曲线的切线
一、 基础知识：
1、 切线的定义：设P 是曲线上的一点，Q 是曲线上与P 邻近的一点。
当点Q 沿着曲
线无限接近点P 时，如果割线PQ 有一个极限位置PT ，那么直线PT 就叫做曲线在点P 处的切线。
2、 函数y=f(x)在x=x 0处可导，则曲线y=f(x)在点P 处的切线方程是：
))(()(000x x x f x f y -'=-
3、 关于切线的几个问题：
（1）曲线的切线和曲线可以有几个交点？（答：可以有无数个交点）
（2）直线y=kx+b 在其上一点P 处有切线吗？（答：有，切线与直线重合） 二、 例题选讲：
例1 下列曲线在点x=0处没有切线的是 （ ） （A ）y=x 3+sinx （B ）x x y cos +=
（C ）13+=x x y （D ）y=|x|
答：选D ，因为它在x=0处没有导数且不符合切线定义。
问1：（B ）中函数在x=0处也没有导数，它有切线吗？
答：有，切线为直线x=0。
小结：f(x)在x 0处可导⇒f(x)在x 0处有切线，反之不成立
f(x)在x 0处不可导≠>f(x)在x 0处没有切线。
问2：既然不能从可导不可导来判定是否存在切线，那么怎么来判定呢？
答：围绕定义。
小结：要深入体会运动变化思想：两个不同的公共点→两公共点无限接近→两公共点重合（切点），从而割线→切线。
例2 已知曲线3433
1
+=
x y 。
（1）求曲线在点P （2，4）处的切线方程；（2）求曲线过点P （2，4）的切线方程。
解：（1）所求切线斜率k=4，故所求切线方程为y-4=4(x-2)，即4x-y-4=0
（2）设曲线与过点P 的切线相切于点A （x 0,343031+x ），则切线的斜率k=0|x x y ='=2
0x ， ∴切线方程为)
()(02
0343
031x x x x y -=+-， ∵点P(2,4)在切线上，
∴)
2()(402
0343
031x x x -=+- 解得x 0=2或-1，
故所求的切线方程为：4x-y-4=0或x-y+2=0。
变式：从点（-1，1）向曲线13
+=x y 引切线，试求切线的方程。
答：y=1或27x-4y+31=0
例3 问a 为何值时，直线y=x 与对数曲线y=log a x 相切？切点在何处？ 解：e y a x log 1='
设切点为P(x 0,y 0)，则 k=
1log 0
1
=e a x
∴ e x a log 0=
∴ 切点为P （e a log ，e a log ） 又∵ P 在曲线y=log a x 上。
∴ e a log =log a x 0 ∴ x 0=e 即e=e a log ∴ a=e
e 1
变式：问a 为何值时，直线y=x 与指数曲线y=a x 相切？切点在何处？能否结合图象和例3的结果加以解释。
答：答案同上。
例4 （03天津卷）已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C 2：y=a x +-2。
如果直线l 同时是C 1和C 2的切线，称l 是C 1和C 2的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段。
（1） a 取什么值时，C 1和C 2有且只有一条公切线？写出此公切线的方程； （2） 若C 1和C 2有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分。
解：（1）方法1：函数y=x 2+2x 的导数22+='x y
∴ 曲线C 1在点P(x 1,x 12+2x 1)处的切线方程为：))(22()2(1112
1x x x x x y -+=+-
即 2
11)22(x x x y -+= … ①。
函数y=a x +-2
的导数x y 2-='
∴ 曲线C 2在点Q(x 2,-x 22+a)处的切线方程为：)(2)(222
2x x x a x y --=+--
即a x x x y ++-=2222 … ②。
若l 是过点P 和Q 的公切线，则①②都是直线l 的方程，则有⎩⎨⎧+=--=+a x x x x 2
221
2
11， 消去x 2得方程2x 12+2x 1+1+a=0。
由Δ=4-4×2(1+a)=0，得21-=a ，此时x 1=x 221
-=，即点P 和Q 重合。
故当21-=a 时，C 1和C 2有且只有一条公切线，此公切线的方程为41-=x y 。
方法2：设切线方程为y=kx+b 。
由⎩⎨
⎧=--+⇒+=+=0)2(22
2
b x k x x
x y b kx y Δ=004)2(2
=+-⇒b k …… ①
由⎩⎨⎧=-++⇒+-=+=022
a b kx x a
x y b kx y Δ=00)(42
=--⇒a b k …… ② 由①②可得：)12()1(2
+-=-a k …③ 要使③有唯一解，则21-=a
（2）由（1）知，当21-<a 时，C 1和C 2有两条公切线。
设一条公切线在C 1和C 2上的切点分别为P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)。
则
x 1+x 2=-1，y 1+y 2=x 12+2x 1+(-x 22+a)=x 12+2x 1-(x 1+1)2+a=-1+a 。
即公切线段PQ 的中点是),(2121a
+--。
同理可证，另一条公切线段Q P ''的中点也是),(2121a +--，
所以，公切线段PQ 和Q P ''互相平分。
小结：今天学习了切线的三个问题：
（1）判断是否有切线？深刻理解切线的定义。
（2）已知切点求切线问题——直接使用公式； （3）切点未知求切线问题：
设切点坐标，利用切点在曲线上、切点在切线上、切线斜率为此点的导数三个条件建立方程求参数。
三、 巩固练习：
1、已知曲线S ：y=3
3x x -及点P(2,2)，则过点P 可向S 引切线的条数为 。
2、过原点作曲线y=e x 的切线，则切点的坐标为 ，切线的斜率为 。
3、求下列曲线在点M 处的切线方程： （1）2
2
)3(1x x y -=
，点M （1，41）
； （2）x y 2sin =，点M （π，0） 4、求过点(2,0)且与曲线x
y 1
=
相切的直线方程。
5、曲线y=0.1x 3在x=2处的切线还在何处与曲线相交？
6、若直线y=kx 与曲线y=x 3-3x 2+2x 相切，试求k 的值。
7、求两曲线y=x 2+1与y=3-x 2在交点处的两切线的夹角。
8、（05福建卷）已知函数b
x ax x f +-=26
)(的图象在点M(-1,f(-1))处的切线方程为x+2y+5=0。
求函数y=f(x)的解析式。
9、已知抛物线C 1：y=x 2+2x 和C 2：y=12
--x 。
求C 1和C 2的公切线方程。
练习答案：
1、 3
2、(1,e) ;e
3、（1）x+4y-2=0 (2)2x-y-2π=0
4、y=-x+2
5、(2,0.8);(-4,)5
32-
6、y=2x 或x+4y=0
7、arctan 34
8、3
6
22)(+-=
x x x f
9、y=2x 或y=-1。