2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类(湖南卷)一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A ．{－1,0,1} B ．{0,1} C ．{1} D ．{0}2．复数z ＝i(i ＋1)(i 为虚数单位)的共轭复数是( ) A ．－1－i B ．－1＋i C ．1－i D ．1＋i3．命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若π4α≠，则tan α≠1 B ．若π4α=，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则π4α≠D ．若tan α≠1，则π4α=4．某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )5．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n )，用最小二乘法建立的回归方程为$0.8585.71y x =-，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正的线性相关关系B ．回归直线过样本点的中心(,)x yC ．若该大学某女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg6．已知双曲线C ：22221x y a b-=的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A ．221205x y -= B ．221520x y -= C ．2218020x y -= D ．2212080x y -= 7．设a ＞b ＞1，c ＜0，给出下列三个结论： ①c ca b>；②a c ＜b c ；③log b (a －c )＞log a (b －c )． 其中所有的正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③ 8．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( )A ．2 B ．2C ．2D ．49．设定义在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，f ′(x )是f (x )的导函数．当x ∈[0，π]时，0＜f (x )＜1；当x ∈(0，π)且π2x ≠时，(x －π2)f ′(x )＞0，则函数y ＝f (x )－sin x 在[－2π，2π]上的零点个数为( )A ．2B ．4C ．5D ．8二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上．(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分)10．在极坐标系中，曲线C 1：ρcos θ＋sin θ)＝1与曲线C 2：ρ＝a (a ＞0)的一个交点在极轴上，则a ＝________.11．某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，试验范围定为29～63℃，精确度要求±1℃，用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要的最少试验次数为________．(二)必做题(12～16题)12．不等式x 2－5x ＋6≤0的解集为________． 13．如图是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________.(注：方差()()()2222121[]n s x x x x x x n=-+-++-…，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)14．如果执行如图所示的程序框图，输入x ＝4.5，则输出的数i ＝________.15．如图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP AC ⋅=u u u r u u u r________.16．对于n ∈N *，将n 表示为n ＝a k ×2k＋a k －1×2k －1＋…＋a 1×21＋a 0×20，当i ＝k 时，a i ＝1，当0≤i ≤k －1时，a i 为0或1.定义b n 如下：在n 的上述表示中，当a 0，a 1，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n ＝1；否则b n ＝0.(1)b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝________；(2)记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m ＋1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是________．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1))确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率． (注：将频率视为概率)18．已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(x ∈R ，ω＞0，π02＜＜)的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f (x －π12)－f (x ＋π12)的单调递增区间． 19．如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD ．(1)证明：BD ⊥PC ；(2)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面P AC 所成的角为30°，求四棱锥P －ABCD 的体积．20．某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产，该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产，设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元．(1)用d 表示a 1，a 2，并写出a n ＋1与a n 的关系式；(2)若公司希望经过m (m ≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示)．21．在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2＋y 2－4x ＋2＝0的圆心．(1)求椭圆E 的方程；(2)设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2，当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标．22．已知函数f (x )＝e x －ax 1，其中a ＞0.(1)若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；(2)在函数f (x )的图象上取定两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈(x 1，x 2)，使f ′(x 0)＝k 成立．1． B 由N ＝{x |x 2＝x }，知x ＝0或x ＝1.又∵M ＝{－1,0,1}，∴M ∩N ＝{0,1}．2．A z ＝i(i ＋1)＝i 2＋i ＝－1＋i ，∴1i z =--. 3． C 命题“若π4α=，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则π4α≠”． 4． D 若为D 项，则主视图如图所示，故不可能是D 项．5． D D 项中，若该大学某女生身高为170 cm ，则其体重约为：0.85×170－85.71＝ 58．79(kg)．故D 项不正确． 6． A 由2c ＝10，得c ＝5， ∵点P (2,1)在直线by x a=上， ∴21ba=.又∵a 2＋b 2＝25，∴a 2＝20，b 2＝5. 故C 的方程为221205x y -=. 7． D ①()c c c b a a b ab--=，∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴()0c b a ab->.即0c ca b->.故①正确． ②考察函数y ＝x c (c ＜0)，可知为单调减函数． 又∵a ＞b ＞1，∴a c ＜b c .故②正确．③∵a ＞b ＞1，c ＜0，∴log b (a －c )＞0，log a (b －c )＞0，∴log ()lg()lg log ()lg lg()b a a c a c ab c b b c --=--.∵lg()1lg()a c b c ->-，lg 1lg ab >， ∴lg()lg 1lg lg()a c ab bc ->-，故③正确． 8． B 在△ABC 中，由余弦定理可知：AC 2=AB 2+BC 2－2AB ·BC cos B ， 即7=AB 2+4－2×2×AB ×12.整理得AB2－2AB－3=0.解得AB=－1(舍去)或AB=3.故BC边上的高AD=AB·sin B=3×sin60°=2.9．B由x∈(0，π)且π2x≠时，(x－π2)f′(x)＞0可知：当x∈(0，π2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(π2，π)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．又∵x∈[0，π]时，f(x)∈(0,1)，且f(x)是最小正周期为2π的偶函数，可画出f(x)的草图为：对于y＝f(x)－sin x的零点，可在同一坐标系中再作出y＝sin x的图象，可知在[－2π，2π]上零点个数为4.10．答案：2解析：把曲线C1：ρcosθ＋sinθ)＝1x＋y＝1；把曲线C2：ρ＝a(a＞0)化成直角坐标方程，得x2＋y2＝a2.∵C1与C2的一个交点在极轴上，x＋y＝1与x轴交点(2，0)在C2上，即(2)2＋0＝a2.又∵a＞0，∴2a=.11．答案：7解析：由分数法计算可知最少实数次数为7.12．答案：{x|2≤x≤3}解析：∵x2－5x＋6≤0，∴(x－2)(x－3)≤0.∴2≤x≤3.13．答案：6.8解析：∵89101315115x++++==，∴222222(811)(911)(1011)(1311)(1511)6.85s-+-+-+-+-==.14．答案：4解析：i＝1时，x＝4.5－1＝3.5；i ＝1＋1＝2时，x ＝3.5－1＝2.5； i ＝2＋1＝3时，x ＝2.5－1＝1.5； i ＝3＋1＝4时，x ＝1.5－1＝0.5； 0．5＜1，输出i ＝4. 15．答案：18解析：∵过C 作BD 的平行线，延长AP 交该平行线于点Q ， 则AQ ＝2AP ＝6.故||||cos ,||||3618AP AC AP AC AP AC AP AQ ⋅=⋅=⋅=⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r.16．答案：(1)3 (2)2解析：(1)由题意知2＝1×2，b 2＝1；4＝1×22，b 4＝1；6＝1×22＋1×2，b 6＝0；8＝1×23，b 8＝1，所以b 2＋b 4＋b 6＋b 8＝3.(2)①若n 为偶数，且b n ＝0，则n ＝a k ×2k ＋a k －1×2k －1＋…＋a 1×21＋a 0×20中a 0＝0，且a k ，a k －1，…a 1中有偶数个1，n ＋1＝a k ×2k ＋a k －1×2k －1＋…＋a 1×21＋1×20，b n ＋1＝1 n ＋2＝a m ′ ×2m ＋a m －1′×2m －1＋…＋a 1′ ×21＋0×20， 若b n ＋2＝0，此时c m ＝1；若b n ＋2＝1，则n ＋3＝a m ′×2m ＋a m －1′×2m －1＋…＋a 1′ ×21＋1×20， 则b n ＋3＝0，此时c m ＝2.②若n 为奇数，n ＝a k ×2k ＋…＋1×20，且b n ＝0， 则n ＋1＝a m ′ ×2m ＋…＋a 1′ ×21＋0×20， 若b n ＋1＝0，此时c m ＝0.若b n ＋1＝1，则n ＋2＝a m ′×2m ＋…＋a 1′ ×21＋1×20，b n ＋2＝0. 此时，c m ＝1.综上所述，c m 的最大值为2.(注：也可列举连续的几项，作出猜测)17．解：(1)由已知得25＋y ＋10＝55，x ＋30＝45， 所以x ＝15，y ＝20.该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟)．(2)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，A 1，A 2，A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”，将频率视为概率得1153()10020P A ==，2303()10010P A ==，3251()1004P A ==.因为A ＝A 1∪A 2∪A 3，且A 1，A 2，A 3是互斥事件， 所以P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3) ＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3) ＝33172010410++=. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710. 18．解：(1)由题设图象知，周期11π5π2()π1212T =-=， 所以2π2T ω==， 因为点(5π12，0)在函数图象上，所以A sin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0＜φ＜π2，所以5π5π4π663ϕ<+<， 从而5π6＋φ＝π，即π6ϕ=.又点(0,1)在函数图象上， 所以πsin16A =，得A ＝2. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π6)． (2)ππππ()2sin[2()]2sin[2()]126126g x x x =-+-++ ＝2sin2x －2sin(2x ＋π3)＝132sin22(sin2cos2)2x x x -+＝sin2x －3cos2x＝2sin(2x －π3)．由πππ2π22π232k x k -≤-≤+，得π5πππ1212k x k -≤≤+，k ∈Z ， 所以函数g (x )的单调递增区间是π5ππ,π1212k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 19．解：(1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，BD 平面ABCD ， 所以P A ⊥BD ．又AC ⊥BD ，P A ，AC 是平面P AC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面P AC ， 而PC 平面P AC ，所以BD ⊥PC ．(2)设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由(1)知，BD ⊥平面P AC ， 所以∠DPO 是直线PD 和平面P AC 所成的角， 从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面P AC ，PO 平面P AC 知，BD ⊥PO . 在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°得PD ＝2OD ．因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ， 所以△AOD ，△BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3， 于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9.在等腰直角三角形AOD 中，2222OD AD == 所以PD ＝2OD ＝42224PA PD AD =-=.故四棱锥P －ABCD 的体积为 V ＝13×S ×P A ＝13×9×4＝12. 20．解：(1)由题意得a 1＝2 000(1＋50%)－d ＝3 000－d ，a 2＝a 1(1＋50%)－d ＝32a 1－d ＝4 500－52d . a n ＋1＝a n (1＋50%)－d ＝32a n －d .(2)由(1)得a n ＝32a n －1－d ＝32(32a n －2－d )－d＝(32)2a n －2－32d －d ＝…＝(32)n －1a 1－d [1＋32＋(32)2＋…＋(32)n －2]．整理得a n ＝(32)n －1(3 000－d )－2d [(32)n －1－1]＝(32)n －1(3 000－3d )＋2d .由题意，a m ＝4 000，即(32)m －1(3 000－3d )＋2d ＝4 000. 解得13[()2]10001000(32)2332()12m m m m mm d +-⨯-==--， 故该企业每年上缴资金d 的值为11000(32)32m m m m+--时，经过m (m ≥3)年企业的剩余资金为4 000万元．21．解：(1)由x 2＋y 2－4x ＋2＝0得(x －2)2＋y 2＝2， 故圆C 的圆心为点(2,0)．从而可设椭圆E 的方程为22221x y a b+=(a ＞b ＞0)，其焦距为2c . 由题设知c ＝2，12c e a ==， 所以a ＝2c ＝4，b 2＝a 2－c 2＝12.故椭圆E 的方程为2211612x y +=. (2)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，l 1，l 2的斜率分别为k 1，k 2.则l 1，l 2的方程分别为l 1：y －y 0＝k 1(x －x 0)，l 2：y －y 0＝k 2(x －x 0)，且1212k k =. 由l 1与圆C ：(x －2)2＋y 2＝2=即[(2－x 0)2－2]k 12＋2(2－x 0)y 0k 1＋y 02－2＝0.同理可得[(2－x 0)2－2]k 22＋2(2－x 0)y 0k 2＋y 02－2＝0.从而k 1，k 2是方程[(2－x 0)2－2]k 2＋2(2－x 0)y 0k ＋y 02－2＝0的两个实根．于是20(2)20,0,x ⎧--≠⎨∆>⎩①且20122021(2)22y k k x -==--.由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨-⎪=⎪--⎩得5x 02－8x 0－36＝0，解得x 0＝－2或0185x =. 由x 0＝－2得y 0＝±3；由0185x =得0y =，它们均满足①式，故点P 的坐标为(－2,3)，故(－2，－3)，或18(5，或18(,5．22．解：(1)f ′(x )＝e x －a .令f ′(x )＝0得x ＝ln a .当x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增．故当x ＝ln a 时，f (x )取最小值f (ln a )＝a －a ln a ，于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当a －a ln a ≥1.①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0＜t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增；当t ＞1时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减． 故当t ＝1时，g (t )取最大值g (1)＝1. 因此，当且仅当a ＝1时，①式成立． 综上所述，a 的取值集合为{1}．(2)由题意知，21212121()()e e x x f x f x k a x x x x --==---.令φ(x )＝f ′(x )－k ＝e x－2121e e x x x x --，则φ(x 1)＝121e x x x --[e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1]，φ(x 2)＝221e x x x -[e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1]，令F (t )＝e t －t －1，则F ′(t )＝e t －1. 当t ＜0时，F ′(t )＜0，F (t )单调递减； 当t ＞0时，F ′(t )＞0，F (t )单调递增．故当t ≠0时，F (t )＞F (0)＝0，即e t －t －1＞0.从而e x 2－x 1－(x 2－x 1)－1＞0，e x 1－x 2－(x 1－x 2)－1＞0.又121e 0x x x >-，221e 0x x x >-， 所以φ(x 1)＜0，φ(x 2)＞0. 因为函数y ＝φ(x )在区间[x 1，x 2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x 0∈(x 1，x 2)，使φ(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝k 成立．。