2019-2020学年高二数学上学期期中试题理考试注意：试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分。

请在答题卡上作答，答在试卷上一律无效。

第Ⅰ卷选择题（共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求）1. 已知命题 .则为2. 若，则n 的值为A.4B.5C.6D. 73.若，则“”是“”的A.充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C.充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是A.8B. 16C. 32D. 645. 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是A. 抽签法B. 系统抽样法C. 分层抽样法D. 随机数法6. 在区间上随机取一个数k ，则直线与圆有两个不同公共点的概率为A. B. C. D.7. 如果用反证法证明“数列的各项均小于2 ”，那么应假设A. 数列的各项均大于2B. 数列的各项均大于或等于2C. 数列中存在一项，D. 数列中存在一项8. 下列说法正确是9. 某学校派出 5 名教师去三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有A. 80种B. 90种C. 120种D.150 种10. 从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，且甲种树苗比乙种树苗长得整齐B. 甲种树苗高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数，但乙种树苗比甲种树苗长得整齐C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐11. 设命题实数满足 (其中 )；命题实数满足.若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是1 2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是第Ⅱ卷非选择题（共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）13. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问毕业会考数学成绩。

老师说：“你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。

”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩。

根据以上信息，则可以知道自己成绩的同学是______．14. 如右图，从 A 点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达 B 点的路径的条数为______．15. 从中任取两个不同的数，分别记为则“”的概率为__________．16. 给出下列三个命题：①命题则②若为真命题,则均为真命题；③“若，则”为假命题.其中正确的命题个数有________个．三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17、(本小题 10 分)写出命题“已知，若关于的不等式有非空解集，则”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．18、(本小题 12 分) 给定两个命题，对任意实数都有恒成立；关于的方程有实数根；如果“”为假，且“”为真，求实数的取值范围．19、(本小题 12 分)为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为 120 的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为及以上的树苗为优质树苗．（1）求图中的值（2）已知所抽取这 120 棵树苗来自于 A，B 两个试验区，部分数据如下列联表：将列联表补充完整，并判断是否有 99.9%的把握认为优质树苗与 A，B 两个试验区有关系，并说明理由；（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取 4 棵，其中优质树苗的棵数为，求的分布列和数学期望．下面的临界值表仅供参考：20、(本小题 12 分)已知集合若成立的一个充分不必要条件是，求实数的取值范围.21、(本小题 12 分)某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得 2 分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概率；（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？22、(本小题 12 分)在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名．观众乙和丙对5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手．（1）求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；（2）表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求的分布列及数学期望．理科数学一、选择题答案123456789101112 B C A C C B D C D D A A填空题答案13、乙和丁； 14、16； 15、715；16、2个 .17、(1)逆命题：已知a，b∈R，若a2≥4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，则a2<4b，为真命题．(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a2<4b，则关于x的不等式x2＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．18、对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；由于“P∧Q”为假，且“P∨Q”为真，则P与Q一真一假；（1）如果P真，且Q假，有；（2）如果Q真，且P假，有．所以实数a的取值范围为：．19、（1）根据直方图数据，有，解得．（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有，列联表如下：A试验区B试验区合计优质树苗102030非优质树苗603090合计7050120可得．所以，没有99.9％的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系．（3）由已知，这批树苗为优质树苗的概率为，且X服从二项分布B(4，)，；；；；．所以X的分布列为：X01234P故数学期望EX＝.20、A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |12<2x <8，x ∈R ＝{x |－1<x <3}， ∵x ∈B 成立的一个充分不必要条件是x ∈A ， ∴A ⊆B ，∴m ＋1>3，即m >2.21、法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ， 则事件A 的对立事件为“X ＝5”，因为P (X ＝5)＝23×25＝415，所以P (A )＝1－P (X ＝5)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X 1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X 2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E (2X 1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E (3X 2)．由已知可得，X 1～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，23，X 2～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，25，所以E (X 1)＝2×23＝43，E (X 2)＝2×25＝45，从而E (2X 1)＝2E (X 1)＝83，E (3X 2)＝3E (X 2)＝125.因为E (2X 1)>E (3X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为23，小红中奖的概率为25，且两人中奖与否互不影响．记“这两人的累计得分X ≤3”的事件为A ，则事件A 包含有“X ＝0”“X ＝2”“X ＝3”三个两两互斥的事件，因为P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－25＝15，P (X ＝2)＝23×⎝⎛⎭⎪⎫1－25＝25，P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×25＝215，所以P (A )＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1115，即这两人的累计得分X ≤3的概率为1115.(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X 1，都选择方案乙所获得的累计得分为X 2，则X 1，X 2的分布列如下：所以E (X 1)＝0×19＋2×49＋4×49＝83，E (X 2)＝0×925＋3×1225＋6×425＝125.因为E (X 1)>E (X 2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．22、(1)设A 表示事件“观众甲选中3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中3号歌手”，则P (A )＝C 12C 23＝23，P (B )＝C 24C 35＝35.∵事件A 与B 相互独立，∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝23×25＝415⎝⎛⎭⎪⎫或PA B＝C 12·C 34C 23·C 35＝415. (2)设C 表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P (C )＝C 24C 35＝35.∵X 可能的取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝P (A B C )＝13×25×25＝475，P (X ＝1)＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝23×25×25＋13×35×25＋13×25×35＝2075， P (X ＝2)＝P (AB C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝23×35×25＋23×25×35＋13×35×35＝3375，P (X ＝3)＝P (ABC )＝23×35×35＝1875，∴X 的分布列为X 0 1 2 3 P4752075337518754 75＋1×2075＋2×3375＋3×1875＝14075＝2815.∴X的数学期望E(X)＝0×。