第 8 讲 函数与方程的思想【开心自测】1.（2011辽宁）已知函数f(x)= ex-2x+a 有零点，则的取值范围是 （-∞，2ln2-2] .2.(2102北京)函数xx x f )21()(21-=的零点个数为 ( B ) （A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）33. (2012四川) 函数(0,1)x y a a a a =->≠的图象可能是（ C ）【教学重难点】函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.【秒杀方略】函数与方程是两个不同的概念，但它们之间有着密切的联系，方程f(x)＝0的解就是函数y ＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标，函数y ＝f(x)也可以看作二元方程f(x)-y ＝0通过方程进行研究。

就中学数学而言，函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数的方法解决，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决。

函数与方程的思想是中学数学的基本思想，也是历年高考的重点。

1．函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。

2．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。

方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。

方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.3．(1) 函数和方程是密切相关的，对于函数y ＝f(x)，当y ＝0时，就转化为方程f(x)＝0，也可以把函数式y ＝f(x)看做二元方程y －f(x)＝0。

函数问题（例如求函数的值域等）可以转化为方程问题来求解，方程问题也可以转化为函数问题来求解，如解方程f(x)＝0，就是求函数y ＝f(x)的零点。

(2) 函数与不等式也可以相互转化，对于函数y ＝f(x)，当y>0时，就转化为不等式f(x)>0，借助于函数图像与性质解决有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。

(3) 数列的通项或前n 项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点处理数列问题十分重要。

(4) 解析几何中的许多问题，例如直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。

(5) 立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用布列方程或建立函数表达式的方法加以解决。

【金题精讲】【例1】（高考山东）等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S ，均在函数(01,,)xy b r b b b r =+>≠且均为常数的图像上.（Ⅰ）求r 的值；（Ⅱ）当b=2时，记 22(l o g 1)()n n b a n N +=+∈ 证明：对任意的n N +∈，不等式1212111·······n nb b b b b b +++>成立【解析】(Ⅰ) 由题意知: n n S b r =+,当2n ≥时,1111()(1)n n n n n n n n a S S b r b r b b b b ----=-=+-+=-=-, 由于0b >且1,b ≠所以当2n ≥时, {n a }是以b 为公比的等比数列, 又11a S b r ==+,2(1)a b b =-,21,a b a =即(1),b b b b r -=+解得1r =-. (Ⅱ)∵21n n S =-,∴当2n ≥时,111(21)(21)2n n n n n n a S S ---=-=---=, 又当1n =时, 111211a S ==-=,适合上式,∴12n n a -=,122(log 21)2n n b n -=+=, ∴111b b +⋅221b b +⋅1n nb b +⋅=L 357(21)2123nn n ⨯⨯⨯⨯+⋅⨯⨯⨯⨯L L , 下面用数学归纳法来证明不等式:357(21)2123nn n⨯⨯⨯⨯+>⋅⨯⨯⨯⨯L L 证明:(1)当1n =时,左边=32=>=右边,不等式成立. (2)假设当()n k k N *=∈时,不等式成立,即357(21)2123k k k⨯⨯⨯⨯+>⋅⨯⨯⨯⨯L L 则当1n k =+时, 不等式左边=11212111113572123 (246222)k k k k b b b b k k b b b b k k ++++++++⋅=⋅⋅⋅⋅⋅+L2322k k +>=+所以当1n k =+时,不等式也成立, 综上(1)(2)可知:当n N *∈时,不等式357(21)2123nn n⨯⨯⨯⨯+>⋅⨯⨯⨯⨯L L , 所以对任意的n N *∈,不等式111b b +⋅221b b +⋅1n n b b +⋅>L .【例2】如图，椭圆22221y x a b+=(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，M 、N ，且120F M F N ⋅=.（1）设C 是以MN 为直径的圆，试判断原点O 与圆C 的位置关系； （2）设椭圆的离心率为12，MN的最小值为.【解】（1）设椭圆22221y x a b+=的焦距为2c (c >0)， 则其右准线方程为x ＝2a ，且F 1(－c , 0), F 2(c , 0). 、 设M ()()2212,,a a y N y c c ，，则1F M ＝()()22122,,a a c y F N c y c c +=- ，，()()2212,,a a OM y ON y c c== ，.因为120F M F N ⋅=，所以()()22120a a c c y y c c +-+=，即()22212a y y c c+=.于是()222120a OM ON y y c c⋅=+=>，故∠MON 为锐角.所以原点O 在圆C 外.（2）因为椭圆的离心率为12，所以a =2c ，于是M ()()124,4,c y N c y ，，且()22221215.ay y c c c=-=-MN 2＝(y 1－y 2)2＝y 12+y 22－2y 1y 22221212122460y y y y y y c =++=≥. 当且仅当 y 1＝－y 2或y 2＝－y 1时取“=”号， 所以(MN )min = 215c ＝215，于是c =1, 从而a ＝2，b ＝3，故所求的椭圆方程是22143y x +=. 【例3】已知函数f (x )=x 2–(m +1)x +m (m ∈R )(1)若tan A ,tan B 是方程f (x )+4=0的两个实根，A 、B 是锐角三角形ABC 的两个内角.求证：m ≥5; (2)对任意实数α,恒有f (2+cos α)≤0，证明m ≥3; (3)在(2)的条件下，若函数f (sin α)的最大值是8，求m . 解析：（1）证明：f (x )+4=0即x 2–(m +1)x +m +4=0.依题意：⎪⎩⎪⎨⎧>+=⋅>+=+≥+-+=∆04tan tan 01tan tan 0)4(4)1(2m B A m B A m m 又A 、B 锐角为三角形内两内角 ∴2π＜A +B ＜π ∴tan(A +B )＜0，即031tan tan 1tan tan )tan(<--+=-+=+m m B A B A B A∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++>+>+≥--031040101522m m m m m m ∴m ≥5 (2)证明：∵f (x )=(x –1)(x –m )又–1≤cos α≤1，∴1≤2+cos α≤3，恒有f (2+cos α)≤0 即1≤x ≤3时，恒有f (x )≤0即(x –1)(x –m )≤0 ∴m ≥x 但x max =3，∴m ≥x max =3(3)解：∵f (sin α)=sin 2α–(m +1)sin α+m =4)1()21(sin 22+-++-m m m α 且21+m ≥2,∴当sin α=–1时，f (sin α)有最大值8. 即1+(m +1)+m =8，∴m =3【例4】某厂家拟在2009年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）x 万件与年促销费用0()m m ≥万元满足31kx m =-+（k 为常数），如果不搞促销活动，则该产品的年销售量是1万件. 已知2009年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用）． （1）将2009年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； （2）该厂家2009年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解：（1）由题意可知，当0=m 时，1=x ，∴13k =-即2=k ，∴231x m =-+，每件产品的销售价格为8161.5xx+⨯元. ∴2009年的利润)168(]1685.1[m x xxx y ++-+⨯= m m m x -+-+=-+=)123(8484)0(29)]1(116[≥++++-=m m m （2）∵0m ≥时，16(1)81m m ++≥=+. ∴82921y ≤-+=，当且仅当1611m m =++，即3m =时，max 21y =. 答：该厂家2009年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元.【专题精练】1．某建筑的金属支架如图所示，根据要求AB 至少长 2.8m ，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5m ，060BCD ∠=，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计,AB CD 的长，可使建造这个支架的成本最低？则21(1)3422(1)347,4t b a t t tt+-+=++=++≥等号成立时0.50.4, 1.5, 4.t a b =>==答：当3,4AB m CD m ==时，建造这个支架的成本最低.2．已知函数f (x )=xa 11- (a ＞0,x ＞0). （1）求证:f (x )在(0,+∞)上是增函数；（2）若f (x )≤2x 在(0,+∞)上恒成立，求a 的取值范围；（3）若f (x )在［m ,n ］上的值域是［m ,n ］(m ≠n )，求a 的取值范围. (1)证明：任取x 1＞x 2＞0,f (x 1)–f (x 2)=2121122111)11()11(x x x x x x x a x a-=-=--- ∵x 1＞x 2＞0,∴x 1x 2＞0，x 1–x 2＞0,∴f (x 1)–f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，故f (x )在(0,+∞)上是增函数. （2）解：∵xa 11-≤2x 在(0,+∞)上恒成立，且a ＞0, ∴a ≥x x 121+在（0，+∞）上恒成立，令421221121)(=⋅≤+=xx xx x g （当且仅当2x =x 1即x =22时取等号），要使a ≥xx 21+在(0,+∞)上恒成立，则a ≥42.故a 的取值范围是［42,+∞). (3)解：由（1）f (x )在定义域上是增函数. ∴m =f (m ),n =f (n )，即m 2–a 1m +1=0，n 2–a1n +1=0 故方程x 2–a 1x +1=0有两个不相等的正根m ，n ，注意到m ·n =1，故只需要Δ=(a1)2–4＞0,由于a ＞0，则0＜a ＜21.3. 讨论关于x 的方程lg(x -1)+lg(3-x )=lg(a -x )的实根个数解:原方程转化为10300(1)(3)x x a x x x a x->->->--=-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩,即方程x 2-5x+a+3=0在区间（1,3）内是否有根,由0∆≥得:134a ≤,设f(x)= x 2-5x+a+3,对称轴是52x =,若(1)10(3)30f a f a =->=-<⎧⎨⎩得有一根在区间（1,3）内,即当{}13(1,3)4a ∈⋃时,原方程有一根; 若(1)10(3)300f a f a =->=->∆>⎧⎪⎨⎪⎩得13(3,)4a ∈时,原方程有两根; 13(1,]4a ∉时, 原方程无解．【互动答疑】。