z
u du , v dv t dt t dt
uv
o( )
tt
(△t＜0 时,根式前加“–”号)
d z z d u z dv ( 全导数公式 ) d t u d t v d t
4
说明: 若定理中
偏导数连续减弱为
偏导数存在, 则定理结论不一定成立.
例如: z f (u, v)
f 具有二阶连续偏导数,
求 w, 2w . x xz
w , f1 , f2
解: 令 u x y z , v xyz , 则
uv
w f (u, v)
w x
f2 yz
x y zx y z
y z f2 (x y z, xyz)
2w xz
f12 x y
解: u f x x

2xex2
y2 z2
2ze x 2

y
2

z
2

2
x sin
y
u
2 x (1 2 x2 sin 2 y) e x2 y2 x4 sin 2 y
xyz
u y

f y

f z

z y
2ye x2 y2 z2 2ze x2 y2 z2 x2 cos y
1) 中间变量多于两个的情形. 例如, z f (u, v, w) ,
u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
z
uvw
f1 f2 f3

f12
f2 2
x
yx y
6
3) z f (x, v) , v (x, y)
当它们都具有可微条件时, 有
z f
z x

f x
z y
f1 f21 f2 2
xv xy
注意: 这里 z 与 f 不同, x x
z 表示固定 y 对 x 求导, f 表示固定 v 对 x 求导
uvt tt
注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 验证解的问题中经常遇到, 下列两个例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号.
11
练习2：
u x

f1
u y

f1
u z
f 2

1 y
f1
f2


x y2
f1

1 z
f 2


y z2
f 2
12
例4. 设
f22 x y
为简便 起f11见
,y引(x入 z记) f号12
f1xy
2zf u
f,22f12yf2u2fv
,

13
练习3：
z x
f1
2z x y
f2
f 11
f 21 f 23
f 13
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
8
练习1：
z z z
v x
y
1

y x2

x y2

u
2
u
v
2
(1)
9
例2. u f (x, y, z) ex2 y2 z2 , z x2sin y, 求 u , u x y
2) 中间变量是多元函数的情形.例如,
t tt
z f (u, v) , u (x, y), v (x, y)
z x
z u z v u x vuv
z z u z v y u y v y
u
u2v 2 v
2
,
0,
u2 v2 0 u2 v2 0
ut, vt
易知:
但复合函数 z f (t, t ) t 2
d z 1 z du z dv 0 1 0 1 0
d t 2 u dt v dt
5
推广: 设下面所涉及的函数都可微 .
第四节 多元复合函数的求导法则
1
一元复合函数 求导法则
微分法则
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
2
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
z f (u, v)
处偏导连续, 则复合函数
在点 t 可导, 且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
x
x
口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导
7
例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
z
uv
证: 设 t 取增量△t , 则相应中间变量 有增量△u ,△v ,
z z u z v o ( )
u v
tt
3
z z u z v o( ) ( (u)2 (v)2 )
t u t v t t
则有 u 0, v 0,
14
二、多元复合函数的全微分
设函数
都可微,
则复合函数 z f ( (x, y) , (x, y))的全微分为
dz z dx z dy x y
( z u z v ) dy u y v y
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) x y
du dv
可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 其全微分表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性.
15
例 6. 利用全微分形式不变性再解例1.
2 ( y x4 sin y cos y ) e x2 y2 x4 sin 2 y
xy
10
例3. 设 z uv sin t , u et , v cost , 求全导数 dz .
dt
解: dz z du
z
dt u dt
t
z
vet
cost
e t (cos t sin t) cos t