为了解决这个问题，可以选择某个（或某几个）非观测量作
为参数。例如图中选择 X 作为参数。设选择了u个参数，则原来 的r个条件方程就变为c = r+u个了。如图中，由于选择了X 作为参 数，则条件方程的个数就变为c = r+u = 4+1=5个，即除了三个图 形条件外，还可以列出1个极条件和1个固定边条件。
（3） 附有参数的条件平差法
设在平差问题中，观测值个数为n，t为必要观测数，则可列出r=n-t个条 件方程，现有增设了u个独立量作为参数，而0<u<t，每增设一个参数应 增加一个条件方程。以含有参数的条件方程作为平差的函数模型，称为 附有参数的条件平差法。
Λ
A Δ+ B x −W = 0
c×n n×1 c×u u×1 c×1
第六章 附有参数的条件平差
§6-1 附有参数的条件平差原理 §6-2 精度评定
测量平差方法回顾
（1）条件平差法
观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，条件方程 个数c。
A V −W = 0
c×n n×1 c×1
在最小二乘原则下有：
AQAT K − W = 0 K = ( AQAT )−1W
∧
β3+
∧
β
6
= 180D
∧
β4+
∧
β5 +
∧
X1
= 180D
∧
∧
∧
∧
sin( β3 + β4 ) sin( β2 ) sin(
∧
∧
∧
X1)
∧
=1
sin( β1) sin( β 6 + X1) sin( β 4 )
2 1 3
4
6 X1
5
u=2 c=n+u−t =r+u = 2+2 = 4
2 1
6 X1
上式为附有参数的条件平差法的函数模型。 此平差问题，由于选择了u个独立参数，方程总数由r个增加到c=r+u个
，故平差的自由度为r=c-u。
设定未知参数的目的： （1）为了方便列立条件。
（2）为了在条件平差过程中，直接估计一 些量以及其精度。如：
C
16 15 7
P
B
18
17 14 13 28
9
3
P 1 12 10 4
=0
由于为同精度独立观测，故 P = I 。于是由（4）式得法方程为：
⎛⎜ 3.000 0 1.732 0.577 ⎞⎟ ⎛⎜ 0 ⎞⎟ ⎛⎜ 9 ⎞⎟
⎜0 ⎜⎜⎜⎝10..753727
3.000 0
0.577
0 6.334 − 0.999
−000..56.9769769 ⎟⎟⎟⎟⎠ K
+
⎜ ⎜ ⎜⎜⎝
6
D
1
2 11 5
A
条件平差：
n=6 t = 2×4−4 = 4 c =r =6−4=2
2
6
1
3 4
5
其中：
∧
β1 +
∧
β 2+
∧
β3+
∧
β6
= 180D
其它条件如何列？
设未知参数X1
n=6
t = 2×4−4 = 4
u =1
c = n +u −t = r +u = 2+1= 3
∧
β1 +
∧
β 2+
V = QAT K
∧
L = L+V
σ
2 0
=
V T PV r
（2）间接平差法
观测数为n，必要观测数为t，多余观测数r=n-t，设t个相互 独立的未知参数，则条件个数c=n+t-t=n,即n个误差方程：
Λ
V = B x− l
n×1 n×t t×1 n×1
在最小二乘原则下有：
∧
(BT PB) x− BT Pl = 0
举例：
水准网如图所示：
1、按条件平差列出条件方程。
2、选 p1 高程平差值为参数，列出全部条件方程。 3、选 p1 和p2 高程平差值为参数，列出全部条件方程。
解： 1、由图知，n = 5，t = 2，故r = n-t = 5-2 =3。即
三个条件方程，一个附合条件，二个闭合条件：
v1 + v2 + H A − H B + h1 + h2 = 0 ,
Naa K + Bxˆ +W = 0
则
BT K = 0
(4)
（4）式称为附有参数的条件平差的法方程。因为
R(Naa ) = R( AP−1AT ) = R( A) = c ，且 NaTa = (AP−1AT )T = AP−1AT = Naa
，所以N aa 是满秩的对称方阵，其逆存在。于是，用
N
−1 aa
数 xˆ ，即未知数的个数为m = n + u，而方程的个数为
c = r + u。由于m – c = n – r = t > 0，所以（1）式是一组具有无 穷多组解的相容方程组。必须根据最小二乘原理，求出能使
V T PV = min 的一组解。为此，下面就来求解这组解。
令
N aa = AP −1 AT
∂Φ ∂Lˆ2
"
∂Φ ∂Lˆn
⎠⎞⎟⎟ L,X 0
,
FxT
=
⎝⎛⎜⎜
∂Φ ∂Xˆ 1
∂Φ ∂Xˆ 2
"
∂Φ ∂Xˆ u
⎟⎟⎠⎞ L,X 0
应用协因数传播律，得：
Qϕˆϕˆ
=
F
Q T LˆLˆ
F
+ F T QLˆXˆ Fx
+ FxT QXˆLˆ F + FxT Q XˆXˆ Fx
于是，平差值函数的中误差为：
(1)
v1 − v3 − v5 + h1 − h3 − h5 = 0,
(2)
v2 − v4 + v5 + h2 − h4 + h5 = 0,
(3)
− v3 + Xˆ1 − H A − h3 = 0,
(4)
− v1 + Xˆ 2 − H A − h1 = 0,
(5)
由上式（4）、（5）式可得：
v1 = Xˆ 2 − h1 − H A ,
∧
β1 +
∧
β
2+
∧
β3 +
∧
β
6
= 180D
∧
β4
+
∧
β5
+
∧
X1
=
180D
∧
β2 +
∧
β6 +
∧
X1+
∧
X2
= 180D
∧∧
∧
∧
sin(β3 + β4 ) sin(β2 ) sin( X1)
∧
∧
∧
∧
=1
sin(β1) sin(β 6 + X1) sin(β 4 )
34
X2
5
特点：方程中即有观测 量又有未知参数。采用 改正数表示。
v1 + v2 + v3 + wa = 0
v4 + v5 + v6 + wb = 0
sin Lˆ4 sin
sin(Lˆ1 − Xˆ ) Lˆ5 sin(Lˆ2 +
sin(Lˆ3 + Lˆ5 Lˆ4 ) sin Xˆ
)
=
1（以B为极点）
S AB sin S BD sin(Lˆ3
Xˆ +
Lˆ5
)
=1
取 X 0 = 30D00′00′′ ，将非线性条件线性化后，得条件方程为：
sin( Lˆ 6 sin
+ Lˆ8 ) sin Xˆ sin Lˆ3
Lˆ2
S AC sin(Lˆ6 + Lˆ8 ) sin Lˆ2 S AB sin Xˆ sin Lˆ3
=1
根据如此含有u个参数的条件方程所进行的平差，称为附有参数的 条件平差。
§6-1 附有参数的条件平差原理
一般地，附有参数的条件平差的函数模型为：
σˆϕ条件平差模型里，所选参数的个数有没有限制？能否多 于必要观测数？ 2.某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t=6,现选取2个独立的参 数参与平差，应列出多少个条件方程？ 3.和条件平差法相比，附有参数的条件平差法有哪些优，缺点？
∧
x = (BT PB)−1 BT Pl
σ
2 0
=
V T PV r
Q∧ ∧ = (BT PB)−1
xx
问题的提出
由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测（n>t）的条件平差问题 ，可以列出r=n-t个独立的条件方程，且列出r个独立的条件方程后就可以 进行后继的条件平差计算。然而，在实际工作中，有些平差问题的r个独 立的条件方程很难列出。例如，在下图所示的测角网中，A、B为已知点 ，AC为已知边。观测了网中的9个角度，即n=9。要确定C、D、E三点 的坐标，其必要观测数为t=5，故条件方程的个数为r=n-t=9-5=4，即必须 列出4个独立的条件方程。由图知，三个图形条件很容易列出，但第四个 条件却不容易列出。
(1)
v1 − v3 − v5 + h1 − h3 − h5 = 0 ,
(2)
v2 − v4 + v5 + h2 − h4 + h5 = 0 ,
(3)
2、选p1 高程平差值为参数Xˆ ，则有u =1，c = r+u =4,