第8讲函数与方程基础知识整合1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈区间D)，把使□01f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈区间D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与□02x轴有交点⇔函数y＝f(x)有□03零点.(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有□04 f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间□05(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得□06f(c)＝0，这个□07c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与x轴的交点□08(x1,0)，(x2,0)□09(x1,0)无交点零点个数□102□111□120有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)函数的零点是实数，而不是点，是方程f(x)＝0的实根．(5)由函数y＝f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示，所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)的闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．1．(2020·云南玉溪一中二调)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是()A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)答案 B解析易知函数f(x)＝2x＋3x在定义域上单调递增，且f(－2)＝2－2－6<0，f(－1)＝2－1－3<0，f(0)＝1>0，所以由零点存在性定理得，零点所在的区间是(－1，0)．故选B．2．(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sin x－sin2x在[0,2π]的零点个数为()A．2 B．3C．4 D．5答案 B解析令f(x)＝0，得2sin x－sin2x＝0，即2sin x－2sin x cos x＝0，∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.又x∈[0,2π]，∴由sin x＝0得x＝0，π或2π，由cos x＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B．3．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 答案 C解析 因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3.故选C ．4．(2019·河南郑州模拟)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 作出函数y ＝|x －2|与g (x )＝ln x 的图象，如图所示．由图象可知两个函数的图象有两个交点，即函数f (x )在定义域内有2个零点．故选C ．5．函数f (x )＝e x ＋3x 的零点有________个． 答案 1解析 ∵f (x )＝e x ＋3x 在R 上是单调递增函数，且f (－1)＝e －1－3<0，f (0)＝1>0，∴函数f (x )有1个零点．6．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m 有两个零点，则m 的取值范围是________.答案 (0,1)解析 如图，作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象．则当0<m <1时，直线y ＝m 与曲线y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的图象有两个交点，即函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |－m 有两个零点．核心考向突破考向一 函数零点所在区间的判断例1 (1)(2019·重庆模拟)设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0所在区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案 B解析 因函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象交点为(x 0，y 0)，则x 0是方程x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2的解，也是函数f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点．∵函数f (x )在R 上单调递增，f (2)＝22－1＝3>0，f (1)＝1－2＝－1<0，∴f (1)·f (2)<0.由零点存在性定理可知，方程的解在(1,2)内．故选B ．(2)(2019·包头模拟)已知函数f (x )＝ln x ＋3x －8的零点x 0∈[a ，b ]，且b －a ＝1，a ，b ∈N *，则a ＋b ＝( )A ．0B ．2C ．5D ．7答案 C解析 ∵f (2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f (3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0，且函数f (x )＝ln x ＋3x －8在(0，＋∞)上为单调递增函数，∴x 0∈[2,3]，即a ＝2，b ＝3，∴a ＋b ＝5.判断函数零点所在区间的常用方法(1)定义法：利用函数零点存在性定理，首先看函数y ＝f (x )的区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f (a )·f (b )<0.若有，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内必有零点．(2)解方程法：当对应方程易解时，可通过解方程确定方程是否有根落在给定区间上．(3)数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断．[即时训练] 1.函数f(x)＝2x＋ln 1x－1的零点所在的大致区间是()A．(1,2) B．(2,3) C．(3,4) D．(4,5) 答案 B解析易知f(x)＝2x ＋ln 1x－1＝2x－ln (x－1)在(1，＋∞)上单调递减且连续，当1<x<2时，ln (x－1)<0，2x>0，所以f(x)>0，故函数f(x)在(1,2)上没有零点．f(2)＝1－ln 1＝1，f(3)＝23－ln 2＝2－3ln 23＝2－ln 83，8＝22≈2.828>e，所以8>e2，即ln 8>2，所以f(3)<0.所以f(x)的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B．2．若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内答案 A解析函数y＝f(x)是开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于a<b<c，则a－b<0，a－c<0，b－c<0，因此f(a)＝(a－b)(a－c)>0，f(b)＝(b－c)(b－a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.所以f(a)f(b)<0，f(b)f(c)<0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c)内各有一个零点．考向二函数零点个数的讨论例2 (1)(2020·福州期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≤0，1＋1x ，x >0，则函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 令f (x )＋3x ＝0，则⎩⎨⎧x ≤0，x 2－2x ＋3x ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，1＋1x ＋3x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，所以函数y ＝f (x )＋3x 的零点个数是2.故选C ．(2)(2019·南昌模拟)已知函数y ＝f (x )是周期为2的周期函数，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝2|x |－1，则函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是( )A ．9B ．10C ．11D ．18答案 B解析 在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝f (x )与y ＝|lg x |的大致图象如图，由图象可知，它们共有10个不同的交点，因此函数F (x )＝f (x )－|lg x |的零点个数是10.故选B ．确定函数零点个数的方法及思路(1)解方程法：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质．(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．[即时训练] 3.(2019·乐山模拟)函数f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 C解析 由f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x |，得f (－x )＝(－x )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12|－x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)·f (1)<0，∴f (x )在(0，＋∞)上有且仅有1个零点．∴函数f (x )的零点个数为2，故选C ．4．函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由2x |log 0.5x |－1＝0得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，作出y ＝|log 0.5x |和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如图所示，则两个函数图象有两个交点，故函数f (x )＝2x |log 0.5x |－1有两个零点．精准设计考向，多角度探究突破考向三函数零点的应用角度1利用零点比较大小例3(1)(2019·承德模拟)已知a是函数f(x)＝2x－log12x的零点，若0<x0<a，则f(x0)的值满足()A．f(x0)＝0 B．f(x0)>0C．f(x0)<0 D．f(x0)的符号不确定答案 C解析在同一平面直角坐标系中作出函数y＝2x，y＝log12x的图象(图略)，由图象可知，当0<x0<a时，有2x0<log12x0，即f(x0)<0.(2)已知函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是()A．x2<x1<x3B．x1<x2<x3C．x1<x3<x2D．x3<x2<x1答案 B解析令y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－x－1，因为函数f(x)＝x＋2x，g(x)＝x＋ln x，h(x)＝x－x－1的零点分别为x1，x2，x3，则y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－x－1的图象与y＝－x的交点的横坐标分别为x1，x2，x3，在同一平面直角坐标系内分别作出函数y1＝2x，y2＝ln x，y3＝－x－1及y＝－x的图象如图，结合图象可得x1<x2<x3，故选B．在同一平面直角坐标系内准确作出已知函数的图象，数形结合，对图象进行分析，找出零点的范围，进行大小比较．[即时训练] 5.(2019·广东七校联考)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x ，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且x 0<x 1，则f (x 1)的值( )A ．恒为负B ．等于零C ．恒为正D ．不大于零答案 A解析 由于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15x －log 3x 在定义域内是减函数，于是，若f (x 0)＝0，当x 0<x 1时，一定有f (x 1)<0.故选A ．6．已知x 0是函数f (x )＝2x ＋11－x的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0答案 B解析 在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝2x 和函数y ＝1x －1的图象，如图所示．由图象可知函数y ＝2x 和函数y ＝1x －1的图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x ＋11－x只有一个零点x 0，且x 0>1.因为x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则由函数图象可知，f (x 1)<0，f (x 2)>0. 角度2 由函数零点存在情况或个数求参数范围例4 (1)(2019·天津高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，1x，x >1.若关于x 的方程f (x )＝－14x ＋a (a ∈R )恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为( )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤54，94∪{1}D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}答案 D解析 如图，分别画出两函数y ＝f (x )和y ＝－14x ＋a 的图象．①先研究当0≤x ≤1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝2x 的图象只有一个交点的情况．当直线y ＝－14x ＋a 过点B (1,2)时， 2＝－14＋a ，解得a ＝94.所以0≤a ≤94.②再研究当x >1时，直线y ＝－14x ＋a 与y ＝1x 的图象只有一个交点的情况： a ．相切时，由y ′＝－1x 2＝－14，得x ＝2，此时切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，则a ＝1. b ．相交时，由图象可知直线y ＝－14x ＋a 从过点A 向右上方移动时与y ＝1x 的图象只有一个交点．过点A (1,1)时，1＝－14＋a ，解得a ＝54.所以a ≥54.结合图象可得，所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，94∪{1}．故选D ．(2)(2019·浙江高考)设a ，b ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2＋ax ，x ≥0.若函数y ＝f (x )－ax －b 恰有3个零点，则( )A ．a <－1，b <0B ．a <－1，b >0C ．a >－1，b <0D ．a >－1，b >0答案 C解析 由题意，b ＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2，x ≥0.设y ＝b ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－a )x ，x <0，13x 3－12(a ＋1)x 2，x ≥0.即以上两个函数的图象恰有3个交点，根据选项进行讨论． ①当a <－1时，1－a >0，可知g (x )在(－∞，0)上单调递增； 由g ′(x )＝x 2－(a ＋1)x ＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)，a ＋1<0， 可知g (x )在(0，＋∞)上单调递增．此时直线y ＝b 与g (x )的图象只有1个交点，不符合题意，故排除A ，B ． ②当a >－1，即a ＋1>0时， 因为g ′(x )＝x [x －(a ＋1)](x ≥0)， 所以当x ≥0时，由g ′(x )<0可得0<x <a ＋1，所以当x ≥0时，g (x )在(0，a ＋1)上单调递减，g (x )在(a ＋1，＋∞)上单调递增．如图，y ＝b 与y ＝g (x )(x ≥0)的图象至多有2个交点．当1－a >0，即－1<a <1时，由图象可得，若要y ＝g (x )与y ＝b 的图象有3个交点，必有b <0；当1－a ＝0时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个、2个或无数个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去；当1－a <0，即a >1时，y ＝g (x )与y ＝b 的图象可以有1个或2个交点，但不存在恰有3个交点的情况，不符合题意，舍去．综上，－1<a <1，b <0.故选C ．已知函数零点求参数范围的常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，作出函数的图象，然后数形结合求解．[即时训练] 7.(2019·唐山模拟)当x ∈[1,2]时，若函数y ＝12x 2与y ＝a x (a >0)的图象有交点，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2解析 当a ＝1时，显然成立．当a >1时，如图①所示，使得两个函数图象有交点，需满足12×22≥a 2，即1<a ≤ 2；当0<a <1时，如图②所示，要使两个函数图象有交点，需满足12·12≤a 1，即12≤a <1，综上可知，a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12， 2.8．若函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点，则实数a 的取值范围是________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2解析 因为函数f (x )＝4x －2x －a ，x ∈[－1,1]有零点， 所以方程4x －2x －a ＝0在[－1,1]上有解， 即方程a ＝4x －2x 在[－1,1]上有解． 方程a ＝4x －2x 可变形为a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14，因为x ∈[－1,1]，所以2x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －122－14∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，2.课时作业1．(2019·郑州质检)函数f (x )＝ln x －1x －1的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 C解析 在同一平面直角坐标系中作出函数y ＝1x －1与y ＝ln x 的图象(图略)，由图象可知有两个交点．2．(2019·金华模拟)函数f (x )＝ln x －2x 的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(1，e)和(3,4) D ．(e ，＋∞)答案 B解析 因为f ′(x )＝1x ＋2x 2>0(x >0)，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln 3－23>0，f (2)＝ln 2－1<0，所以f (2)·f (3)<0，所以函数f (x )唯一的零点在区间(2,3)内．故选B ．3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A ．12，0 B ．－2,0 C ．12 D ．0答案 D解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.4．函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C解析 因为y ＝1x 与y ＝log 2x 的图象只有一个交点，所以f (x )只有一个零点．又因为f (1)＝1，f (2)＝－1，所以函数f (x )＝1－x log 2x 的零点所在的区间是(1,2)．故选C ．5．函数f (x )＝x cos2x 在区间[0,2π]上的零点的个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 D解析 f (x )＝x cos2x ＝0⇒x ＝0或cos2x ＝0，又cos2x ＝0在[0,2π]上的根有π4，3π4，5π4，7π4，共4个，故原函数有5个零点．6．若x 0是方程⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝x 13 的解，则x 0属于区间( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 答案 C解析 令g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x )＝x 13 ，则g (0)＝1>f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212 <f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 ，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1213 >f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1313 ，所以由图象关系可得13<x 0<12.7．(2019·银川模拟)f (x )＝3x －log 2(－x )的零点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案 B解析 f (x )的定义域为(－∞，0)，且f (x )在(－∞，0)上单调递增，f (－1)＝13>0，f (－2)＝－89<0，所以函数f (x )＝3x －log 2(－x )有且仅有1个零点，故选B ．8．已知a ，b ，c ，d 都是常数，a >b ，c >d .若f (x )＝2019－(x －a )(x －b )的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是( )A ．a >c >b >dB ．a >b >c >dC ．c >d >a >bD ．c >a >b >d答案 D解析 f (x )＝2019－(x －a )(x －b )＝－x 2＋(a ＋b )x －ab ＋2019，又f (a )＝f (b )＝2019，c ，d 为函数f (x )的零点，且a >b ，c >d ，所以可在平面直角坐标系中作出函数f (x )的大致图象，如图所示，由图可知c >a >b >d ，故选D ．9．(2019·吉林长春模拟)已知x 0是f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1x 的一个零点，x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)>0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)<0，f (x 2)>0答案 C解析 如图，在同一平面直角坐标系内作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，y ＝－1x 的图象，由图象可知，当x ∈(－∞，x 0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x >－1x ，当x ∈(x 0,0)时，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x<－1x ，所以当x 1∈(－∞，x 0)，x 2∈(x 0,0)时，有f (x 1)>0，f (x 2)<0，故选C ．10．(2019·郑州质检)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5，已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析 作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，发现有两个不同的交点，故选B ．11．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧e x ，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0)B ．[0，＋∞)C ．[－1，＋∞)D ．[1，＋∞)答案 C解析 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝－x 并上下移动，可以发现当直线y ＝－x 过点A 时，直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，并且向下无限移动，都可以保证直线y ＝－x 与函数f (x )的图象有两个交点，即方程f (x )＝－x －a 有两个解，也就是函数g (x )有两个零点，此时满足－a ≤1，即a ≥－1，故选C ．12．(2019·河北正定模拟)已知f (x )为偶函数且f (x ＋2)＝f (x )，若当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则方程f (x )＝log 3|x |的解的个数是( )A ．0B ．2C ．4D ．6答案C解析 画出函数f (x )和y ＝log 3|x |的图象(如图所示)，由图象可知方程f (x )＝log 3|x |的解有4个．故选C ．13．已知函数y ＝f (x )的图象是连续曲线，且有如下的对应值表：x 1 2 3 4 5 6 y124.435－7414.5－56.7－123.6则函数y ＝f (x )在区间[1,6]上的零点至少有________个． 答案 3解析 由零点存在性定理及题中的对应值表可知，函数f (x )在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内均有零点，所以y ＝f (x )在[1,6]上至少有3个零点．14．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ln x ，x >0，x 2－x －2，x ≤0，则其零点为________.答案 1，－1解析 当x >0时，由f (x )＝0，即x ln x ＝0得ln x ＝0，解得x ＝1；当x ≤0时，由f (x )＝0，即x 2－x －2＝0，也就是(x ＋1)(x －2)＝0，解得x ＝－1或x ＝2.因为x ≤0，所以x ＝－1.综上，函数的零点为1，－1.15．(2019·泉州模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2(x ＋1)，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析 函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，转化为f (x )－m ＝0的根有3个，进而转化为y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点．画出函数y ＝f (x )的图象，由图可知要使函数y ＝f (x )和y ＝m 的图象有3个交点，m 应满足0<m <1，所以实数m 的取值范围是(0,1)．16．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，则m 的取值范围是________.答案 (3，＋∞)解析 f (x )的图象如图所示，若存在实数b ，使得关于x 的方程f (x )＝b 有三个不同的实根，只需4m －m 2<m ，解得m >3或m <0，又m >0，所以m >3.17．(2019·柳州模拟)函数f (x )的定义域为实数集R ，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，－1≤x <0，log 2(x ＋1)，0≤x <3，对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)．若在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 恰好有三个不同的零点，求实数m 的取值范围．解 因为对任意的x ∈R 都有f (x ＋2)＝f (x －2)，所以函数f (x )的周期为4.由在区间[－5,3]上函数g (x )＝f (x )－mx ＋m 有三个不同的零点，知函数f (x )与函数h (x )＝mx －m 的图象在[－5,3]上有三个不同的交点．在同一平面直角坐标系内作出函数f (x )与h (x )在区间[－5,3]上的图象，如图所示．由图可知1－0－1－1≤m <1－0－5－1，即－12≤m <－16.。