个独立的首次积分.
定理6.2 如果已知方程组(6.1)的一个首次积分,则可将方
程组(6.1)降低一维; 如果已知方程组(6.1)的 k 2 k n 1
个独立的首次积分,则可将方程组(6.1)降低 k 维.
应用定理6.2到例6.1, 因为
u1
(u1, u2 )
det
应用定理6.1到例6.1, 容易验证 u1(t, x, y) (x y)et 和
u2 (t, x, y) (x y)et 都是方程组的首次积分,并且根据定
义6.1,(u1,u2)也是方程组的首次积分, 其中 是任意关于其
变量连续可微的函数.那么 u1 和 u2为什么能够构成方程组
(u1,u2, , un ) 0 , (x1, x2 , , xn ) G
因此方程组(6.9)在区域 G内只有零解,即
x1 f1, x2 f2, , xn fn.
所以由(6.6)定义的函数是方程组(6.1)的解, 即(6.5)式 u j (t, x1, x2, , xn ) cj ( j 1, 2, , n)
定义6.1 设 u(t, x1, x2,, xn ) 是区域 G Rn1 内连续可
微,且不恒等于常数的函数, 如果方程组(6.1)的任一组解
x1(t), x2 (t), , xn (t), t I, 使得
u t, x1 t, x2 t, , xn t 某常数， 6.2
x
(x, y)
u2

x
u1
y u2


det

et et
y

et et


2

0,
(t,
x,
y)

R3.
所以 u1(t, x, y) (x y)et和 u2 (t, x, y) (x y)et是方程组在
R 3上独立的首次积分.
6.6
其中c1,c2,,cn是 n 个相互独立的任意常数.将其代入(6.5)中得到
n个恒等式, 并且恒等式两边对 t 求导可得
u j t

u j x1
x1

u j xn
xn
0,( j
1, 2,
, n)
6.7
又因为 u j (t, x1, x2,, xn ) 是方程组(6.1)的首次积分, 由定理
一、概念的引入
6.1求解方程组
dx

dt dy

y, x.
dt
解: 将方程组中的两式相加得
d(x y) (x y)， dt
积分得 (x y)et c1.
将方程组中的两式相减得
积分得
d(x y) x y, dt
(x y)et c2.
中都有
u1(t, x1(t), x2 (t)) (x1(t) x2(t))et c1;
u2 (t, x1(t), x2 (t)) (x1(t) x2(t))et c2.
注：从例6.1中可以看出, 函数 u1,u2 本身不是常数, 但沿着方 程组的任一条积分曲线上恒为常数, 该常数与积分曲线的 选择有关. 于是通过寻找具有这种性质的函数, 一样能够 求得通解（隐式通解）.
cc12
1(t0 ;t, x1 , x2 , 2 (t0 ;t, x1 , x2 ,
, xn ) , xn )
..
6.11

cn n (t0 ;t, x1 , x2 , , xn )
可以看出关系式(6.10)与(6.11)是互为反函数, 具有对称性.
如果固定 t0, 任意取定常数 c1 ,c2 ,,cn , (6.4)中的每一个函数 都是方程组(6.1)的首次积分.并且是独立的, 所以方程组(6.1)
(u1,u2, , uk ) 0 , (x1, x2 , , xn ) G
所以从函数方程组(6.5)中可以解出

x1 x2

1(t , c1 2 (t, c1
, c2 , , c2 ,

xn n (t , c1 , c2 ,
, cn ) , cn ) ,
, cn )
存在 n个独立的首次积分.证毕.□
定理6.5 方程组(6.1)至多存在 n 个独立的首次积分.
证明:设方程组(6.1)有 n 1 个的首次积分
u j (t, x1, x2, , xn ) cj , ( j 1, 2, , n 1)
是方程组(6.1)的隐式解.
其次证明(6.5) 式 u j (t, x1, x2, , xn ) cj ( j 1, 2, , n)是方程组
(6.1)的隐式通解. 为此, 只要证明能够选择适当的常数 c j
使得由(6.5)所确定的一条积分曲线, 通过任意给定的初始点 (t0, x10, x20, , xn0 ). 只要取
G


det


2
c1
2
c2
2
cn

0,


n
n
c1 c2
n

cn G
所以 c1,c2,,cn 是相互独立的任意常数.
注：求解方程组(6.1), 只要求出它的 n 个独立的首次积分即
可. 而在实际寻找方程组的首次积分时有相当的困难, 甚至 不可能. 但在理论上可以证明, 在相当广泛的条件下, 首次积 分是存在的.
于是原方程组的通积分为
(x (x

y)et y)e t
c1, c2
.
其中c1和c2是任意常数.
记 u1(t, x, y) (x y)et , u2(t, x, y) (x y)et.
设 x x1(t), y x2(t) 是方程组的任一组解,代入函数 u1, u2
则称 u(t, x1, x2,, xn )为方程组(6.1)的一个首次积分.
有时也称 u(t, x1, x2,, xn ) c 为方程组(6.1)的首次积分.
由定义知例6.1 中 u1(t, x, y) (x y)et 和 u2 (t, x, y) (x y)et
是它们方程组的2个首次积分.
u u
t
x1
f1
证明: 必要性.
u
xn
fn 0
6.3
设函数 u(t, x1, x2,, xn ) 是方程组(6.1)的首次积分,根据定义
6.1, u(t, x1, x2,, xn ) 沿着 G 内的任意一条积分曲线
x1(t), x2 (t), , xn (t) 都有
的通解呢? 这里涉及到首次积分之间的独立性的概念.
定义6.2 设 u j (t, x1, x2, , xn ) ( j 1, 2, , k n) 是方程组(6.1)的
个首次积分,如果Jacobi矩阵
u1 u1

x1
x2

(u1, ( x1 ,
u2 x2
,, ,,
注：根据定义来验证一个连续可微函数u(t, x1, x2,, xn ) 是否方程组(6.1)的一个首次积分很不现实, 因为涉及方 程组的求解问题. 我们需要它的可验证的等价条件。
一、首次积分的性质 定理6.1 函数 u(t, x1, x2,, xn ) 是方程组(6.1)的首次积 分的充要条件是在某区域 G Rn1 上成立恒等式
充分性.
若等式(6.3)在 G 内恒成立,则沿方程组(6.1)的任何积分曲线
x1(t), x2 (t), , xn (t) 也成立, 从而有
0 u u t x1
f1



u xn
fn
u u dx1(t) u dxn (t)
t x1 dt
xn dt
xn n (t ;t0 , c1 , c2 , , cn )
6.10
是方程组(6.1)过初始点 (t0,c1 ,c2 ,,cn )作为初始点, 则由解的
惟一性, 此积分曲线即为(6.10), 但可表示为 (t, x1 , x2 ,, xn ) 的一条积分曲线, 根据解对初值的可微性定理, (6.10)中的每
第六章 一阶偏微分方程
主讲人：刘兴波
§6.1 微分方程组的首次积分
对于非线性微分方程组
dx1

dt

f1(t, x1,
dx2 dt

f2 (t, x1,


dxn dt

fn (t, x1,
, xn ) , xn ) , , xn )
, 6.1
它没有一般的求解方法.本节介绍一种所谓的首次积分方法, 它不仅在某些情况下能有效地求解方程组(6.1), 而且它与求 解一阶偏微分方程密切相关.
6.1知, 沿着积分曲线有
u j t
u j x1
f1
u j xn
fn 0, ( j 1, 2,
, n)
恒等式(6.7)与(6.8)相减得
,6.8u j x1( x1 Nhomakorabea
f1)


u j xn
( xn

fn )

0
,(
j
1, 2,
, n)
6.9
这是以 x1 f1, x2 f2,, xn fn 为未知变量的代数线性方 程组.由于它的系数矩阵的行列式即为
n
cj u j (t0, x10, x20, , xn0 ) , ( j 1, 2, , n)
即可.定理证毕. □
注6.2 按照通解的定义, 也可以证明在(6.5)中的 n个任意常数