苏教版中考数学压轴
题：动点问题
HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
运动变化型问题专题复习
【考点导航】
运动变化题是指以三角形、四边形、圆等几何图形为载体，设计动态变化，并对变化过程中伴随着的等量关系、变量关系、图形的特殊状态、图形间的特殊关系等进行考察研究的一类问题，这类试题信息量大，题目灵活多变，有较强的选拔功能，是近年来中考数学试题的热点题型之一，常以压轴题的面目出现．解决此类问题需要运用运动和变化的观点，把握运动和变化的全过程，动中取静，静中求动，抓住变化过程中的特殊情形，建立方程、不等式、函数模型． 【答题锦囊】
例1 如图在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿
AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每
秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点
时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）．
（1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？
（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由；
（4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．
例２ 如图2，直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠A=900
，AB=6，AD=4，DC=3，动点P 从点A 出发，沿A →D →C →B 方向移动，动点Q 从点A 出发，在AB 边上移动．设点P 移动的路程为x ，点
Q 移动的路程为y ，线段PQ 平分梯形
ABCD 的周长． （1）求y 与x 的函数关系式，并求出x y ，的取值范围； （2）当PQ ∥AC 时，求x y ，的值；
（3）当P 不在BC 边上时，线段PQ 能否平分梯形ABCD 的面积？若能，求出此时x 的值；若不能，说明理由．
例3 如图3，在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为圆心，2为半径画⊙O ，P 是⊙O 上一动点，且P 在第一象限内，过点P 作⊙O 的切线与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B .
(1)点P 在运动时，线段AB 的长度也在发生变化，请写出线段AB 长度的最小值，并说明理由； A P
C
D A
P
D
图1 E
Ａ
C D Q
P Ｂ 图2
P E
F
A D 1
B
C 1
D 2C 2③ C B D A ① C
2D 21B D 1A ② 图7
图9
⒋如图11，在锐角ABC △中，9BC =，AH BC ⊥于点H ，且6AH =，点D 为AB 边上的任意一点，过点D 作DE BC ∥，交AC 于点E ．设ADE △的高AF 为(06)x x <<，以DE 为折线将
ADE △翻折，所得的A DE '△与梯形DBCE 重叠部分的面积记为y （点A 关于DE 的对称点A '落在AH 所在的直线上）．
（1）分别求出当03x <≤与36x <<时，y 与x 的函数关系式； （2）当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？
⒌如图12，在ABC ∆中，∠C=900，AC=4cm ，BC=5cm ，点D 在BC 上，且CD=3cm ，现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以s 的速度沿BC 向终点C 移动．过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ ．设动点运动时间为x 秒．
（1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；
（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设EDQ ∆的面积为
2()y cm ，求y 与月份x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；
（3）当x 为何值时，EDQ ∆为直角三角形．
⒍如图13，在平面直角坐标系中，已知点(043)A ，
，点B 在x 正半轴上，且30ABO =∠．动点P 在线段AB 上从点A 向点B 以每秒3个单位的速度运动，设运动时间为t 秒．在x 轴上取两点
M N ，作等边PMN △． （1）求直线AB 的解析式； （2）求等边PMN △的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边PMN △的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；
（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt AOB △内部作如图14所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边PMN △和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当02t ≤≤秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．
⒎如图15，已知Rt ABC △中，30CAB ∠=，5BC =．过点A 作AE AB ⊥，且15AE =，连接BE 交AC 于点P ．
（1）求PA 的长；
（2）以点A 为圆心，AP 为半径作⊙A ，试判断BE 与⊙A 是否相切，并说明理由； （3）如图16，过点C 作CD AE ⊥，垂足为D ．以点A 为圆心，为半径作⊙A ；以点C 为圆心，R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的，并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．，且使D 点在⊙A 的内部，B 点在⊙A 的外部，求r 和R 的变化范围．
A
B
x
y O
P
Q
6
12
图11
E
D
B C A
Q P
图12
图13 图14
图18。