Buck电路模型建立及PI调节器设计朱海勇（东南大学电气工程学院，南京市玄武区四牌楼2号）The Construction of Buck Circuit Model and the Design of PI RegulatorZHU Hai-yong(School of Electrical Engineering, Southeast University, Nanjing Xuanwu Four Arches on the 2nd)ABSTRACT:In this paper, the state-space averaging method has been used to get the construction of Buck circuit model. Then the transfer function G(s) from control to output was obtained.And frequency characteristics curve of G(s) has been received in the help of MA TLAB.The design of PI regulator was done due to the instability of the system.The parameters of PI regulator,K P and K I was also obtained with the aid of the Rolls stability criterion. At last,the Buck converter model was built in Simulink simulation and the actual output voltage of the system was 12V after 0.5s .KEY WORDS：buck；state-space averaging method；pi regulator摘要：本文采用状态空间平均法对Buck变换器建模，得到由控制到输出的传递函数G(s)。

使用MA TLAB画出G(s)的频率特性曲线，得知系统不稳定后，设计PI调节器，由劳斯稳定判据得到PI调节的K P、K I参数。

在Simulink中搭建Buck变换器的实际仿真模型，系统的输出电压在0.5s后稳定在12V。

关键字：Buck；状态空间平均法；PI１引言20世纪人类最伟大的20项科技成果有：电气化、汽车、飞机、自来水供水系统、电子技术、无线电与电视、农业机械化、计算机、电话、空调与制冷、高速公路、航天、互联网、成像技术、家用电器、保健科技、石化、激光与光纤、核能利用、新型材料，这些成果几乎不同程度地应用了电力电子技术，电力电子技术已广泛地应用于工业、交通、IT、通信、国防以及日常生活中。

电力电子装置的应用范围十分广泛，粗略地可分为（有功）电源、无功电源、传动装置。

电源有直流开关电源、逆变电源、不间断电源设备（UPS）、直流输电装置等；无功电源有静止无功补偿装置（SVC）、静止无功发生装置（SVG）、有缘电力滤波器、动态电压恢复装置（DVR）等；传动装置有直流调速系统、各种电动机的变频调速系统等[1]。

本文采用状态空间平均法对Buck电路建模，得到由控制到输出的传递函数，使用MATLAB画出传递函数的频率特性曲线，得知系统不稳定后，设计PI调节器，最终使系统的输出电压稳定。

2建模过程2.1状态空间平均法矩阵方程)()()(K tButAxdttdx+=)()()(tEutCxty+=状态变量x(t)包含电感电流、电容电压等。

⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=:)()()(21txtxt x，⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=:)()()(21dttdxdttdxdttdxu(t)为输入量，通常为变换器的输入v g(t)。

y(t)为输出向量。

系数矩阵K包含电容、电感、互感。

输出变量y(t)是输入独立电源与状态变量的线性组合。

A、B、C和E为常数矩阵。

2.2 Buck 电路模型建立降压斩波电路可以简化为图1所示电路[6]。

v gi (t)Lv(t)+-图1简化的Buck 电路此电路主要的工作状态有两种，即开关管导通模式和开关管关断模式，分别对应图2a 和2b 电路中的开关管和二极管工作在导通和截止两个状态，是一个强非线性系统。

对于buck 电路，可以取电感电流i L (t)和电容电压v C (t)作为状态变量，输入电压V g (t)为输入变量，输出电压为v(t)输出变量。

v gi L (t)Lv(t)+-图2a VT 开通时的等效电路v gi (t)Lv(t)+-图2b VT 关断时的等效电路2.3 Buck 变换器动态模型建立[5]状态变量 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=)()(i )(L t v t t x C输入矢量[])()(t v t u g =输出矢量[])()(t v t y =在阶段1，VT 导通，等效电路如图2a 所示，可得到如下状态方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==)()()()()()(-)()(LL t v t v R t v t i dt t dv C t v t v dt t di L C C g (1) 将上述方程写成矩阵形式[][][][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(0)()(10)()(01)()(111-0)()(C 00L C C L t v t v t i t v t v t v t i R t v t i dt d g L g LC (2)在阶段2，VT 关断，等效电路如图2b 所示，可得到如下状态方程⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==)()()((t)i )()(-)(L C L t v t v R t v dt t dv C t v dt t di L C C (3) 将上述方程写成矩阵形式[][][][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡)(0)()(10)()(00)()(111-0)()(C 00L C L C LL t v t v t i t v t v t v t i R t v t i dt d g g C (4)求状态平均系数矩阵⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=+=R R D R D 111-0111-0111-0A D DA A '2'1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+=0D 0001B D DB B '2'1D D[][][]101010C D DC C '2'1=+=+=D D[][][]000E D DE E '2'1=+=+=D D (5)代入静态工作点状态方程0=AX+BU ，得到[]g C L V D V I R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0111-000 (6) 代入静态工作点输出方程Y=CX+EU ，得到[][][][]g C L V V I 010V +⎥⎦⎤⎢⎣⎡= (7) 由式（6），解得静态工作点[]g V ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡D R D V I C L (8)上式代入式（7），化简[][][][][]g g V V 0D R D 10V +⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=(9)计算小信号模型中系数矩阵⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=+00002B -1B 2A -1A g g V V U X ）（）（(10)[]0E -E C -C 2121=+U X ）（）（得小信号交流状态方程[][][]⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧)(0)(0)()(10)()(0)(0)()(111-0)()(C 00L L L L t d t v t v t i t v t d V t v D t v t i R t v t i dt d g C g g C C (11)将上式改写成标量形式的状态方程⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=-=++=∧∧∧∧∧∧∧∧∧)()()()()()(V )()(-)(C g g C L t v t v R t v t i dt t v d Ct d t v D t v dtt i d L C L C （12） 和由控制到输出的传递函数：1RL)()(G(s)20)(++===∧∧∧s LCs V s d s v gs v g （13） 3 Buck 变换器PI 调节器设计[4]现在以一具体电路进行设计，电路参数如下：电感L=0.1mH;电容C=5000uF;电阻R=1Ω；V g =48V ；V=12V 。

由式（8）可以求得D=0.25。

Buck 电路不加PI 调节器之前的系统开环传递函数为：110105481RL )()(G(s)42720)(++⨯=++==--=∧∧∧s s s LCs V s d s v gs v g （14） 利用MA TLAB 画出系统修正前的频率特性曲线，如图3所示：图3 系统校正前的频率特性曲线可以得到系统的幅值裕度G m =0dB ，相角裕度P m =0deg ，相角裕度太小，为得到相角裕度45deg 左右，幅值裕度在10dB 左右，需要进行校正，这里采用PI 调节器进行校正[2]。

校正后系统的闭环结构框图如图4所示：变化量图4 由PI 调节器组成的系统闭环结构框图图中G(s)由式（15）得到，s KIp +=K M(s)，V ref 为给定控制变量的变化，K 为反馈放大系数。

可以得出系统的闭环传递函数为：)()(1)()(0s G s KM s G s M V V ref +=∧(15)取K=1,即采用单位负反馈。

此时系统的闭环传递函数为：IP I P I P I P ref K s K s s K sK s s s K K s s s K K V V 4811010548)11010548)((1)11010548(24374274270++++⨯⨯+=++⨯++++⨯⨯+=------∧）（）（）（）（(16) 从而可以得到系统的闭环特征方程为：I P K s K s s 48110105D(s)2437++++⨯=--）（(17)列出相应的劳斯表：II P 1I 42P 738K 40K 24.0-K 18K 4101K 105ss s s++⨯--根据劳斯判据，令劳斯表中第一列各元为正，可得：⎩⎨⎧>>+08K 40K 24.0-K 1I I P 解不等式组可得⎩⎨⎧->>124.0K 0I P I K K (17) 此时系统的开环传递函数为：)11010548)(s K (K M(s)G(s)F(s)427-I P ++⨯+==-s s (18)试取K P =0.01；K I =0.3。