或写成
根据虚位移原理，机器人处于平衡状态的充分必要条件是对任意 符合几何约束的虚位移有δW=0，并注意到虚位移δq和δX之间符合 杆件的几何约束条件。利用式δX=Jδq，将式(2.18)写成
式中：δq表示从几何结构上允许位移的关节独立变量。对 任意的δq，欲使δ W =0成立，必有
式(2.20)表示了在静态平衡状态下，手部端点力F和广义关节 力矩τ之间的线性映射关系。式(2.20)中JT与手部端点力F和广 义关节力矩τ之间的力传递有关，称为机器人力雅可比。显然， 机器人力雅可比JT是速度雅可比J的转置矩阵。
2. You are given that a certain RPR manipulator has the following transformation matrices, where {E} is the frame of the end ffector.
Derive the basic Jacobian relating joint velocities to the end-effector’s linear and angular velocities in frame {0}.
2
I xz I yz ; I zz
I xx ( y z ) dv I xy xy dv
v
2）计算构件惯性张量矩阵(inertia tensor)
利用虚功原理推导机器人手部端点力F与关节力矩τ的关系。 关节虚位移为δqi，末端执行器的虚位移为δX，
式中：d=[dX，dY，dZ]T、δ=[δjX，δjY，δjZ]T分别对应于末端执 行器的线虚位移和角虚位移；δq为由各关节虚位移δqi组成的机器 人关节虚位移矢量。
假设发生上述虚位移时，各关节力矩为τi(i=1，2, … , n)，环境作 用在机器人手部端点上的力和力矩分别为–fn，n+1和–nn，n+1。 由上述力和力矩所作的虚功可以由下式求出：
对力雅可比矩阵的补充说明：
虚功方程力雅可比分析：
2.2.3 机器人静力计算
机器人操作臂静力计算可分为两类问题： (1) 已知外界环境对机器人手部的作用力F，(即手部端点力 F-F′)，利用式(2.20)求相应的满足静力平衡条件的关节驱动力 矩τ。 (2) 已知关节驱动力矩τ，确定机器人手部对外界环境的作用 力或负载的 质量。 第二类问题是第一类问题的逆解。逆解的关系式为
(F m a ) r
i 1 i i i
n
i
0

d T dt q j
T Qj q j
( j 1,, k )
T 为系统的动能，一般情况下动能可表示成：
T T (q1 ,, qk , q1 ,, qk )
Q j为对应于广义坐标
q j 的广义力
n i 1
Q1 q1 Q j q j Qk qk W (Fi )
拉格朗日方程几种形式
1、当主动力均为有势力时
d T dt q j d T dt q j d T dt q j d L dt q j d L dt q j
2 2 s (90) s (90) c(90) s (90) s (90)c(90) c(90)c(90) 2 2 2 2 c(90) s (90) s (90) s (90) c(90)c(90) s(90)c(90) 0 2 2 4T 2 2 s (90) c(90) 2 2 0 0
m2g
d L dt q j
L Q 'j q j
1 2 cos 2 m L2 2 m2 gL(1 cos ) 1 kx 2 L T V (m1 m2 ) x m2 xL 2 2 2 3
(m1 m2 ) m2 L cos m2 L 2 sin kx F (t ) x 1 m2 (2 L) 2 m2 Lx cos m2 gL sin 0 3
2.3 机器人动力学方程
机器人动力学的研究有牛顿-欧拉(Newton-Euler) 法、拉格 朗日(Langrange)法、高斯(Gauss)法、凯恩(Kane)法及罗伯 逊-魏登堡(Roberon-Wittenburg) 法等。本节介绍动力学研 究常用的牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程。
动力学普遍方程 的补充：
2 2 0 2 2
0
0 4R F4 0
0 0 6 6 0 0 0 15 2 0 7 2 4 R 0 0 8 2 2
3. Consider the planar PR manipulator shown here:
(a) Find the origin of frame {3} expressed in terms of frame {0}, that is 0P3org.
(b) Give the 2 × 2 Jacobian that relates the joint velocities to the linear velocity of 0P3org. (c) For what joint values is the manipulator at a singularity? What motion is restricted at this singularity?
应用达朗贝尔原理： Fi FNi FIi 0, (i 1,, n) 其中：FIi mi ai (Fi FNi FIi ) ri 0, (i 1,, n) 应用虚位移原理：
若质点系所受的 约束为理想约束
W (Fi FNi FIi ) ri 0
2.2 机器人静力分析
机器人在工作状态下会与环境之间引起相互作用的力和 力矩。机器人各关节的驱动装置提供关节力和力矩，通过连 杆传递到末端执行器，克服外界作用力和力矩。关节驱动力 和力矩与末端执行器施加的力和力矩之间的关系是机器人操
作臂力控制的基础。
2.2.1 操作臂力和力矩的平衡
图2.3所示，杆i通过关节i和i+1分别与杆i–1和i+1相连接，建立 两个坐标系{i–1}和{i}。 定义如下变量： fi–1，i及ni–1，i i–1杆通过关节i作用在i杆上的力和力矩； fi，i+1及ni，i+1 i杆通过关节i+1作用在i+1杆上的力和力矩； –fi，i+1及–ni，i+1i+1杆通过关节i+1作用在i杆上的反作用力和 反作用力矩； fn，n+1及nn，n+1机器人最末杆对外界环境的作用力和力矩； –fn，n+1及–nn，n+1外界环境对机器人最末杆的作用力和力矩； f0，1及n0，1机器人机座对杆1的作用力和力矩； mig——连杆i的重量，作用在质心Ci上。
设：L＝T-V （拉格朗日函数 或者称为动势）
2、当主动力部分为有势力时
V (q1 ,, qk ) ' Qj Qj q j
l0
k
x
A
m1g
F (t )
Q x Q W (Fi )
' x ' i 1
k
x

B
' Qx F (t )
Q' 0
A
mg 2
M
问题的引出
问题1：系统在图示位
m1g
O
B
F
置平衡，用什么方法求
F与M的关系？
m3g
M
1
A
mg 2
问题2：系统中OA杆匀 角速转动，求在图示位
g m
O
B
时，力偶M的大小用什 么方法？
m3g
26
设：质点系中第i个质点的质量为mi;作用在其上的主动力Fi;
约束力FNi. 质点的惯性力为FIi
例2.2 图2.5所示为一个二自由度平面关节机械手，已知手部端点 力F=[FX，FY]T，忽略摩擦，求θ1=0°、θ2=90°时的关节力矩。
力雅可比矩阵在奇点的情况：
练习
1. 分析下图 RRRR 机械手
其正向变换矩阵和转动 雅可比矩阵如下:
(a)求解当各个关节坐标为q = [0, 900,−900, 0] T的时候，相对于 基坐标系的雅可比矩阵 Jo. (b) 一个作用在坐标系 {4} 上的力 [0, 6, 0, 7, 0, 8]T . 在 (a)中所描 述的位置, 计算用于平衡的关节力矩
i 1
n
F
i 1
n
(F F ) r F
i 1 i Ii i i 1
n
n
Ni
ri 0
Fi Fix i Fiy j Fiz k
Ni
ri 0
动力学普遍方程
(F F
i 1 i
n
Ii
) ri 0
n
Fi mxi i myi j mzi k
2 s (90) 2 2 c(90) 2 2 2 0
2c(90)c(90) s (90)(s (90) 1) c (90) 2s (90)c (90) c (90)(s (90) 1) s (90) s (90) 1 1
拉格朗日方程为2阶k维常微分方程组
动力学的基本方法
牛顿定律
•动量定理 •动量矩定理
达朗贝尔原理//动静法 虚位移原理
动力学普遍方程和拉格朗日方程
d L dt q j L Q 'j q j