第六章 微分中值定理及其应用2•若 lim1 acosx -bsin ^1，则 a = X T 0 x 23.曲线y = e x在x = 0点处的曲率半径 R = _______ 4•设y =4x J —2，则曲线在拐点处的切线方程为 ___________________x6•设f(x) =x(x 2 —1)(x —4)，则f (x) = 0有 ______________ 个根，它们分别位于 __________区间；7.函数f (x) =xln x 在1,2 ］上满足拉格朗日定理条件的© = _________________8•函数f(x)=x 3与g(x)=1+x 2在区间b,2】上满足柯西定理条件的 E = ____________9.函数y =sinx 在0,2】上满足拉格朗日中值定理条件的©= ______ ;xe 10. _________________________________________ 函数f(x) 2的单调减区间是 ;x311. ________________________________ 函数y = x -3x 的极大值点是 ，极大值是 。

12. _________________________________________ 设f(x)=xe x ，则函数f (n)(x)在X 二 处取得极小值 ________________________________________ 。

3 213. 已知f(x)二x ax bx ，在x =1处取得极小值- 2，则a = _________________ , b = _____2 2一、填空题1若a 0,b0均为常数，贝U5. lim(1 x )x -ex —.Qx2XaH XX14. 曲线y =k(x -3)在拐点处的法线通过原点，则k= _______ 。

15 •设 f (x)二 n (1 - x)n(n =1,2 ) , M n 是 f (x)在〔0,1 上的最大值，则lim M n = ________ 。

n —.::16.设f (x)在x 0可导，则f "(x 0)=0是f (x)在点x 0处取得极值的 ________________ 条件;17.函数 f (x) = aln x + bx 2 +x 在 x = 1 及 x = 2取得极值，则 a = ____ , b =3 318. 函数f(x) =xx 3的极小值是 2ln x19.函数f (x) 的单调增区间为x321.设点(1,2)是曲线y=(x —a) +b 的拐点，则a= __________ , b= ______22•曲线y=e 、x 的下凹区间为 ___________ ，曲线的拐点为 _________ ;2323. 曲线y=3x -x 的上凹区间为 ________________ ; 24. 曲线y=ln(1+x 2)的拐点为 __________________ ;25. _____________________ 曲线y =ln x 在点 处曲率半径最小。

126. _____________________________________ 曲线y=xln(e + —)的渐近线为 。

x二.选择填空51. 曲线y =(x -5)3 2的特点是()。

A.有极值点x = 5，但无拐点B.有拐点(5,2)，但无极值点c. x = 5是极值点，(5,2)是拐点D.既无极值点，又无拐点2. 奇函数f (x)在闭区间〔—1,1】上可导，且f'(x)兰M ，则()。

A. f (x) >M B.|f (x)|》M C. f(x)| 兰 M D.|f(x)|<M2 220. 函数 f (x)二 x - 2cosx 在0,1上的最大值为 -2________ ，最小值为3. 已知方程x y y = 1( y 0)确定y为x的函数，贝U ()。

C. y(x)即有极大值又有极小值D.无极值4 若 f(x)在区间［a,：：)上二阶可导，且f(x)=A .O , f'(ah：： 0, f (x) ： 0 (x a), 则方程f (x) =0在a, *内()A.没有实根B.有两个实根C.有无穷多个实根D.有且仅有一个实根f ( x)5•已知f (x)在x=0处某邻域内连续，lim 2，则在x = 0处f (x)()。

71 —COSXA.不可导B.可导且f'(0)=2C.取得极大值D.取得极小值6 •设函数f (x)在区间1,= 内二阶可导，且满足条件f(1) = f (1^0 , x 1时f (x) ：：0，则g(x) = f(x^ 在1,：：内()xA •必存在一点；，使f ( ；) =0B .必存在一点；，使f ( ；) = 0C.单调减少D.单调增加f 7x)7•设f(x)有二阶连续导数，且「(0)=0, lim —=1，则()—0 xA . f(0)是f (x)的极大值 B. f (0)是f (x)的极小值C. 0, f (0)是曲线y二f (x)的拐点D. f(0)不是f (x)的极值，0, f (0)也不是曲线y= f (x)的拐点&若f (x)和g(x)在X =X0处都取得极小值，则函数F (x) = f (x) g(x)在X = X0处( )A .必取得极小值 B.必取得极大值C.不可能取得极值D.是否取得极值不确定3 2 2 39.设y =y(x)由方程x-ax y by =0确定，且y(1) =1, x = 1是驻点，贝U ()2 210. 曲线y =(x 「1) (x -3)的拐点的个数为() A.0B.1C.2D.311. f (x), g(x)是大于 0 的可导函数，且 f'(x)g(x) - f (x)g'(x) ：：：0 ,则当 a x b 时 有()A . f(x)g(b) f(b)g(x) B. f (x)g(a) f (a)g(x) C. f(x)g(x) ■ f (b)g(b) D. f (x)g(x) ■ f (a)g(a)1 2 .2x x ：： 1 12.曲线y =e x arctan 的渐近线有()(x -1'(x +2)A . 1条 B.2条 C.3条 D.4条313. f (x) = x 3 2x q 的O 点的个数为( )A . 1B.2C.3D.个数与q 有关x14.曲线《b A •只有垂直渐近线 B.只有水平渐近线C .无渐近线D.有一条水平渐近线和一条垂直渐近线15.设 y 二 f(x)为 y ” • y ：e sinx =0 的解，且 f (x °) =0，则 f (x)有()A . x 0的某个邻域内单调增加B . x 0的某个邻域内单调减少C . x 0处取得极小值D . x 0处取得极大值16.罗尔定理中的三个条件 ；f(x)在［a,b ］上连续，在(a,b)内可导，且f(a) = f(b)是f(x)在(a,b)内至少存在一点 ：使得f 「)=0成立的().A. a = b = 3B. a4-5c.afbJ2 2D. a - -2,b - -3_ 1 t 则曲线(_t 1(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要17. 下列函数在［1,e］上满足拉格朗日中值定理条件的是().1(A) In (l nx); (B) In x ；(C) (D) In 2-x)；In x18. 若f (x)在开区间(a,b)内可导，且X i,X2是(a,b)内任意两点，则至少存在一点•使得下式成立().(A) f(X2) - f (xj =(X1 -X2) f () :;三(a,b);(B) f (x1^ f (x2^ (x^x2) f () 论：：：：x2(C) f (捲)一 f (x2) = (x2-捲)f () 为：■匚：■x2(D) f (x2 f (x1 ^ (x2-x1) f () 捲：：::x219. 设y=f(x)是(a,b)内的可导函数，x,x*=x是(a, b)内的任意两点，则()•(A) =y = f (x) =x(B) 在x,x—x之间恰有一个•，使得勺=(C) 在x，x»=x之间至少存在一点，使得y = f ( )(D) 对于x与x x之间的任一点'，均有迥二f ()丄x20. 若f (x)在开区间(a，b)内可导，且对(a，b)内任意两点x1，x2恒有f(X2) — f (xj 乞(X2 — xj2，则必有().(A) f(x)=O (B) f(x)=x(C) f(x)二x (D) f(x)二c (常数)21. 已知函数f(x) =(x_1)(x _2)(x _3)(x_4)，则方程f (x)=0有( ).(A) 分别位于区间(1,2)，(2,3)，(3,4)内的三个根;(B) 四个根，它们分别为X1 = 1, X2 = 2, X3 = 3, X4 =4;(C)四个根，分别位于(0,1),(1,2),(2,3),(3,4);(D)分别位于区间(1,2),(1,3),(1,4)内的三个根22.若f(x)为可导函数「为开区间(a,b)内一定点，而且有 在闭区间［a,b ］上必总有().25.设lim 但为未定型,则lim 丄凶存在是lim 少也存在的().g(X)g "(X )X T X og(x)x26.指出曲线y2的渐近线( ).3-x 2(A) 没有水平渐近线，也没有斜渐近线；(B) x 二3为垂直渐近线，无水平渐近线;(C) 既有垂直渐近线，又有水平渐近线； (D)只有水平渐近线.X 2 + X + 1 27曲线y = e x arctan 的渐近线有( ). (x-1)(x+2)(A)1 条(B)2 条(C)3 条(D)4 条f ( ) . 0,(x- )f (x) _ 0,则(A) f (x) ::: 0 (B) f(x) ^0(C) f(x)_0(D) f (x) ■ 023.若 a 2-3b ：：：0,则方程 3 2f (x) = x ax bx c = 0 ().(A)无实根 (B)有唯一实根 (C)有三个实根(D)有重实根24.若f (x)在区间［a, •：：］上二次可微 ，且 f(a) = A • 0, f (a) ：：： 0, f (a)乞 0 (x • a ),则 方程 f (x) =0在［a,二］上().(A)没有实根(B)有重实根 (C)有无穷多实根 (D)有且仅有一个实根(A)必要条件(B)充分条件(C)充要条件(D)既非充分也非必要条件丄(11)x^-s^);(12)匹(竽F.3. 求下列不定式极限28. 1 兀函数fgXCOSXpCS 在取得极值，则a =((A) 0 ；(B)㊁；(C)1 ；(D) 229. 下列曲线集邮水平渐近线， 乂有垂直渐近线的是( )°…、 s i r2xx 2 3(A) f(x) 3(B) f (x);x xX -1(C) f(x) =1 n3-e);(D) f(x) -x 2二 xe °x130. lim x 1」=( )°X 1(A) 1 ; (B) e 」； (C) e；(D)::oo二、计算题 1•试讨论下列函数在指定区间内是否存在一点 E 使得 f ' (E )=0 :I . 1 n (1) f(x)= xsinx" 0, X 二 0;(2) f(x)=|x|, —1< x w |. 2.求下列不定式极根： x e —1(1) limxsin x1-2s inxlim ----------- x 芒 cosx 61n (1 x) -xlim x —° cosx-1lim 型比x7x - sinxlim 皿2 x xsecx 5sinx凹」tgx)(8)(9)1蚁+x 2)x; (10) lim sinxlnx ；x T 十⑴ lim^cos —1)；X —1x1 -s in -2⑵\\mj(冗 -2arctgx)l nx ；sin xlim xx 0亠ln (1 x)(1 x) 1 2~x1^(ctgx —?;1(1 x)： -e lim x 0l x m 0 4. 5.6.(8) JIlim (— -arctgx)1 lnx求下列函数在提定点处带拉格朗日型余项的泰勒公式32(1) f(x)=x +4x +5,在 x=1 处； 1(2) f(x)= -------- ,在 x=0 处；1 +x(3) f(x)=cosx 的马克林公式.求下列函数带皮亚诺型余项的马克劳林公式： (1) f(x)=arctgx 到含 x 5 的项； (2) f(x)=tgx 到含 x 5 的项...e x si nx-x(1+x) ⑴ ------------------- -----；(2)x m x ，|n (i *)；1 1⑶x im o x(「c tgx).7•估计下列近似公式的绝对误差x3 1(1) sin x ： x ，当| x | ;6 2______ 2(2) .1 x T 一—一,当x € [0,1].2 88. 计算：(1)数e准确到10-9;(2)lg11 准确到10-.1. 确定下列函数的单调区间：x 2 -1 ⑷ f(x)=- x 9. 求下列函数的极值.3 4 (1) f(x)=2x -x ; 2x⑵ f(x)=p(4) f(x)=arctgx- - In(1+x 2).2 10. 求下列函数在给定区间上的最大值与最小值 5 43 (1) y=x -5x +5x +1,[-1,2];2 兀(2) y=2tgx-tg x, [0,—]; 2⑶ y= . x lnx, (0,+ g ).11. 把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大12. 一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为 V 时，要使容器的表面积为最小，问底的半径与 容器的高的比例应该怎样 ？13. 设用某仪器进行测量时，读得n 次实验数据为a 1,a 2,…,a n .问以怎样的数值x 表达所要测量 的真值，才能使它与这 n 个数之差的平方和为最小？14. 求下列函数的极值: (2) f(x)= 少 21[ ; (3) f(x)=(x-1) 2(x+1)3. x -x +12 1215. 设f(x)=alnx+bx +x 在x =1,x =2处都取得极值；试定出a 与b 的值并问这时f 在X 1与X 2是取得极大值还是极小值 ？16. 求正数a,使它与其倒数之和为最小.17. 要把货物从运河边上 A 城运往与运河相距为 BC=a 千米的B 城(见图7-1).轮船运费的单 价是a 元/千米.火车运费的单价是 3元/千米(3 > a ),试求运河边上的一点 M,修建铁路 MB, 使总运费最省.18. 确定下列函数的凸性区间与拐点： 3 2 (1) y=2x -3x -36x+25;2 1 (3) y=x + - x19. 问a 和b 为何值时,点(1,3)为曲线y=ax 3+bx 3的拐点?四、证明题1. 证明：3 (1) f(x)=3x-x ;2(2) f(x)=2x -lnx; ⑶ f(x)= 2x - x 2(3)f(x)=曲; x1⑵ y=x+ ; x 2 (1) f(x)=|x(x -1)|; (4) y=ln(x 2+1);3(1)方程x —3x+c=0 (这里C为常数)在区间［0, 1］内不可能有两个不同的实根;(2)方程x n +px+q=O(n 为自然数，p , q 为实数)当n 为偶数时至多有两个实根；当 为奇数时至多有三个实根。