知识点 教学目标
教学重点 教学难点
教学过程
圆、垂径定理及圆心角、圆周角定理
圆的有关概念，垂径定理及推论． 圆心角的概念，圆周角的概念，圆周角定理及其推论 了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理解决问题． 了解圆心角的概念，掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧 的等价关系 了解圆周角的概念，理解圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角的定理及其推理的 灵活运用． 垂径定理及其运用． 在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弦、两条弧的等价关系 圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题 探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题． 圆周角的定理及其推论的灵活运用
8.如图，已知 AB=AC，∠APC=60° (1)求证：△ABC 是等边三角形. (2)若 BC=4cm，求⊙O 的面积.
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【巩固】
1.如图，∠1、∠2、∠3、∠4 的大小关系是( )
A.∠4＜∠1＜∠2＜∠3
B.∠4＜∠1=∠3＜∠2
C.∠4＜∠1＜∠3＜＜∠2
D.∠4＜∠1＜∠3=∠2
2.如图，AD 是⊙O 的直径，AC 是弦，OB⊥AD，若 OB=5，且∠CAD=30°，则 BC 等于( )
取值范围（ ）
A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5
D．4＜OM＜5
6. 如 图 ， AB 为 ⊙ O 直 径 ， E 是 BC 中 点 ， OE 交 BC 于 点 D ， BD=3 ， AB=10 ， 则 AC=________.
7.如图，⊙O 中，若∠AOB 的度数为 56°，∠ACB=________.
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【巩固】 1.如图，在⊙O 中，P 是弦 AB 的中点，CD 是过点 P 的直径，则下列结论中不正确的是( )
A.AB⊥CD B.∠AOB=4∠ACD
C.
D.PO=PD
2.如图，⊙O 中，如果 =2 ，那么(
A.AB=AC
B.AB=2AC
) C.AB＜2AC
D.AB＞2AC
3.如图，AB 和 DE 是⊙O 的直径，弦 AC∥DE，若弦 BE=3，则弦 CE=______
8.如图，在“世界杯”足球比赛中，甲带球向对方球门 PQ 进攻，当他带球冲到 A 点时，同样乙已经 助攻冲到 B 点.有两种射门方式：第一种是甲直接射门；第二种是甲将球传给乙，由乙射门.仅从射 门角度考虑，应选择________种射门方式.
9.如图，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，过 C、D 分别作 CN⊥CD、DM⊥CD，分别交 AB 于 N、M，请问 图中的 AN 与 BM 是否相等，说明理由.
知识点三、圆的对称性 1.圆是轴对称图形
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴.或者说，经过圆心的任何一条直线都 是圆的对称轴. 2.圆是中心对称图形
圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能和自身重合，对称中心就是圆心，因此， 圆又是中心对称图形.
2
要点诠释： (1)圆有无数条对称轴； (2)因为直径是弦，弦又是线段，而对称轴是直线，所以不能说
成立吗？
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2.如图，⊙C 经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点 A 与点 B，点 A 的坐标为(0，4)，M 是圆上一 点，∠BMO=120°.
知识点五、弧、弦、圆心角的关系 1.圆心角定义
如图所示，∠AOB 的顶点在圆心， 像这样顶点在圆心的角叫做圆心角． 2.定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 3.推论：
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦也相等． 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等． 要点诠释： (1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征. (2)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.
“圆的对称轴是直径”，而应该说“圆的对称轴是直径所在的直线”.
知识点四、垂直于弦的直径 1.垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.推论：
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 要点诠释： (1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即
(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.
【例题 2】已知，点 P 是半径为 5 的⊙O 内一点，且 OP=3，在过点 P 的
所有的⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
【例题 3】. 已知：⊙O 的半径为 10cm，弦 AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，求 AB、CD 间的距离.
4
【例题 4】 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧 CD，点 O 是弧 CD 的圆心， 其中 CD=600m，E 为弧 CD 上一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF=90m，求这段弯路的半径．
（1）求证： ACO= BCD。
（2）若 EB= 8cm ，CD= 24cm ，求⊙O 的面积。
A
9 O
E
课程小结
1、我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别 2、我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许 多圆的许多性质，即 （1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。 （2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。 （3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。 （4）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧 3、同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半； 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等； 半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于 90°（直角）; 90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径 圆内接四边形对角互补
四、课堂运用
【基础】
1.下列三个命题：①圆既是轴对称图形又是中心对称图形；②垂直于弦的直径平分弦；③相
等的圆心角所对的弧相等．其中真命题的是（ ）
A.①②
B. ②③
C. ①③
D. ①②③
2.如果两个圆心角相等，那么（ ） A.这两个圆心角所对的弦相等 C.这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
B.这两个圆心角所对的弧相等 D.以上说法都不对
5.如图，⊙O 的直径 CD 垂直于弦 EF，垂足为 G，若∠EOD=40°,则∠DCF 等于（ ） A.80° B. 50° C. 40° D. 20°
第 5 题图
第 6 题图
第 7 题图
6.如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，∠BDC=25°，则∠BOC=________.
7.如图，等边ΔABC 的三个顶点在⊙O 上，BD 是直径，则∠BDC=________，∠ACD=________.若 CD=10cm， 则⊙O 的半径长为________
A.3
B.3+ 3
C.5- 1 3
D.5
2
3.P 为⊙O 内一点，OP=3cm，⊙O 半径为 5cm，则经过 P 点的最短弦长为________；最长弦长为_______. 4.如图，OE、OF 分别为⊙O 的弦 AB、CD 的弦心距，如果 OE=OF，
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那么_______ (只需写一个正确的结论).
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2.如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD 是△ABC 的角平分线，过 A、C、D 三点
的圆 O 与斜边 AB 交于点 E，连接 DE。
（1）求证：AC＝AE；
（2）求 AD 的长。
A
E
C
D
B
3.如图所示，已知 AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且 AB CD 于点 E。连接 AC、OC、BC。
一、复习预习
1. 回忆一下什么是圆？小学学的圆是怎么定义的？ 2.圆的面积公式是什么？周长呢？
二、知识讲解 知识点一、圆的定义
1.定义： （1）如图，在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一圈，另一个 端点 A 随之旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫 做半径. 以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆 O”. （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合。
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 优弧：大于半圆的弧叫做优弧.劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧. 要点诠释： (1)半圆是弧，而弧不一定是半圆. (2)无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆
圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等. 4.等弧 在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧. 要点诠释： 等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视.
5.如图，∠AOB=90°，C、D 是 三等分点，AB 分别交 OC、OD 于点 E、F，求证：AE=BF=CD.
【拔高】 1.如图，在⊙O 中，C、D 是直径 AB 上两点，且ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱAC=BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M、N 在⊙O 上.
(1)求证： = ；
(2)若 C、D 分别为 OA、OB 中点，则
3.⊙O 中，∠AOB=∠84°，则弦 AB 所对的圆周角的度数为（ ）
A.42°
B.138°
C.69°
D.42°或 138°
4.如图，如果 AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，那么下列结论中，
错误的是（ ）
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A.CE=DE
B. BC BD
C.∠BAC=∠BAD D.AC＞AD
5.如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB 的长为 8，M 是弦 AB 上的动点，则 OM 的长的
要点诠释： (1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交. (2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.