%原曲线
ploｔ(ｘ０,ｙ0,＇-r'）
hｏｌdｏｎ
%三次拟合曲线
ｐlｏt(x１，y1,＇－b')
上图中，蓝色部分为三次拟合曲线，红色部分为原曲线
6结果分析
拉格朗日插值的优点是对于某一区域,不限于被估计点周围，公式简单易实施。一般认为n的次数越高，逼近 的精度就越好,但在本题中,对龙格函数 ，中间部分插值效果比较好,而对于两端,插值结果是非常不理想的,即龙格现象。样条函数可以给出光滑的插值曲线,从本题中就能体现出来。从以上图形可以看出，三次样条插值的图形是比较逼近于原图的,收敛性相对而言是非常好的,但在本题中，仅将原区间分成10个等距区间，因此,逼近效果还不是特别理想，当我们将ｎ增大时，插值后的曲线越逼近于原曲线。总的来说，三次样条插值的稳定性比较好,收敛性比较强。
f =
1／（1＋２5＊x＾2)
>> diff(f)
anｓ=
－(５０*x)/（25*x^2+ 1)^2
将函数的两个端点，代入上面的式子中：
f’（-1)＝0.0740
ｆ’（1)＝-0.0７４0
求出从-１到１的n=1０的等距节点，对应的x，y值
对应ｍ文件代码如下:
fｏr x=-１:0．２:1
y=1／(1＋２5*x^２）
n=lｅｎgth(ｘ)；
r=ones(ｎ－1,1);
u=ｏneｓ(n－１,1);
d＝ones(n,1)；
r(1)=1;
d(１)=6*((y(2)－ｙ(1))／(x（2)-x(1))-df0）/(ｘ(2)-ｘ(1）)；
y=［0.０385 0.０５880．１0．2 0.5１0.50．２0.1０.0588０．03８５];
a=polyfit（ｘ，y,3);
ｘ1=[-1:0．01:1]；
y１=a(4)＋a(3)*x1+ａ(2)*x1.^２＋a（１)*x１.^3;
ｘ０=[-1：0．01:1];
y0＝1.／(１+25*x0.^2）
3采用软件、设备
计算机、ｍａｔlab软件
4设计内容
1、多项式插值:
在区间 上取 的等距节点，带入拉格朗日插值多项式中，求出各个节点的插值,并利用maｔlab软件建立m函数，画出其图形。
在matlａb中建立一个ｌagrangｅ.m文件,里面代码如下:
%laｇrａnge函数
ｆunction y=lagrange(x0,ｙ0,x)
2设计原理
（1）多项式插值：利用拉格朗日多项式插值的方法，其主要原理是拉格朗日多项式，即：
表示待插值函数的 个节点，
，其中 ；
（2）三次样条插值：三次样条插值有三种方法，在本例中，我们选择第一边界条件下的样条插值，即两端一阶导数已知的插值方法：
（3）三次曲线拟合:本题中采用最小二乘法的三次多项式拟合。最小二乘拟合是利用已知的数据得出一条直线或者曲线,使之在坐标系上与已知数据之间的距离的平方和最小。在本题中，n＝１0,故有1１个点,以这11个点的 和 值为已知数据，进行三次多项式拟合,设该多项式为 ，该拟合曲线只需 的值最小即可。
ｈoｌｄon
x0=-1:０.01:1；
y０=１./(1+25＊x0．^２)；
pｌoｔ（ｘ0,ｙ0,'--b＇）
得到如下图像:
.
其中蓝色曲线为原图，红色曲线为拟合后的图像。
3、三次曲线拟合：
这里我们使用最小二乘法的３次拟合
建立一个Tｈree＿fittiｎg .m文件，代码如下:
％主要代码
x=[-1 -0．８－0．6 -0.４-０.2０0．2 0.4０.6 0．8１];
%laｇｒａngｅ插值
ｘ＝[-1:０.2:1];
y=１.／(１＋２5*ｘ．^２）;
ｘ0=[-1:0.0２:1］;
y0=laｇrａnｇe(x,y,x0);
y1=1.／(１＋２５*ｘ0．^２);
plot(x0,ｙ0,'－-ｒ')
％插值曲线
hold oｎ
%原曲线
plｏt（ｘ0,y1,'-b'）
运行duoxiaｎgshi.ｍ文件,得到如下图形:
三次样条拟合范例
———————————————————————————————— 作者：
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ﻩ
１设计目的、要求
对龙格函数 在区间［-1,1]上取 的等距节点，分别作多项式插值、三次样条插值和三次曲线拟合，画出 及各逼近函数的图形，比较各结果。
参考文献:
［１]李庆扬 王能超等.数值分析[M].清华大学出版社
[２］吴振远.科学计算实验指导书基于MAＴLＡB数值分析［M］.中国地质大学出版社
[3]宋叶志.MＡTLAB数值分析与应用[M].机械工业出版社 ， ２009.０7
附录
三次样条插值主要代码：
function [m,ｐ]=scyt1（x，y,dｆ０，ｄｆｎ）
n=leｎgｔh（x0);m=lengｔh(x）;
for i=1:m
ｚ=x(ｉ);
s＝０.0;
fｏｒk=1:n
p＝1.0;
ｆor j＝1:n
iｆj～=k
ｐ=p*(ｚ-ｘ0（j))/（x0(k)－x0(j)）;
end
ｅnd
s＝ｐ*y0(k)＋s;
end
y（i)=ｓ;
enｄ
建立一个pｏlyｎoｍial.m文件，用于多项式插值的实现,代码如下：
ｅnd
y=
得出
x=-1－0.８-0.６-0.4－0.2 00.2 0．40．60.8 1
y=0.０385 0.０58８０.1０.2０．5１0.5 0.2０.1０.058８０．0385
编写ｍ文件Tｈree＿Sｐliｎe.m
x=lｉnsｐacｅ(-1,1,11);
ｙ=1./(１+25*x．^2);
［m,p]=ｓcyt１(ｘ,y，0.0７40,－0.07４0);
在这三种方法中，三次曲线拟合的效果是最差的,所得的图形与原曲线差距甚远。最小二乘法中，并不要求拟合后的曲线经过所有已知的点,只需要拟合多项式上的点在某种标准上与定点之间的差距最小即可,因此与原曲线的逼近程度是最差的。最小二乘法的多项式拟合只适用于多项式，而本题中的函数并不是一个多项式，因此,不建议使用最小二乘法拟合。
2、三次样条插值:
所谓三次样条插值多项式 是一种分段函数,它在节点 分成的每个小区间 上是3次多项式,其在此区间上的表达式如下：
因此，只要确定了 的值，就确定了整个表达式， 的计算方法如下:
令：
则 满足ห้องสมุดไป่ตู้下 个方程:
对于第一种边界条件下有
ﻩ如果令 那么解就可以为
求函数的二阶导数:
>>ｓｙmsｘ
>>ｆ=ｓym（1/(１+25*x＾2）)