习题1.1A （P15）提示（仅供参考）1．用定义（0n ε-语言）证明： （1）1lim 1n n+= 证明：111n n n +-=，故对0ε∀>，欲使11n n ε+-<，只需1n ε<，即1n ε>。

故对0ε∀>，取01max ,1n ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭（注意：不能写成01max ,1n ε⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，以下几个类似），当0n n >时有11n nε+-< 故1lim1n n += （2）sinlim 0n=证明：sin 10n n -<，故对0ε∀>，欲使sin 0n ε-<，只需1n ε<，即1n ε>。

故对0ε∀>，取01max ,1n ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭，当0n n >时有sin0nε-< 故sinlim0n= （3）2211lim 22n n += 证明：222111222n n n +-=，故对0ε∀>，欲使221122n n ε+-<，只需212n ε<，即n >0ε∀>，取0max ,1n ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭当0n n >时有 221122n n ε+-<故2211lim 22n n += （4）0=证明：<，故对0ε∀>，欲使0ε<，只需ε<， 即21n ε>。

故对0ε∀>，取021max ,1n ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭当0n n >时有0ε<故0=（5）!lim 0n n n= 证明：!1210n n n n n nn n -=<，故对0ε∀>，欲使!0n n n ε-<，只需1nε<，即1n ε>。

故对0ε∀>，取01max ,1n ε⎧⎫⎡⎤=⎨⎬⎢⎥⎣⎦⎩⎭当0n n >时有!0nn n ε-< 故!lim0nn n = （注意：若用夹逼法：!10n n n n<<） （6）()lim 00!na a n =>证明：[][]0!1211n a a aa aa an a a n n ⎛⎫-=⎪ ⎪+-⎝⎭，注意到[]1,111a aa n <<+-，故[]10!a n a a n n +-<，，欲使0!n a n ε-<，只需[]1a a n ε+<，即[]1a a n ε+>。

故对0ε∀>，取[]10max ,1a a n ε+⎧⎫⎡⎤⎪⎪=⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭当0n n >时有 0!na n ε-< 故()lim 00!na a n =>（注意：若用夹逼法：[]10!a n a a n n+<<） 2．证明：lim n a a =的充分必要条件是对0ε∀>，只有{}n a 的有限多项不在(),a a εε-+中。

证明：（必要性）若lim n a a =，则0ε∀>，0n N ∃∈， 0n n >时有n a a ε-<，故至多有0n 项在不再(),a a εε-+中。

（充分性）对0ε∀>，只有{}n a 的有限多项不在(),a a εε-+中，不妨设不在(),a a εε-+中项为12,,k n n n a a a ，取{}012max ,,k nn n n =（即取不在(),a a εε-+中项脚标的最大者，故当0n n >时有n a aε-<，即lim n a a =。

4.证明若lim n a a =，则lim n a a =。

反之不一定，举例说明。

但若lim 0n a =，则有lim 0n a =证明：由 lim n a a =，有对0ε∀>，1n N ∃∈，1n n >时有n a a ε-<， 故对0ε∀>，取01n n = 0n n >时有n n a a a a ε-<-<，故lim n a a =。

反之不一定，例数列{}(1)n -。

由lim 0n a =，有对0ε∀>，1n N ∃∈，1n n >时有0n a ε-<。

故对0ε∀>，取01n n = 0n n >时有00n n a a ε-=-<，故lim 0n a =5：证明 设0n a >，lim n a a =，证明=5：证明 设0n a >，lim n a a =，证明=证明 若0a =，由 lim 0n a =，有对0ε∀>，1n N ∃∈，1n n >时有20n a ε-<故对0ε∀>，取01n n = ，当0n n >时有0ε<故0==若0a ≠，则由极限的保号性得0a >。

由 lim n a a =，有对0ε∀>，2n N ∃∈，2n n >时有n a a -< 故对0ε∀>，取02n n = ，当0n n >时有ε=<<故=6证明：若lim 0n a =，{}n b 有界，则lim 0n n a b = 证明：{}n b 有界，故可设n b M <由lim 0n a =，有对0ε∀>，1n N ∃∈，1n n >时有0n n a a Mε-=<故对0ε∀>，取01n n = 当0n n >时有0n n n a b M a ε-≤<，故lim 0n n a b =。

7．若lim 0n n a b =是否一定有lim 0n a =或lim 0n b =。

解：否。

例sin2n n a π=，cos 2n n b π= 8（1）设{}2k a ，{}21k a +均收敛，问{}n a 是否必然收敛。

解：否，例{}(1)n -。

（2）设{}2k a ，{}21k a +满足221lim lim k k k k a a a +→∞→∞==，则lim n n a a →∞=。

证明：由2lim k k a a →∞=，则有对0ε∀>，1k N ∃∈，1k k >时有2k a a ε-<21lim k k a a +→∞=，则有对0ε∀>，2k N ∃∈，2k k >时有21k a a ε+-<故对0ε∀>，取{}012max 221n k k =+，（注意0n 不能取{}12max k k ，，当0n n >时有n a a ε-<，故lim n n a a →∞=。

（3）设()1lim 0n n n a a +→∞-=，{}2k a ，{}21k a -收敛，这时能否保证{}n a 一定收敛？解：能。

不妨设21lim k k a a -→∞=，由()1lim 0n n n a a +→∞-=有()212lim 0k k n a a +→∞-=，故()221212lim lim k k k k k k a a a a ++→∞→∞=--⎡⎤⎣⎦()21212lim lim k k k k k a a a a ++→∞→∞=--=即221lim lim k k k k a a a +→∞→∞==，故由8（2）{}n a 一定收敛.9证明：若单调数列{}n a 有收敛子列，则{}n a 证明：不妨设{}n a 是单调增的。

设子列{}kn a （也是单调增的）收敛于a ，从而对0ε∀>，0k N ∃∈，0k k >时有k n a a ε-<对0ε∀>，取00k n n =，当0n n >时有n a a ε-<，故lim n n a a →∞= 10.求极限（1）22452lim 322n n n n ++++解22452lim 321n n n n ++++225244lim2133n n n n++==++ (2)lim解lim=12==(3) lim 1n ⎫⎪⎪⎭解：lim 1n ⎫⎪⎪⎭1lim 1n⎫⎪⎝⎭=323211lim 11n ⎡⎤⎫⎢⎥++⎪⎢⎥⎭⎣⎦=⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎣⎦（公式1221()()n n n n n n a b a b aa b ab b -----=-++++4321lim11n -⎝⎭=⎡⎤⎢⎥+⎢⎥⎣⎦3211lim41==⎡⎤⎢⎥++⎢⎥⎣⎦(4) 22233313(21)lim n n nn-+++ 解：6)12)(1(21222++=+++n n n n ， 6)14)(12(2)2(21222++=+++n n n n6)12)(1(4)21(4)2(42222222++=+++=+++n n n n n222222222)2(42()2(21)12(31n n n +++-+++=-+++6)12)(1(46)14)(12(2++-++=n n n n n n 故22233313(21)lim n n n n -+++32(21)(41)4(1)(21)466lim 3n n n n n n n ++++-== （5）112lim(1)(1)(1)36(1)n n ---+解 由 )1()2)(1()1(21++-=+-n n n n n n ，有112(1)(1)(1)36(1)n a n n =---+142536(2)(1)(1)(2)2233445(1)(1)3n n n n n n n n n n⋅⋅⋅-+-++=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-+11221lim(1)(1)(1)lim 36(1)33n n n n +---==+（6）222111lim 11123n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭解 由22)1)(1(11n n n n +-=-，有22222222111132435(2)(1)(1)111123234(1)2n n n n n n a n n n n⋅⋅⋅--++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---=⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 22211111lim 111lim 2322n n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫---== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（7）11lim123(1)n n n--+-+-解11lim 123(1)n n n--+-+-1(1)lim2n n n +-= 1(1)1lim 222n n -=+= 11求下列极限（夹逼法）(1)解 1，又1==，故1=（2）见学习辅导“例12（2）”（3）解，又1==1=（4）22212lim 12n n n n n n n n ⎛⎫+++⎪++++++⎝⎭解2222211(1)(1)1222121n n n n nn n n n n n n n n n n n ++<+++<++++++++++， 又2211(1)(1)122lim im 21n n n n n n n n n ++==++++，故222121lim 122n n n n n n n n ⎛⎫+++= ⎪++++++⎝⎭ 12 设令12,,,m a a a 都是非负实数，证{}12max,,,m a a a =解：不妨设{}112max ,,,m a a aa ==≤1a ===，故{}112max ,,,m a a a a ==13 求lim n a （必须先证明lim n a 存在性再设），其中 （1）见学习辅导“例22” (2) 01a =,1111n n n a a a --=++解：有界性：22111<+=a ，设2<k a ，则222121111<+<+≤++=+kk k k k a a a a a 单调性：显然001>-a a ，设01>--k k a a ，则0)1)(1(111>++-=---+k k kk k k a a a a a a求极限：设lim n a a =，由1111--++=n n n a a a 取极限得11aa a=++，解出a =（3）见学习辅导“例25” （4）10a c =>，13(1)3n n na a a ++=+解 有界性：33)3(33)1(3011=++=<++=<++nn n n n n a a a a a a单调性：)3)(3()(63)1(33)1(311111----+++-=++-++=-n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a)3()3)(3()(621231a a a a a n n n +++-==--)3)(2(3223c c c a a ++-=-，若33<c ，则↑n a ，否则↓n a求极限：设lim n a a =，由13(1)3n n n a a a ++=+得3(1)3a a a+=+，故a =15 试判断数列{}n a 的敛散性： （1）01n n n a q q ααα=+++，其中()1,2,,1k M k q α≤=<；解 1212n n n p n p n n n n p a a q q q ααα+++++++-=+++()1112111n pn n n n pqqqM q M q M q MMqq+++++-≤++++=≤-- 欲使11n q Mqε+<-，只需()ln 11ln q M n n ε⎡⎤-⎢⎥⎣⎦>-故对0ε∀>，取()0ln 1max 11ln q M n n ε⎧⎫⎡⎤⎡⎤-⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎢⎥=-⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭，，当0n n >时，对p N ∀∈都有n p n a a ε+-<即{}n a 是基本列，故收敛。