湖南省浏阳一中、攸县一中、醴陵一中2014-2015学年高二上学期12月联考试题 数学（文）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每题只有一项是符合要求的）1．已知P 为椭圆192522=+y x 上一点, 12,F F 为椭圆的两个焦点，且13PF =,则2PF = ( )A. 2B. 5C. 7D. 82．在ABC ∆中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于 （ ） A ．1:2:3 B．2 C ．3:2:1 D．3．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S = （ ） A ．13 B ．35 C ．49 D ．634．如图，设,A B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ， 测出AC 的距离是50m ，∠ACB=45，∠CAB=105， 就可以计算出,A B 两点的距离为 （ ） A． B．C． D．2m 5．若抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为 ( )A ．x 2＝－28yB ．x 2＝28yC ．y 2＝－28xD ．y 2＝28x 6．“n m =”是“方程122=+ny mx 表示圆”的 ( ) A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7. 如右图所示为y =f ′(x )①f (x )在(－∞, 1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点；③f (x )在(2, 4)上是减函数，在(－1, 2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点A ．①②③ B．①③④ C．③④ D．②③8．已知,x y 满足条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值为 （ ）A ．0B ．1 C．271 9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝ ( )A ．31B ．32C ．63D ．64 10．若221xy+=，则x y +的取值范围是 （ ）A ．[0,2]B ．[2,0]-C ．[)2,-+∞D ．(],2-∞- 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝ 。

12.函数ln (0)y x x =>的单调增区间为 。

13．命题p x R ∃∈，使2(1)10x a x +++<,若p ⌝为假命题，则实数a 的取值范围是 。

14．已知第一象限的点()P a b ，在直线210x y +－＝上，则11a b+的最小值为 。

15．直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图像有相异的三个公共点，则a 的取值范围是_______ _。

三、解答题（本大题共6小题，满分75分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤） 16．(本题满分12分)双曲线C 与椭圆x 28＋y 24＝1有相同的焦点，直线y ＝3x 为C 的一条渐近线，求双曲线C 的方程。

17．（本题满分12分）命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0，对一切x ∈R 恒成立；命题q ：指数函数f (x )＝(3－2a )x是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假， 求实数a 的取值范围。

18．(本题满分12分)已知函数f (x )＝ax 3＋bx ＋c 在点x ＝2处取得极值16-c 。

(1)求a ，b 的值；(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3，3]上的最小值。

19.（本题满分13分）设数列{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和。

已知37S =，且13a +，23a ，34a +构成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （2）令231log 12n n b a n +==，，，，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

20．（本题满分13分）已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)。

（1）求f (x )的单调区间；（2）当x > 1时，12x 2＋ln x < 23x 3是否恒成立，并说明理由。

21．（本题满分13分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y ＝14x 2的焦点，离心率为255。

（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于点M ，若MA →＝mFA →，MB →＝nFB →，求m ＋n 的值。

2016届高二浏阳一中、攸县一中、醴陵一中十二月联考文科数学试卷参考答案1-10 CBCAD BDDCD11．[解析] 在等比数列中，a 1a 5＝a 2a 4＝a 23＝4。

因为a n >0，所以a 3＝2，所以a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)(a 2a 4)a 3＝a 53＝25，所以log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5。

12．[4,)+∞ ((4,)+∞也对) 13．(,3)(1,)-∞-+∞14．223+15．解析：令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，可得极大值为f (－1)＝2，极小值为f (1)＝－2，如图，观察得－2<a <2时恰有三个不同的公共点。

答案：(－2,2)16．(12分) 双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1。

17．(12分) a 的取值范围为{a |1≤a <2或a ≤－2} 18．(12)分解：（1）因为f (x )＝ax 3＋bx ＋c ，故f ′(x )＝3ax 2＋b由于f (x )在点x ＝2处取得极值c －16，故有⎩⎪⎨⎪⎧f＝0，f＝c －16，即⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，8a ＋2b ＋c ＝c －16，化简得⎩⎪⎨⎪⎧12a ＋b ＝0，4a ＋b ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－12.（2）由(1)知f (x )＝x 3－12x ＋cf ′(x )＝3x 2－12＝3(x －2)(x ＋2)令f ′(x )＝0，得x 1＝－2，x 2＝2 当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(－∞，－2)上为增函数； 当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0， 故f (x )在(－2,2)上为减函数； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0， 故f (x )在(2，＋∞)上为增函数．由此可知f (x )在x ＝－2处取得极大值f (－2)＝16＋c ，f (x )在x ＝2处取得极小值f (2)＝c －16.由题设条件知16＋c ＝28，解得c ＝12.此时f (－3)＝9＋c ＝21，f (3)＝－9＋c ＝3，f (2)＝－16＋c ＝－4， 因此f (x )在[－3,3]上的最小值为f (2)＝－4.19.（本题满分13分）解：（1）由已知得1231327:(3)(4)3.2a a a a a a ++=⎧⎪⎨+++=⎪⎩，解得22a =．设数列{}n a 的公比为q ，由22a =，可得1322a a q q==，．又37S =，可知2227q q++=，即22520q q -+=，解得12122q q ==，．由题意得12q q >∴=，．11a ∴=．故数列{}n a 的通项为12n n a -=12122112+nn n n S a a a -=++==--......； (6)分（2）由于231log 12n n b a n +==，，，，由（1）得3312n n a += 32log 23n n b n ∴==，又13n n b b +-={}n b ∴是等差数列．首项13b =，公差3d =12n n T b b b ∴=+++=1(b b )(33)3(1)222n n n n n n +++== ， 故3(1)2n n n T +=． ……13分20．（本题满分13分）解：（1）f (x )的定义域为(0，＋∞)，由题意得f ′(x )＝x －ax(x >0)，∴当a ≤0时，f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x －a x ＋ax.∴当0<x <a 时，f ′(x )<0，当x >a 时，f ′(x )>0. ∴当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为(a ，＋∞)， 单调递减区间为(0，a )．……………………………6分 （2）设g (x )＝23x 3－12x 2－ln x (x >1) 则g ′(x )＝2x 2－x －1x.∵当x >1时，g ′(x )＝x －x 2＋x ＋x>0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数．∴g (x )>g (1)＝16>0. 即23x 3－12x 2－ln x >0，∴12x 2＋ln x <23x 3，故当x >1时，12x 2＋ln x <23x 3恒成立．………………………………7分21.（本题满分13分）解：（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)．抛物线方程可化为x 2＝4y ，其焦点为(0,1)， 则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即b ＝1. 由e ＝c a ＝a 2－b 2a 2＝255.得a 2＝5，所以椭圆C 的标准方程为x 25＋y 2＝1. (5)分（2）易求出椭圆C 的右焦点F (2,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (0，y 0)，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －2)，代入方程x 25＋y 2＝1，得(1＋5k 2)x 2－20k 2x ＋20k 2－5＝0.显然△>0∴x 1＋x 2＝20k 21＋5k 2，x 1x 2＝20k 2－51＋5k2. (4)分又 MA →＝(x 1，y 1－y 0)，MB →＝(x 2，y 2－y 0)，FA →＝(x 1－2，y 1)，FB →＝(x 2－2，y 2)． ∵ MA →＝mFA →＝m ， MB →＝nFB →， ∴m ＝x 1x 1－2，n ＝x 2x 2－2， ∴m ＋n ＝2x 1x 2－x 1＋x 24－x 1＋x 2＋x 1x 2，又2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＝40k 2－10－40k 21＋5k 2＝－101＋5k 2，4－2(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝4－40k 21＋5k 2＋20k 2－51＋5k 2＝－11＋5k2，∴m ＋n ＝10. (4)分。