• H (ejω )为线性系统的传输函数或频率响应,h(n)为H (ejω )的傅里叶反 变换。设Y(ejω )为线性系统输出y(n)的离散傅里叶变换,则有
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4.1 线性系统的基本性质
• 若在上式中令z=ejω ,则有
• 3. 物理可实现的稳定系统 • 如果系统的单位冲激响应满足当n<0时,h(n)=0,那么称该系统为因果
• 式中,y(t)是系统的输入,L[x(t)]表示系统对x(t)的作用,它是对信号x (t) 进行运算的符号,称为运算子。L[·] 代表着各种可能的数学运算方法, 如加法、乘法、微分、积分以及积分方程、微分方程的求解运算等。
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4.1 线性系统的基本性质
• 若系统的输入和输出都是连续时间信号,则称该系统为连续时间系统; 若系统的输入和输出都是离散时间信号,则称该系统为离散时间系统。 如果输入信号是从t=-∞起一直作用于系统的,则称输入信号为双侧信 号,这时的系统称为双侧系统;如果输入信号是在t=0时刻开始作用于系 统的,则称该信号为单侧信号,这时的系统被称为单侧系统。
4.1 线性系统的基本性质
• 4.1.3 离散线性时不变系统的分析方法
• 1. 时域分析 • 设x(n)是离散时不变线性系统的输入,则系统输出为
• 式中h(n)为系统的单位冲激响应。
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4.1 线性系统的基本性质
• 2. 频域分析 • 如果x(n)和h(n)绝对可和,则它们的离散傅里叶变换存在,即
• 2. 线性时不变系统 • 所谓时不变系统是指系统的响应只随输入信号时间的移动而移动,这
样的移动不会改变信号的本质。也就是若输入信号x(t)时移,使输出y(t) 也会有一个相同的时移,即
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4.1 线性系统的基本性质
• 因此,如果系统是时不变的,设t=0时刻冲激δ(t)作用时,系统产生响应为 h(t),那么在t=τ 时刻用冲激δ(t-τ)作用时,将产生响应h(t-τ)。于是一定 有下式成立:
• 叠加原理的数学表达式是
• 式中,ak 为任意常数,n 可以是无穷大。该式所表达的物理意义是:信号 通过系统的过程与其分量分别通过系统再汇合的过程等效。
• 2)线性系统的响应 • 在信号与系统的分析中,常常会利用冲激函数的性质,因此,我们利用冲
激函数作进一步的推导。若冲激函数的表达式如下:
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• 对所有的t均满足
于是,
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4.1 线性系统的基本性质
• 所以,如果系统的冲激响应h(t)是绝对可积的,即
• 那么,系统的输出必然是有界的,也就是说,系统是稳定的。 • 2)系统因果性 • 在讨论信号与系统时,我们往往会讨论系统是否具有因果性。那么什
么是系统的因果性呢? 在实际工程应用中,系统的因果性表现为物理 上可能实现的系统在任何时刻的输出只取决于其现在和过去的输入, 也就是说,系统的冲激响应函数应满足上一页 下一页 返回源自4.1 线性系统的基本性质
• 式中h(t)为系统的单位冲激响应。 • 2. 频域分析 • 如果x(t)和h(t)绝对可积,则它们的傅里叶变换存在,即
• H (ω)为线性系统的传输函数,h(t)为H (ω)的傅里叶反变换。 • 设Y(ω)是输出y(t)的傅里叶变换,则有
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• 这是卷积公式,时不变的重要价值在于:线性系统的数学表现形式可进 一步明确为单个函数零时刻的冲激响应h(t)。
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4.1 线性系统的基本性质
• 在频域线性时不变系统对于输入信号的作用具有特殊性质,也就是信 号在时域相卷积相当于信号在频域相乘,具体是以H (ω)实施“乘积传 输”。作为中间桥梁的函数H (ω)称为线性时不变系统的传输函数。 它与系统的冲激响应函数h(t)构成傅里叶变换对。
第4章 随机信号通过线性系统
• 4.1 线性系统的基本性质 • 4.2 随机信号通过连续时间系统的分析 • 4.3 随机信号通过离散时间系统的分析 • 4.4 白噪声通过线性时不变系统的分析 • 4.5 线性系统输出端随机信号的概率分布
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4.1 线性系统的基本性质
• 4.1.1 一般线性系统
• 以单输入和单输出线性系统为例,所谓系统在本质上应该理解为将一 个激励信号输入其中后,对应的输出相应的映射或运算,如图4.1所示。 x(t)经过系统映射为y(t)的过程可表示为
• 1. 一般线性系统 • 1)线性系统的定义 • 当对一个系统输入xk(t)(k=1,2,…,n)的线性组合进行研究时,如果其响
应等于系统对相应单个响应的线性组合,那么该系统就称为线性系统。 换言之,满足叠加定理的系统即为线性系统,而在此时的L[·]称为线性 运算子。
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4.1 线性系统的基本性质
4.1 线性系统的基本性质
• 将此式代入叠加原理公式有
• 其中L ·移动至被积项上是利用其运算线性的结果。为了更方便研究, 现在定义一个新函数h(t)作为线性系统对δ(t)的冲激响应,即
• 于是,可以得到进一步的响应表达式
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4.1 线性系统的基本性质
• 由以上各式可见,线性系统的响应y(t)完全由其各时刻的冲激响应和输 入信号共同决定。因而,线性系统的数学表现形式就是其各时刻的冲 激响应函数族{h(τ),τ∈(-∞,∞)}。
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4.1 线性系统的基本性质
• 这就是因果系统具有的基本性质,这样,式(4.1.9)可以改写为
• 结论: • 如果当t<0时,h(t)=0,那么该系统称为因果系统,也即是所有实际的物理
可实现系统都是因果的。
• 4.1.2 连续线性时不变系统的分析方法
• 1. 时域分析 • 设x(t)是连续时不变线性系统的输入,则系统输出为
• 3. 系统的稳定性与因果性 • 实际应用中的系统,其本身必定是稳定和可实现的,它们应该具有下面
两个共同特点。
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4.1 线性系统的基本性质
• 1)系统稳定性 • 如果一个线性时不变系统对任意有界输入的响应必然也是有界的,那
么,此系统是稳定的,由式有
• 若输入信号有界,则必存在某正常数M,