y (n) h(k ) x(n k )
k 0
物理可实现的稳定系统的的极点都位于z平面的单位圆内。 以下分析讨论中，均限定系统是单输入单输出的、连续或离 散时不变的、线性的和物理可实现的稳定系统。
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
（一）时域分析方法
1.输出的表达式 如果现在输入为对应于随机信号X(t) 某个实验结果的一个样本函数x(t, )，由于样本函数 是确定性的时间函数，则有
第四章 随机信号通过线性系统的分析
主要内容：

随机信号通过线性系统的分析，是统计信号处理的 基础。本章介绍了计算线性系统（连续系统和离散系 统）输出二阶统计统计特性的两种基本方法－－－时 域中的卷积法和频域分析法；讨论了线性系统输出端 概率密度的计算问题；定义了系统的等效噪声带宽等 概念。
第四章 随机信号通过线性系统的分析
0
同理可证明
Y (t )Y (t ) RY ( )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
例4.1 如下图的低通RC电路，已知输入X(t)是宽平稳的双侧 随机信号，自相关函数为 ( N 0 2) (t ) 的白噪声，求： （1） 输出的自相关函数； （2）输出的平均功率 ；（3）输入 与输出的互相关函数 R XY ( )与 RYX ( ) 。
y (t c ) L[ x (t c )]
则称系统为时不变系统。
满足上两式的系统称为线性时不变系统。在无线电设 备中，常遇到的低频RC放大器、线性滤波器等都属于 这一系统。
4.1 线性系统的基本理论
（二）连续时不变线性系统
设x(t)是连续时不变线性系统的输入，则系统输出由卷 积积分得到
R
X (t )
~
C
RC电路
Y (t )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
解： （1）有题意得： R X ( )
输出自相关函数为
RY ( ) h (u ) du h (v ) R X ( v u ) dv
0 0
N0 2
(t )
b 1 ( RC )
h (t ) be btU (t )
h (t ) m X (t )
3. 系统输入和输出之间的互相关函数 当系统的输出是输入随机信号作用于系统的结果 时，输出与输入将是相关的，其相关性由输入与输出之 间互相关函数描述。
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
R XY (t1 , t 2 ) E [ X (t1 )Y (t 2 )] E [ X (t1 ) h (u ) X (t 2 u ) du ]
RY ( ) R XY ( ) h h ( )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
2. 若输入X(t)是严平稳的，则输出Y(t)也是严平稳的。
3. 若输入X(t)是宽遍历的，则输出Y(t)也是宽遍历性的。 证明：由X(t)的宽遍历性定义得
y (t , ) h( ) x (t , )d
0
对于不同的，就可在系统输出端得到一族样本函数， 这族样本函数构成一个新的随机信号，记为Y(t),此时 可将上式写为
Y (t ) h( ) X (t ) d h(t ) X (t )
0
积分在均方意义下存在。
mY (t ) m X h( ) d
0

R XY (t1 , t 2 ) h(u ) R X (t 2 t1 u )du h(u ) R X ( u )du R XY ( )
0 0
RY (t1 , t 2 )
0

0


0
h (u ) h ( v ) R X (t 2 t1 v u ) dudv
k
| x ( k ) |
x ( n )e


k
| h( k ) |

那么它们的离散傅立叶变换存在(T=1)，即
X (e ) H (e )
j j j n n
n
h ( n ) e j n
4.1 线性系统的基本理论
H ( z)
n
h(n) z

n
h(n)
1 2j

l
H ( z ) z n 1dz
式中l表示包含 H ( z ) z n 1 所有极点的单位圆。
4.1 线性系统的基本理论
如果系统的单位冲激响应满足
h(n) 0 当n 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
X ( ) x (t )e jt dt

H ( ) h (t ) e jt dt

4.1 线性系统的基本理论
h (t ) 1 2



H ( )e jt d
设y(）是输出y(t)的傅立叶变换，则有
Y ( ) H ( ) X ( )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
2. 输出的均值 输出的均值。 已知输入随机信号的均值，求系统

mY (t ) E [Y (t )] E [ h ( ) X (t ) d ]
0



0
h ( ) E [ X (t )] d


0
h ( ) m X (t ) d
4.1 线性系统的基本理论
（三）离散时不变线性系统
离散时不变线性系统输出y(n)与输入x(n)之间的关系是
y (n)
k
h ( k ) x ( n k ) x ( k ) h ( n k ) x ( n ) h ( n )
k


如果x(n)和h(n)绝对可和，即
0
0
此外还能给出输出自相关函数 RY (t1 , t 2 ) 与 R XY (t1 , t 2 ) 及 RYX (t1 , t 2 ) 之间的关系式，即
RY (t1 , t 2 ) h(t1 ) R XY (t1 , t 2 ) h(t 2 ) RYX (t1 , t 2 )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
R X (t1 , t 2 )
h (t 2 )
R XY (t1 , t 2 )
h (t1 )
RY (t1 , t 2 )
图4.2 输出输入二阶矩之间的关系
5. 系统输出的高阶矩
下面不加证明地给出输出n阶矩的一般表达式
E [Y (t1 )Y (t 2 ) Y (t n )] E [ X (t1 ) X (t 2 ) X (t n )] h (t1 ) h (t 2 ) h (t n )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
（二）系统输出的平稳性及其统计特性计算
（1）. 双侧随机信号 在这种情况下，系统相应在t=0时已处于平稳。假设X(t) 具有平稳性和遍历性，则在系统输出端可得到下列几条 重要结论。 1. 若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳 的，且输入与输出联合宽平稳。
如果系统的单位冲激响应满足
h (t ) 0 当 t 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说
y (t ) h( ) x(t ) d x( ) h(t )d
0 t
物理可实现的稳定系统的传递函数H(s)之所有极点都位 于s平面左半面（不包含虚轴）。
X (t ) m X X (t ) X (t ) R X ( )
Y (t ) lim [lim

T
2T
1
T
T
Y (t ) dt lim
T
[ 2T
T
1
T

0
h (u ) X (t u ) du ]dt
1 2T
0 T

T
T
X (t u ) dt ] h (u ) du m X h (u ) du mY
h(n) 1 2



H ( e j ) e j n d
设y(ej）是输出y(n)的傅立叶变换，则有
Y ( e j ) H ( e j ) X ( e j )
若在上式中令 z e j
，则有
Y ( z) H ( z) X ( z)
H(z)与h(n)是一对拉氏变换对，即


0
h (u ) h ( v ) R X ( v u ) dudv RY ( )
4.2 随机信号通过连续时间系统的分析
若用卷积形式表示输入与输出的互相关函数及输出 的自相关函数为
R XY ( ) R X ( ) h( )
RYX ( ) R X ( ) h( ) RY ( ) R X ( ) h( ) h( )
图4.1 线性系统示意图
离散和连续时间系统 双侧系统和单侧系统
4.1 线性系统的基本理论
若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有
L[ ax1 (t ) bx2 (t )] aL[ x1 (t )] bL[ x2 (t )]
则称系统为线性系统。 若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一 个相同的时移，即
通常上式中以 s j 变换的形式，即
代替j，可把上式写成拉氏
Y (s) H (s) X (s)
H(s)与h(t)是一对拉氏变换对，即
H ( s ) h(t )e st dt

h (t )
1 2j