解： 由公式
max
M max Wz
M max bh 2
6
可以看出， 该梁的承载能力将是原来的 2 倍。
例：主梁AB，跨度为l，采用加副梁CD的方 法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面 尺寸相同，则副梁的最佳长度a为多少？
a Pa
C2 A
2D B
l
l
2
2
CL8TU8
解：
主梁AB的最大弯矩
P M max AB 4 (l a)
y1
Wy1tzy2ycImzayxmamxax抗弯截面模y 量CL8TU4
max
M ymax IZ
M WZ
横截面上的应力分布图：
z
z
M 0
M 0 CL8TU5
bh3
bh2
I Z 12 , WZ 6
d4
I Z 64
d3
, WZ 32
IZ
(D4 d 4)
64
D4
64
(1 4 )
P
A
x
dx C
2m
2m
300 B
200
例：我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺 寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应力强度证明： 从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近 最佳比值。
解： b2 h2 d 2
bh2 b(d 2 b2 )
Wz 6
6
Wz d 2 b2 0 b 6 2
CL8TU3
梁在纯弯曲时的平面假设：
梁的各个横截面在变形后仍保持为平 面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截 面绕某一轴旋转了一个角度。
中性轴过截面形心
中性层的曲率公式： 1 M
EIz 正应力计算公式： M y
Iz
横截面上的最大正应力：
t
M y1 , IZ
c
M y2 IZ
y2
C
z
当中性轴是横截面的对称轴时：
B 300 200
CL8TU14
解：C截面的弯矩
ql2 MC 8 45kN m
C截面下边缘的应力 C
MC Wz
15MPa
应变值
C
E
15 106 200 109
7.5 105
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
B 300 200
例：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长为 10 mm，E=10GPa，求载荷P的大小。
由 MC 0.5RA 0.5 0.4P 0.2P 640N m
得 P 3.2 kN
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
例：简支梁受均布荷载，在其Ｃ截面的下 边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试 问该应变片所测得的应变值应为多大？
q 40 kN / m
A
C
1.5 m
1.5 m
t
M max y1 Iz
[ t ]
(1)
c
M max y2 Iz
[ c ]
(2)
(1) 得： y1 [ t ]
(2)
y2 [ c ]
例：图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的 许用应力［σ］=160MPa，校核该梁的强度。
10 kN / m
2m
4m
200 100
CL8TU1010ຫໍສະໝຸດ kN / m2b A1 b
a A2
a
A3 d
CL8TU11
解：由题意可知 Wz1 Wz2 Wz3
即 b(2b)2 a 3 d 3
6
6 32
b
0.6300a
d 1.193a
A1 :
A2
:
A3
2b2:a 2: d
4
2
0.794:1:1.12
2b A1 b
a A2
a
A3 d
例：图示铸铁梁，许用拉应力[σt ]=30MPa， 许用压应力[σc ]=60MPa,Ｉz=7.63×10-6m4，试 校核此梁的强度。
c
4 88 Iz
46.1MPa
例：简支梁AB，在Ｃ截面下边缘贴一应变 片，测得其应变ε= 6×10-4，材料的弹性模量 E=200GPa，求载荷P的大小。
P
A
CD
B
40
0.5 m
0.4 m
20
1m
CL8TU13
解：C点的应力 C E 200 103 6 104 120MPa
C截面的弯矩 MC CWz 640N m
Pa 副梁CD的最大弯矩 M max CD 4
由 M max AB M max CD 得 a l
2
即 P (l a) P a
4
4
例：图示梁的截面为T形，材料的许用拉应 力和许用压应力分别为［σt］和［σc］，则 y1 和 y2 的最佳比值为多少？（Ｃ为截面形心）
P
y1
y2
Cz
CL8TU9
解：
[ ]
利用上式可以进行三方面的强度计算：
①已知外力、截面形状尺寸、许用应力，校核 梁的强度
②已知外力、截面形状、许用应力，设计梁的 截面尺寸
③已知截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷
例：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均 相等，但放置如图(a)、(b)。按弯曲正应力强度 条件确定两者许可载荷之比 P1／P2＝？
P
300
A
C
B 200
2m
2m
CL8TU15
解： AC
l/2
(x) dx
0
l/2 (x) d x l/2 M ( x) d x
E
0
0 Wz E
l/2 P x
Pl2
dx
0 2Wz E
16Wz E
P
16Wz E AC l2
16 42
0.2 0.32 6
1010
5 103
150 kN
200
2m
4m
Q(kN) 25 45kN
100 15kN 解：由弯矩图可见
Mmax 20 kN m
20 M (kN m)
15 11.25
t
M max Wz
20 103 0.1 0.22
6
30MPa < [ ]
该梁满足强度条件，安全 20
例：图示三种截面梁，材质、截面内Ｍmax、 σmax全相同，求三梁的重量比。并指出哪种截面 最经济。
l
CL8TU7
解： max 1
M max 1 Wz 1
P1l bh2
6
max 2
M max 2 Wz 2
P2l hb2
6
由 max 1 max 2 [ ] 得:
P1 h P2 b
例： 矩形截面梁当横截面的高度增加一倍， 宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该 梁的承载能力将是原来的多少倍？
WZ
D3
32
(1 4 )
CL8TU6
横力弯曲时的正应力:
My
Iz
• 上式是在平面假设和单向受力假设的基础上推
l 5h 导的，实验证明在纯弯曲情况下这是正确的。
• 对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生 剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平 面。
梁的正应力强度条件:
max
M max WZ
由此得 b d
3 h d2 b2 2 d
3
h 2 d
dh b
CL8TU15
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
CL8TU12
9 kN
4 kN
A
C
B
52
D
Cz
1m 1m 1m
88
2.5 kN
10.5 kN
M( kN m) 2.5
C截面： t
2.5 88 Iz
28.8 MPa
4
c
2.5 52 Iz
17.0 MPa
B截面： t
4 52 Iz
27.3MPa