(1.3）
称式(１.3)为方程组★的特征方程，称 为A的特征值.称非零向量C为Ａ的对应于特征值 的特征向量.
一.矩阵指数 的定义和性质：
1.矩阵范数的定义和性质
定义:对于 矩阵A= ｎ×n和n维向量X＝
定义Ａ的范数为 ＝ , =
设A,Ｂ是n×n矩阵，ｘ,y是n维向量，易得下面两个性质：
（1) ≤ , ≤ ;
(2） ≤ + ， ≤ + .
2.矩阵指数 的定义和性质：
(!)定义:如果A是一个n×n常数矩阵，我们定义矩阵指数 为下面的矩阵级数的和： = =E+A+ +…+ +…（１.0)
事实上,对于一切正整数ｋ,当 ≤c（c是某一整数)时，有 ≤ ≤ ，而数值级数 是收敛的,因而 ｔ= 是一致收敛的.
(2）矩阵指数 的性质:
①若矩阵A,B是可交换的，即ＡB＝BA,则
(A+B）＝ ;
②对于任何矩阵A， 存在，且 =ｅxp（-Ａ）；
③如果T是非奇异矩阵，则
ｅxp（ AＴ）= ( ）T .
Abstｒacｔ：Diｆfｅｒential eqｕａｔionｓapplｉcａｔｉoｎｉn eｎgｉｎｅｅrinｇｔｅｃhｎology is verｙextensiｖe， ｗｈen manyprｏblｅmｓarｅａttribuｔable to itsｓolving probｌeｍ,base solutｉoｎmatrｉx existeｎceａｎd speｃific seek iｓdiffereｎｔthingｓ, gｅnｅrａｌhoｍogeneoｕs lｉneａrdｉfｆerｅnｔiaｌｅquａtionsｉsｎotｔhｅbasｅsoｌutioｎｍatrｉxbyiｎｔegｒalｇet, butｗhｅnｃoefficiｅｎt mａｔｒｉｘisconstantmatrix, can pasｓoｕt tｈebasｅsolｕtionｍatriｘmeｔｈoｄ，tｈenａｒeａｖａilａble matrｉx exponentialｔ,the generａlｆorｍbase soluｔioｎmatｒiｘ,thepaperdiscusｓesｔhemｏstwｉdelyuｓeｄdiｆfeｒeｎｔialｅｑuatioｎs with conｓtantｃoefｆｉcieｎts,combiｎｅdｗithｄｉfｆｅｒentialｅｑuations，linear alｇｅｂｒａ，dｉscuss knｏwlｅｄｇe of homogeｎeｏusliｎearｄｉffeｒentialｅquａｔion wｉtｈcoｎｓtant coeｆｆicients of bａseｓoｌutiｏnｍatｒiｘｓeveｒal geｎｅｒalcaｌｃulation mｅthod.
关键词；常系数奇次线性微分方程组;基解矩阵；矩阵指数
Calculaｔionof Basｉc soluｔioｎ ＭatrixofＬinｅａrＨomogeneousSystemｗith Constant Coeｆficients
ZhiｊunＤong
(Ｄｅpａrtmeｎｔof Matheｍatｉcs，ChaohuCollegｅＡnhui，Chaoｈu)
Keｙword:lineａrｈoｍogeneoｕｓsyｓtｅｍwｉｔh consｔant cｏeｆfiｃieｎtｓ；ｍatriｘ ｏｆbasic sｏlutions; matrixｅｘponｅnt
引言：线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点,根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组Ｘ’＝AX★ 的基解矩阵的计算问题，这里A是 常数矩阵.
3.有关常系数奇次线性微分方程组★的基本问题
定理1：矩阵 (t)＝ t(1.1）
是★的基解矩阵,且 (0)=E．
证明：由定义易知 （0）＝E,将（１．1）对t求导，得 （t)= =Ａ＋ t+ +…＋ ＋…=Ａ t＝Ａ （t)
这就表明, （ｔ）是★的解矩阵,又 (0)= =1因此 (t）是★的解矩阵．证毕.
常系数线性方程组基解矩阵的计算
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常系数线性方程组基解矩阵的计算
董治军
（巢湖学院数学系，安徽巢湖2３80０0）
摘要:微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题,基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的,但当系数矩阵是常数矩阵时,可以通过方法求出基解矩阵,这时可利用矩阵指数 t，给出基解矩阵的一般形式,本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程,线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法．
其中E为n阶单位矩阵， 是Ａ的m次幂，这里我们规定 =E，０！＝1这个级数对于所有的Ａ都是收敛的.因次 是一个确定的非负矩阵，特别的,对所有元均为０的零矩阵0，有exｐ0＝E.
事实上，由上面范数的性质（1),易知对于一切正整数k,有 ≤ ,
又因对于任一矩阵Ａ， 是一个确定的实数,所以数值级数 + + +…＋ +…是收敛的.进一步指出,级数 t= 在ｔ的任何有限区间上是一致收敛的.
注1:由பைடு நூலகம்理1,我们可以利用这个基解矩阵推知★的任一解
(t)=（ t）C这里C打、是一个常数向量.
例1:如果A是一个对角矩阵Ａ＝ (其中未写出的元均为零)
试找出 ＝Ax的基解矩阵.
解:由(1．0)可得 t=E＋ ＋ + +…=
根据定理1,这就是一个基解矩阵.
例2:试求 = x的基解矩阵.
解：因为A= = + 而且后面的两个矩阵是可交换的，得到
=eｘp t exp ｔ=
但是 =
所以级数只要两项，因此基解矩阵是 t= .
二．基解矩阵的计算
1．基于特征值和特征向量型计算基解矩阵
类似于一阶齐次线性微分方程,希望方程组★有形如 的解,其中 为待定的参数，C为待定的n维非零向量,将之代入方程组，得到 ，即有 (1.2)
要使齐次线性代数方程组(1.２）有非零解向量,应有