V PV 2V T P 2 K T A 0 V
T
V T PV T 2 K T B 2 K S C 0 ˆ x
基础方程：

c n n1
ˆ A V B x W 0
cu u 1
s1
c1
c1
su u1
ˆ C x Wx 0
第 六 章
附有参数 的 条件平差
条件平差：列条件方程？
2 1
6
3
4
5
一、引例：
2
n6 t 2 4 4 4 r 64 2
1
6
3
4
5
图形条件 ：
1 2 3 6 180
其它条件如何列？





设未知参数X1
2 1
6 X1
n6 t 2 4 4 4 u 1
P1 h1 A h5 h2 h3
h6 P3
h7
h4
P2
B
第八章
概括平差 函数模型
一、平差模型的回顾
1、条件平差法:
观测数为n，必要观测数 为t，多余观测数r=n-t， 条件方程个数c=r。
~ F (L ) 0
cn n1
A V W 0
c1
2、间接平差法
观测数为n，必要观测数 为t，设t个相互独立的未 知参数，则误差方程个数 c=r+t=n.
例：如图，A是已知的高程点，B、P1、P2、P3 是待定点。已知数据与观测数据列于下表。按间 接平差求各点的高程平差值。
路线 号 1 2 3 4 5 6 7 观测高差 路线长 已知高 （m） 度（km） 程（m) +1.359 1.1 +2.009 1.7 HA=5.0 +0.363 2.3 16 +1.012 2.7 hAB=1.0 +0.657 2.4 00 +0.238 1.4 -0.595 2.5
W AL W0 1 1 ˆ X X 0 N bb B T N aaW
1 1 K N aaW N aa Bx


V QAT K ˆ L L V
二、协因数阵
三、协方差阵： D 02 Q 02 P 1
四、平差值函数的协因数：
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ z f ( L1 , L2 , , Ln ; X 1 , X 2 , , X u ) f 0 f i i k i xi ˆ f0 F T K T x
建立法方程式
AQAT K B x W 0 BT K 0

K ( AQA ) (W B x) N (W B x) x ( B N B) B N W N B N W
T T T 1 aa 1 1 aa 1 bb 1 aa
T 1

1 aa

最小二乘解：
V QA N (W B x)
T 1 aa
X X x
0


附有参数的条件平差法
以含有u个独立参数（0<u<t)的条件方程作为平差 的函数模型，称为附有参数的条件平差法。
cn n1
A V B x W 0
cu u1 c1

自由度为r=c-u。
设定未知参数的目的：
第 七 章
附有限制条 的 间接平差
一、引例
若用间接平差法对 图示三角网进行平 差，试给出误差方 程。
解：n=9，t=5,r=4 设参数 X=[X1,y1,x2,y2,x3,y3]T
S 0 ( X 3 X A ) 2 (Y3 Y A ) 2 参数不独立，出现函数相 关
二、一般原理 函数模型： ˆ V B x l 误差方程： n1 nu u1 n1 ˆ 限制条件式： C x W 0 随机模型： D 2 Q 2 P 1

3
4
5
c n u t r u 2 1 3
1 2 3 6 180 4 5 X 1 180

sin( 3 4 ) sin( 2 ) sin( X 1 ) sin( 1 ) sin( 6 X 1 ) sin( 4 )
ˆ ˆ X X0 x
ˆ V Bx l
附限制条件的间接平差 的最小二乘解
ˆ L L V
三、 精度评定
一）单位权中误差
V T PV V T PV ˆ 02 r n (u s )
二）协因数阵
LL
W B Pl B P( BX d L)
T T 0


T
Z的协因数阵： 表8-2
三）平差值函数的协因数
(X )
d



X

d X) F d X
T


Q F Q F
T

XX
四）附有限制条件平差的间接平差计算步骤
1. 根据平差问题的具体情况，设定参数，列出误差方程式与 限制条件。 2. 根据观测值的权组成法方程式。 3. 解算法方程，求出联系数X与K值。 4. 将K与x值代入改正数方程式，求出V值，并求出平差值与 参数平差值。 5. 精度评定。
随机模型
2 2 D 0 Q 0 P 1
在函数模型中，待求量是n个观测值的改 正数和u个参数，而方程的个数是c+s=r+u， 所以有无穷多组解。 为此，应当在无穷多组解中求出满足最 小二乘原理的一组解。 按照求条件极值的方法组成函数：
T ˆ ˆ V T PV 2 K T ( AV Bx W ) 2 K S (Cx W X )



1
设未知参数X1，X2
u2 c nu t r u 22 4
2 1
6 X1
X2
3
4
5
1 2 3 6 180 4 5 X 1 180 2 6 X 1 X 2 180
sin( 3 4 ) sin( 2 ) sin( X 1 ) sin( 1 ) sin( 6 X 1 ) sin( 4 )
ˆ ˆ X X 0 x X 0 ( N bb1 N bb1C T N cc1CN bb1 )W N bb1C T N cc1W X
KS N
1 cc
CN
1 bb
W WX

ˆ V Bx l
ˆ L L V
基本向量：
ˆ ˆ Z L W X K V L
W ( AL BX 0 A0 )
随机模型： 法方程： Naa cc
BT u c
2 2 D 0 Q 0 P 1
B K W cu c1 c1 ˆ 0 ux1 u01 uu





特点：方程中即有观 测量又有未知参数。 采用改正数表示。
1
二、附有参数的条件平差法的一般原理
函数模型：
cn n1
ˆ A L B X W 0
cu u1 c1

ˆ L L V
cn n1 cu u 1
B PBx C K S B Pl 0 ˆ ˆ Cx W X 0
T T T
K S N cc1 CN bb1W W X



ˆ x N bb1 W C T N cc1 CN bb1W W X


1 1 1 1 ( N bb N bb C T N cc1CN bb )W N bb C T N cc1W X
nu u1
s1
n1
s1
su u1
ˆ C x WX 0
二、引例：
三、附限制条件的条件平差法：
函数模型
c n n1
ˆ A V B x W 0
cu u 1 c1
c1
W F ( L, X 0 )
su u1
ˆ C x Wx 0
s1
s1
W X ( X 0 )
~ ~ L F(X )
V B x l
n1 nt t 1 n1
3、 附有参数的条件平差法
观测值个数为n，必要观测 数为t，多余观测数r=n-t， 引入u个独立参数（0<u<t）， 则条件方程个数c=r+u。
~ ~ F (L, X ) 0
cn n1
A V B x W 0
K T [k a kb kc ]T
求其一阶偏导数，并令其为0：
2V T P 2 K T A 0 V PV AT K x

2k T B 0
B T K 0 V P 1 AT K QAT K
附参数的条件平差的 基础方程
AV B x W 0 T B K 0 V QAT K
ˆ V PV 2 K (Cx W X )
T T S
V T PV V T T T 2V P 2 K S C 2V T PB 2 K S C 0 ˆ ˆ x x
B T PV C T K S 0
n1
ˆ V B x l
nu u1
n1
组建法方程：
（1）列立条件方程较困难时。 （2）为了在条件平差过程中，直接估计一 些量以及其精度。
三、附有参数的条件平差的计算步骤
1. 根据平差问题的具体情况，设定参数（相互独立，个数小 于t，列出条件方程式，条件方程的个数等于多余观测数r 与设定未知参数之和。 2. 列立条件方程式，组建法方程式。 3. 解算法方程，求出联系数K与x值。