a
f ( x)
p
∞
= max f ( x )
t∈[ a , b ]
b
a
f ( x ) dt
)
1 p
,1 < p < ∞
例4：设A为n阶实对称正定矩阵，对x∈Rn, 定义 x A = ( x Ax )
T 12
称为加权范数或椭圆范数
x
A
由正定矩阵定义可知 x A = 0 ⇔ x = 0; 对任意数 α ∈ R ，有
i =1 p −1 n
n
p
= ∑ ξ i + ηi i ξ i + ηi
i =1 p −1
n
(
p −1
≤ ∑ ξ i ξ i + ηi
P ≤ ∑ ξi i =1
1 P
+∑ ηi ξ i + ηi
i =1
∑ ai bi
n
) ≤ (∑ a ) (∑ b )
p 1 p i i
1 P
定义：若 {
k x( )
n 1, 2, k = V ( ) 是线性空间 中的向量 }
n
序列，如果存在 ∀x ∈ V ，使得 lim x
k →+∞
(k)
−x
则称序列
{ }
k x( )
α
=0
按 α − 范数收敛于 x
定理：向量空间C n 中，
k →+∞
lim x
(k)
= x ⇔ ∀ x , lim x
(
p −1 q
)

1
q
i
p −1
1 p −1 = q p
p
p
x+ y
p
所以
x
p
n p = ∑ xi i =1
1 p
( 1 ≤ p < ∞ ) 是向量 x 的范数
例2：线性空间V n中，任取它的一组基 则对于任意向量x,它可以表示为
x = ξ1 x1 + + ξ n xn
T
m
中的一个向量 x = ( x1 , x2 ,
m 也是 C β 证：1）设 A = ( a1 , a2 , 线性无关。
则
x
, xn ) ，规定 x β = Ax 中的一个向量范数。 , an ) ，由假设知a1 , a2 , , an
α
x1 x2 当 x ≠ 0 Ax = ( a1 , , an ) = a1 x1 + + an xn ≠ 0 x n 又因为 y α 是 C m 中的一个向量范数，有 Ax α > 0
k →+∞
(k)
−x =0
2006-12-1
n C 定理：向量空间
中，
(k)
k →+∞
k →+∞
lim x
(k)
= x ⇔ ∀ x , lim x x = x
−x =0
证明：只需对
1
证明即可。
, n) , n)
x k → x ⇔ ξ i( k ) → ξ i ( i = 1, 2,
⇔ ξ i( k ) − ξ i → 0( i = 1, 2,
1
p > 1: x + y = θ 时,结论成立; x + y ≠ θ 时,应用Holder不等式
∑ ai bi ≤
（利用
(
∑ ai
p
)(
1 p
∑ bi
1 q q
)
( p > 1, q > 1,
1 1 + = 1) p q
( p − 1) q = p ）
( x+ y )
p n i =1 n
p
= ∑ ξ i + x ) 是一种向量范数，记2-范数
xi 是一种向量范数,记为 ∞ -范数 3: x = max i
4： x
p
n p = ∑ xi i =1
1 p
(1 ≤ p < ∞ )
是一种向量范数，记为p-范数或 l p 范数
证明：向量p -范数
x
p
(4) ∀x, y ∈ V ， x − y ≤ x − y
x =
( x − y) + y
≤ x− y + y
⇒ x − y ≤ x− y
同样
y − x ≤ y− x = x− y
例1：线性空间 C ，设 x = ( x1 , x2 , , xn ) ∈ C n
n
T
1： x 1 = ∑ ξ i 2： x =
矩阵分析与应用
第七讲 范数理论及其应用之一
本讲主要内容
向量范数及lp范数
定义：如果V是数域K上的线性空间，且对于V的任 一向量x，对应一个实数值 x ，满足以下三个条件 1) 非负性： x ≥ 0, 且 x = 0 ⇔ x = 0 2) 齐次性： kx = k i x , ∀k ∈ K 3) 三角不等式： x + y ≤ x + y 则称 x 为V上向量x的范数，简称为向量范数。 注意：2)中 k 当K 为实数时为绝对值， 当K 为复数域时为复数的模。
∴ x+ y
A
= B ( x + y)
(
)
, λn )QT
12 T
可得 A = BT B
12
2
= ( Bx ) ( Bx ) = Bx 2 ≤ Bx 2 + By 2 = x A + y
A
例5：设 y α 是 C m 中的一个向量范数，给定矩阵
A∈C
m×n
，它的n个列向量线性无关。对于 C
向量的范数具有下列简单性质：
(1) 当 x ≠ 0 时， 1 x = 1
x
1 1 x = x =1 ∵ x x
(2) ∀x ∈ V (3) ∀x, y ∈ V
∵ x =
， −x = x ，x − y ≤ x − y
∵
− x = −1 x = x
(x − y) + y
≤ x− y + y ⇒ x − y ≤ x− y
αx
A
≠0⇔ x≠0
=
(α x )
T
2 T Aα x = α x Ax
=α
xT Ax = α x
,n
A
由 A正定且实对称 ⇒ ∃ 正交矩阵Q，使得 T Q AQ = diag ( λ1 , , λn ), λi > 0, i = 1, 定义 B = diag ( λ1 ,
∵ x
A
= x B Bx
T T
⇔∑ξ
i =1
n
(k) i
− ξi → 0
1
k ⇔ x( ) − x → 0
2006-12-1
α
≤ c2 x
β
β
(∀ x ∈ V n )
则称范数 x α 与 x
1 x c2
等价
1 ≤ x α , ∀x ∈ V n c1
α β
α
（1）自反性： 1i x α ≤ x α ≤ 1i x α , ∀x ∈ V n
≤ xβ （2）对称性： α （3）传递性：c 1 x β ≤ x c3 x γ ≤ x
n pp = ∑ xi i =1
(1 ≤ p < ∞ )
证：性质（1）、（2）显然是满足的 设 x = ( ξ1 , ξ 2 , , ξ n ) , y = (η1 ,η 2 , ,η n ) ，则
p = 1 : x + y 1 = ∑ ξ i + ηi ≤ ∑ ξ i + ηi = x 1 + y
≤ x 1 ≤ ni x
1 2 2 i
∞
（2）
x2=
( ∑ ξ ) ≤ ( nimax ξ )
i i
1 2 2
= n x
∞
x 2 ≥ max ξ i
i
(
1 2 2
)
= 1i x
∞
∴ 1i x
∞
≤ x 2 ≤ ni x
∞
（3）
1 i x 2 ≤ x 1 ≤ ni x n
2
定理：有限维线性空间中任意两个向量范数都等价。 证明思路 1)范数等价为等价关系,满足传递性; 2)任意范数为坐标函数的连续函数； 3)在单位超球面上有大于零的极大极小值, 与2-范数等价。
所以， x
β
是 C n 中的一个向量范数。
由此可知，当给定 A ∈ C m×n 时，可以由 C m 中的一个 向量范数确定 C n 中的一个向量范数。
三、范数等价
定义：有限维线性空间 V n 中任意两个向量范数 x α 和 x β ，如果存在着正常数 c 和 c ， 2 1 使得 c 1 x
β
≤ x
≤ c2 x ≤ c4 x
β γ
γ
⇒ c5 x
γ
≤ x
≤ c6 x

∀x ∈ V
n
例6：向量空间 V 中，对 ∀x = ( ξ1 , ξ 2 , , ξ n )
n
T
，有
∞
ξi = n x （1） x 1 = ∑ ξ i ≤ ni max i
∴ 1i x
∞
∞
x 1 ≥ ∑ ξ i = 1i x
x
β
即
>0
当 x = 0 时，Ax = 0 ，所以 2） ∀k ∈ C,
x
β
= Ax
α
=0
kx β = A(kx) α = kAx α = k Ax α = k x β
3） ∀x = ( x1 , x2 ,