uj x
图1-2
ν i ]T
(i, j , m)
（1.4）
一个三角形单元有3个节点（以 i、j、m为 序）， 共有6个节点位移分量。其单元位移或单元节点位移 列阵为：
δ i } { {δ } = { δ j } = [ui ν i u j ν j um ν m ]T { } δ m (1.4）
2 离散化的原则： （1） 几何近似-几何形状和真实结构近 似。 （2） 物理近似-离散单元的单元特性和 真实结构近似。
3 离散化的方法： （1） 单元数目兼顾精度和计算容量。 （2） 先简单分析再离散化。 （3） 不同厚度和不同材料的处理。 （4） 单元边长尽量相当。 （5） 任意单元的角点也是其他单元的 角点。
令
1 Ni = (ai + bi x + ci y ) 2A
(i, j , m)
(1.10）
位移模式(1.9）可以简写为
u = N i ui + N j u j + N m u m ν = N iν i + N jν j + N mν m
(1.11）
式(1.10）中的Ni、Nj、Nm是坐标的函数，反应了 单元的位移形态，称为单元位移函数的形函数。数学 上它反应了节点位移对单元内任一点位移的插值，又 称插值函数。
x x y x y xy y
例：平面应力矩形板被划分为若干三角形单元。
4 5 6元，如③单元，取位移函数：
u = a1 + a2 x + a3 y ν = a4 + a5 x + a6 y
位移函数中包含了单元的刚体位移。 (a1, a4 ) 位移函数中包含了单元的常应变。
第1章 平面问题的有限元法
1.1
有限元法的基本概念
1 有限元法的基本思想
有限元法在20世纪50年代起源于飞机结构的矩阵 分析。 其基本思想是用有限个离散单元的集合体代替 原连续体，采用能量原理研究单元及其离散集合体 的平衡，以计算机为工具进行结构数值分析。 它避免了经典弹性力学获得连续解的困难（建 立和求解偏微分方程），使大型、复杂结构的计算 容易地在计算机上完成，应用十分广泛。 ANSYS, SAP2K，MIDAS,GQJS,桥梁博士
∂u ∂v = a2 , ε = = a6 , γ xy = a3 + a5 ε= x y ∂x ∂y
2 选取位移函数应考虑的问题 （1）位移函数的个数 等于单元中任意一点的位移分量个数。本单元中 有u和v，与此相应，有2个位移函数； （2）位移函数是坐标的函数 本单元的坐标系为：x、y； （3）位移函数中待定常数个数 待定常数个数应等于单元节点自由度总数，以 便用单元节点位移确定位移函数中的待定常数。本 单元有6个节点自由度，两个位移函数中共包含6个 待定常数。
1 u = [(ai + bi x + ci y)ui + (a j + b j x + c j y)u j + (a m + bm x + cm y)u m ] 2A (1.9） 1 ν = [(ai + bi x + ci y)ν i + (a j + b j x + c j y)ν j + (a m + bm x + cm y)ν m ] 2A
∂u ∂v ∂u ∂v (a2, a6, a3+a5 ) ε x = , ε y = , γ xy = + ∂x ∂y ∂y ∂x
①、②、③、④单元的位移函数都是
u = a1 + a 2 x + a3 y
ν = a 4 + a5 x + a 6 y
可以看出： 位移函数在单元内是连续的； 位移函数在单元之间的边界上也连续吗？是。 以③、④的边界26为例
（3）由平衡方程求解得节点位移和计算单元应力。
分析思路流程
离散（剖分）结构
为若干单元
单元分析
(建立单元刚度矩阵[k]e 形成单元等价节点力)
系统分析
(把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵[K] 形成等价节点荷载{P} )
解综合方程[K]{⊿}= {P}
求结构节点位移{⊿} 计算结构内力和应力
3 有限元法主要优点：
2 有限元法分析步骤
（1）结构离散化：用点、线或面把结构剖分为有 限 个 离 散 单 元 体 ， 并 在 单 元 指 定 点 设 置 节 点 （结 点）。研究单元的平衡和变形协调，形成单元平衡 P 方程。 单元的
① 1 ② 2 3
l/2
l/2
节点上 有位移δ 和力F
②
δ2、F2
1
①
2
l/2 δ1、F1 δ3、F3
1 u = [(ai + bi x + ci y)ui + (a j + b j x + c j y)u j + (a m + bm x + cm y)u m ] 2A (1.9） 1 ν = [(ai + bi x + ci y)ν i + (a j + b j x + c j y)ν j + (a m + bm x + cm y)ν m ] 2A
（4）位移函数中必须包含单元的刚体位移。 （5）位移函数中必须包含单元的常应变。 （6）位移函数在单元内要连续。相邻单元间要尽 量协调。 条件（4）、（5）构成单元的完备性准则。 条件（6）是单元的位移协调性条件。 理论和实践都已证明，完备性准则是有限元解收 敛于真实解的必要条件。单元的位移协调条件构成有 限元解收敛于真实解的充分条件。 容易证明，三角形三节点常应变单元满足以上必 要与充分条件。
（7）位移函数的形式 一般选为完全多项式。为实现（4）—（6）的要 求，根据Pascal三角形由低阶到高阶按顺序、对称地 选取；多项式的项数等于（或稍大于）单元节点自由 度数。
1 x y
2 3 2
x xy y
4 3 2 2
2 2 3 3 4
x x y xy y
计算结构力学
王向阳
计算结构力学
第 1章 第 2章 第 3章 第 4章 第 5章 第 6章 平面问题有限元法 矩阵位移法解连续梁 矩阵位移法解刚架 矩阵位移法解桁架 结构稳定性分析 结构动力分析
参考教材
1 计算结构力学，科学出版社。朱慈勉，吴宇清， 2009 2 结构分析的计算方法， 华南理工大学出版社， 王勇，黄炎生，2001 3 结构力学，高等教育出版社，李廉锟，2009
y vi
i
vm
m
um
v u j
vj uj x
·
ui
本问题选位移函数（单元中任意一点的位移与节点 位移的关系）为简单多项式：
u = a1 + a 2 x + a3 y
ν = a 4 + a5 x + a 6 y (1.3）
式中：a1、a2、…、a6——待定常数，由单元位移的 6个分量确定。a1、a4代表刚体位移，a2、 a3 、 a5 、 a6 代表单元中的常应变，而且，位移函数是 连续函数。
u j = a1 + a 2 x j + a3 y j u m = a1 + a 2 xm + a3 y m
u i = a1 + a 2 xi + a3 yi
ν i = a 4 + a 5 xi + a 6 y i ν j = a 4 + a5 x j + a6 y j ν m = a 4 + a5 x m + a 6 y m
式中
ai = x j ym − xm y j
bi = y j − y m
j
m
i
ci = − x j + x m
(i, j , m) (1.8）
式(1.8）中（i、j、m）意指：按i、j、m依次轮换下标， 可得到aj、bj、cj～am、bm、cm。后面出现类似情况时， 照此推理。式(1.8）表明： ai、bi、ci～am、bm、cm是 单元三个节点坐标的函数。
（1） 概念浅显，容易掌握。（离散、插值、能量原理、 数学分析） （2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和 场问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等 问题） （3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。 （4）有很多大型有限元应用程序。
1.2
结构的离散化
一个实际结构的自由度是无数的。 把连续结构离散为有限个单元，研究单 元的平衡和变形协调；这些单元只在结点 （节点）相连。 划分的单元大小和数目根据计算精度和计 算机能力来确定。 例：悬臂梁离散化
(1.5）
从式(1.5）左边3个方程中解出待定系数a1、a2、a3为
ui 1 a1 = uj 2A um xi xj xm yi yj ym
1 ui 1 a2 = 1 uj 2A 1 um
yi yj ym
(1.6）
1 xi 1 a3 = 1 xj 2A 1 xm
ui uj um
式中，
A为三角形单元的面积，有
用形函数把式(1.9）写成矩阵，有
u N i = v 0
缩写为
0 Ni
Nj 0
0 Nj
Nm 0
ui v i 0 u j Nm v j um vm
{ f } = [ N ]{δ }
将式(1.6）代入式(1.3）的第一式，整理后得
1 u = [(ai + bi x + ci y)ui + (a j + b j x + c j y)u j + (a m + bm x + cm y)u m ] 2A (1.9） 1 ν = [(ai + bi x + ci y)ν i + (a j + b j x + c j y)ν j + (a m + bm x + cm y)ν m ] 2A