HC 于点G ，请探究线段GE 、EF 、BH 之间的数量关系，并证明你的结论。

F EDCBACBA17．已知：正方形ABCD 中，点E 在射线BC 上，作射线DE ，其中0°<∠CDE<45°，过点B 作DE 的垂线分别交射线DC 、射线DE 于点F 、H ，作射线AE 交射线DC 于点G （1） 如图，求证：AGGEAB CF； （2） 作射线AC 交射线BF 于点Q ，点P 是线段AG 上不与点A 、G 重合的一点，连接CP 、PQ 、GH ，若∠CPQ=∠GHQ+∠CED ，探究线段PQ 、PC 、PG 之间的数量关系，并证明你的结论。

HG F E D CB A DC B A18.如图，在△ABC 中，∠ABC=120°，AB=CB ，BH ⊥AC 于H ，D 是射线BH 上一点，连接AD ，以点A 为旋转中心，将射线AD 顺时针旋转ABH 21，交射线BH 于E ，在射线AE 上取一点F ，连接FC ，点D 在AF 的垂直平分线上（1） 如图1，求证：∠BCF=90°；（2） 连接BF ，取BF 的中点G ，连接DG ，探究线段FC 、DG 、BH 三条线段间的数量关系，并证明你的结论。

H FE D B A H B A H BA19.已知△ABC 为等边三角形，点D 为AB 边的中点，点E 在过B 点且平行于AC 的直线上，点F 在射线DA 上，连接EF 、CF 、CE ，EF=CF（1）如图，求证：△CEF 为等边三角形；（2）将线段CE 沿着线段CF 翻折，交过D 点且平行于BC 的直线于点G ，请探究线段BE 、DG 、AB 之间的数量关系，并证明你的结论。

BC B ACB A20.如图，在正方形ABCD 中，点E 在AD 边上，点F 在BC 边的下方，且∠BCF=45°，AE CF 2，连接AF ，交线段BE 于点G ，交BC 边于点H （1）求证：∠AGE=45°；（2）过点G 作GM ⊥AN ，交直线CD 于点M ，请探究线段BN 、DM 和AB 之间的数量关系，并证明你的结论。

N GFEDCB ADC B ADCB A1.证明：（1）过点C 作CT ⊥AB 于点T ，CR ⊥AD ，交AD 延长线于点R ，∴∠CRD=∠CTB=90° 设∠BAC=a ，∵AC ⊥BC ，∴∠ACB=90° ∠B=90°— a 又∵O 是AB 的中点，∴OC=OB=OA ， ∴∠OCA= a ，∠OCB=90°— a ∵∠BAD+∠BCD=180°，∴∠B+∠ADC=180°，∵∠ADC+∠CDR=180°，∴∠CDR=∠B=90°— a ∵CD=CB ，∴△CRD ≌△CTB ，∴CR=CT ， ∴∠CAR=∠CAB= a ∴∠CAR=∠ACO= a ∴AD ∥OC ，∴∠OCD+∠ADC=180°， ∵∠OBC+∠ADC=180°，∴∠OCD=∠OBC （2）线段OE 与EF 之间的数量关系是：1011=EO EF 连接OD 交AC 于点H ，过点D 作DL ∥AB 交AC 延长线于点L ∴∠L=∠LAB=∠DAL ， ∠LDB=∠DBA ，∴DL=DA ，△MDL ∽△MBA ， ∴ABADAB LD MB MD == ∵∠BAD=2 a ， ∴∠BCD=180°a 2- ∵CD=CB ，∴∠CDB=∠CBD= a ∵OC=OB ，∴∠OBC=∠OCB=∠OCD ∴OC ⊥BD ，BN=DN ，∴OD=OB=OC=OA ∴∠ODA=∠OAD=2 a ，由（1）AD ∥OC ， ∴∠DOC=∠ODA=2 a ，∠BOC=∠OAD=2 a ，∵∠FOC=3∠CBD=3 a ，∠FOD= a ， ∴∠FOD=∠HCO= a ∴△OFD ≌△CHO ，∴FD=OH 设BN=7k ，∵BN DM 76=，∴DM=6k MN=k ，∴BM=8k ∴43862====k k OC AD AB AD MB MD ，∴23=OC AD ∵∠DAC=∠OCA ，∠AHD=∠CHO ，∴△HAD ∽△HCO ∴23==OH DH OC AD 设AD=3m ， 则OA=OC=OD=2m ， ∴m OH 54=，∴m FD 54=，∴m m m FD AD AF 511543=-=-= ∵∠OCA=∠DAC ，∠FEA=∠OEC ， ∴△AEF ∽△CEO ∴10112511===m mOC AF EO EF2. 证明：（1）∵∠CED=∠CBA ∠ECD=∠BCF ∴△ECD ∽△BCF ∴CFCDBC EC =∵∠FCD=∠BCE ∴△ECB ∽△DCF ∴∠EFD=∠DBE ； （2）GF BD 5=延长BE 交AC 于点H ∵∠CEB=90°，∠HCB=90°，∴∠HCE+∠ECB=∠ECB+∠CBE=90° ∴∠HCE=∠HBC ∵∠CHE= ∠BHC ∴△HCE ∽△HBC ∴HCHE HB HC = ∴HB HE HC ⋅=2∵∠EFD=∠DBE=∠ECH ∴FD ∥AC ∴∠HAE=∠FDE ∵∠FDE+∠EFD=∠CED ∠FBG+∠EBD=∠CBA ∴∠FDE=∠EBF ∴∠HAE=∠EBF∵∠EHA=∠AHB ∴△HAE ∽△HBA ∴HA HE HB HA = ∴HB HE HA ⋅=2∴HC=AH ∵DF ∥HC ∴△DGB ∽△CHB ∴HB GB CH DG = 同理HB GB AH FG = ∴AHFGCH DG =∴DG=FG RT O NMHLFEDCBAR DCA由△DGB ∽△CHB 得CH DG CB DB = ∴CHCBDG DB =∴CH CB GF DB = ∴∠ACB=90° 32cos =∠CAB 设AC= 2k 则AB= 3 k ∴k BC 5= k AC CH ==21 ∴5=CH BC ∴5=GFDB ∴GF BD 5=3. 证明：（1）连接DF ∵AD ∥BC ∴∠DAO=∠ABC=45° 又∵∠DCF=45°，∴∠DAO=∠DCF 又∵∠AOD=∠COB ∴△AOD ∽△COF ∴OF OD CO AO = ∴OFOCOD OA = 又∵∠AOC=∠DOF ∴△AOC ∽△DOF ∴∠CAO=∠CDF=45° ∴∠CFD=90°，又∵CD=DE ∴CF=EF（2）过C 作CE 的垂线交ED 的延长线于K ，连接KA 可证△EBC ≌△KAC ∴CE=CK ∠CKA=∠CEB ∴∠CKD=45°，即∠CEB+∠AKD=45° 又∵DG ⊥BE ∴∠DGE=90° ∴∠DEG+∠DGE=90° 又∵∠DEC=45° ∴∠EDG+∠BEC=45° ∴∠AKD=∠GDE ∴DH ∥AK ∴HA EH DK ED =∴EH=EA ∴HF ∥AC ，AC HF 21= 又∵BC=AC GH F E D C B∴BC HF 21=延长HF 交BC 于点N ， ∵HN ∥AC ，AC ⊥BC ∴∠ACB=∠HNB=90° ∴HF ⊥BC4.证明（1）过点D 作DM ⊥AB 于点M ，DN ⊥BC 于点N ∴∠DME=∠DNC=90°∵∠ABC+∠EDC=180° ∴∠BED+∠BCD=360°— 180°= 180° ∵∠BED+∠AED=180° ∴∠AED=∠BCD ∵AD=DE=DC ∴∠ADM=∠EDM ∴∠ADE=2∠MDE ∴△DME ≌△DNC （AAS ） ∴DM=DN ∠MDE=∠NDC ∴BD 平分∠ABC ∵AB AE AD ⋅=2∴ADABAE AD =∵∠EAD=∠BAD ∴△AED ∽△ADB ∴∠AED=∠ADB=∠EAD ∴AB=BD=BC ∴AC ⊥BD ∠BDC=∠BCD ∴∠ACD=∠NDC=∠MDE ∴∠ADE=2∠DCA （2）58=PQ PE 由（1）得：∠ABD=∠CBD ∵DE=DC ∴∠DEC=∠DCE ∵∠ABD+∠CBD+∠EDC=180° ∠DEC+∠DCE+∠EDC=180°∴∠ABD=∠CBD=∠DEC=∠DCE ∵BD=BC BH ⊥CD ∴∠DBC=2∠DBH ∵AC ⊥BD ∴∠DBH+∠BDC=90°∠DCF+∠BDC=90° ∴∠DBH=∠DCF ∵∠ADE=2∠DCF ∴∠DCE=2∠DCF ∴∠DCF=∠FCP ∴∠FPC=∠FDC ∴PC=DC ∴PF=DF=AM=EM ∵在Rt △GHC 中，31tan ==∠CH GH ACD ∴设GH=k 则CH=DH=3k ∴CD=DE=CP=6k 在Rt △CHG 中 k GH CH GC 1022=+= ∵∠DFC=∠GHC=90° ∠GCH=∠GCH ∴△GHC ∽△DFC ∴DCGCCF CH DF GH ==∴k k CF k DF k 6103== ∴k DF PF 1053== k CF 1059= ∴k DF PD 10562== ∵∠EDB=∠EDP ∴△EPD ∽△BED ∴ED PD BD ED = ∴k kBD k610566= ∴k BD BC 103== ∴k k k PB 10591056103=-=k k k BF 105121053103=-= ∴△QHC ∽△CFB ∴BF CHBC CQ =∴k k k CQ 105123103= ∴k CQ 415= ∴k k k PQ 494156=-= ∵∠EPD=∠BPC ∴△EPD ∽△BPC ∴BC ED PB PE = ∴k k k PE 10361059= ∴k PE 518= ∴5849518==k kPQ PEN M FEDC B A PN MG HQF ED B A5. 证明：（1）如图1，∵CH ⊥AB ∴∠BHC=90° 又∵∠ACB=90° ∴∠B=∠ACH ∵∠DCE=∠B ∴∠DCE=∠ACH ∴∠DCH=∠KCE 又∵54sin ==BC CH B CH BC 45= CE CD CK BC ⋅=⋅54 ∴CE CD CK CH ⋅=⋅ 即CDCKCH CE =∴△CEK ∽△CHD ∴∠KEC=∠DHC=90° ∴∠CED=90°（2）①如图2 当点D 在线段BH 上时，过点D 作DC 的垂线交CE 的延长线于点M ，连接AM 由（1）可知∠DCM=∠ACH ∴cos ∠DCM=cos ∠ACH ∴ACCHCM CD =又∵∠DCH=∠MCA ∴△CDH ∽△CMA ∴53==AC CH AM DH ∠MAC=∠DHC=90° ∴∠MAC+∠BCA=90°+90°=180°∴MA ∥BC∴∠AME=∠GCE 又∵∠AEM=∠CEG ∴△AME ∽△GCE ∴ECMEGC AM =又∵34tan tan =∠=∠MDE DCE ∴34==DE ME CE DE ∴916=EC ME ∴916=GC AM∴DH GC 1615= ∴DH BG BC 1615=-② 如图3 当点D 在线段AH 上时 同理可得DH BC BG 1615=-MKH EDC BAKH ED CBA MGKH EDCBA6. 证明：（1） 方法1：如图1，过A 作DF 的平行线交BC 于K ，∵AK ∥DF ，∴BDBKBF AB =∵AK ∥DE ，∴CKCDAC CE =∵∠BDA=∠CDE ，∴∠AKC=∠ADB ，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ∴△ABD ≌△ACK ，∴BD=CK ，BK=CD ，∴CK CD BD BK =，∴ACCEBF AB =，∴AC AB CE BF ⨯=⨯∵AB=AC ，∴2AB CE BF =⨯方法2：如图2，∵AB=AC ，∴∠B=∠C ，∵∠ADB=∠FDC ，∴∠BDF=∠CDA ，∴△BDF ∽△CDA ∴CD BD AC BF =，∵∠B=∠C ，∠ADB=∠FDC ，∴△ABD ∽△ECD ，∴CD BD CE AB =，∴CEABAC BF =，∴2AB AC AB CE BF =⨯=⨯（2）∵∠BGC=∠BCH ，∠GBC=∠CBH ，∴△GBC ∽△CBH ，∠BHC=∠BCG ，∵∠FBC=∠HCB ，∴△BHC ∽△FCB ，∴BFBC BC CH =，∴BF CH BC ⨯=2，过点A 作BC 的垂线，垂足是K ， ∵∠BAC=120°，则︒=︒-︒=∠=∠302120180ACB B ，2BCCK BK ==，∵∠AKB=90°， ∴232cos ===∠AB BC AB BK ABK ∴223AB BC = ，由（1）得2AB CE BF =⨯， ∴CE BF BF CH ⨯=⨯3 ∴CH=3CE 。