上宝中学2013学年第一学期期中考试初三数学试卷一、选择题(本大题共6题，每题4分，满分24分)1. 已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别在边AB 、AC 和BC 上，且DE ∥BC ，DF ∥AC ，那么下列比例式中，正确的是（）A. BC DE EC AE =；B. FBCF EC AE =；C .BC DE AC DF =；D. BC FC AC EC = 2. 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，则下列关系式错误的是（）A ．a =b tan A ；B ．b =ccos A ；C ．a =c sin A ；D ．c =sin b A3. 如图，平行四边形ABCD 中，过点B 的直线与对角线AC 、边AD 分别交于点E 和F ．过点E 作EG ∥BC ，交AB 于G ，则图中相似三角形有（）A ．7对；B ．6对；C ．5对；D ． 4对第3题 第4题4.二次函数y =ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）图象的对称轴是直线x =1，其图象的一部分如图所示．对于下列说法：①abc >0；②a －b +c ＜0；③3a +c ＜0；④当－1＜x ＜3时，y ＞0．其中正确的结论是（）．A ．①②；B ．①④；C ．②③；D ．②③④5.下列说法正确的个数有（）①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；③等弧所对的圆心角、弦、弦心距都分别相等；④过三点可以画一个圆.A ．1个；B ．2个；C ．3个；D ．4个 6.下列命题中，错误命题的个数有（）①如图，若AB DE BC EF=，则////AD BE CF ； ②已知一个单位向量e ，设a 是非零向量，则1a e a=；③在△ABC 中，D 在AB 边上，E 在AC 边上，且△ADE和△ABC 相似，若AD = 3，DB = 6，AC = 5，则它们的相似比为13或35； ④对于抛物线f (x )=x 2－4x +c ，有f (1)>f (－1)；⑤在△ABC 中，AB =23，AC =2，BC 边上的高AD =3，则BC =4，∠B =30°．A ．5个；B ．4个；C ．3个；D ．2个二、填空题(本大题共12题，每题4分，满分48分)7. 在比例尺为1：50000的地图上，某地区的图上面积为20平方厘米，则实际面积为 平方千米.8. 在△ABC 中，|cosA –32|+(1– cotB)2 = 0 ，则△ABC 的形状是. 9.将二次函数5422+-=x x y 图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图 象的解析式是.10. 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别是AB 、CD 上的点，且EF ∥BC ，53AE BC BE AD ==，若AB a =，DC b =，则向量EF 可用a 、b 表示为_____________________.第10题第11题第12题第13题11. 如图，在△ABC 中，点D 是AB 的黄金分割点（AD ＞BD ），BC=AD ，如果∠A CD=90°，那么tanA=.第6DBC A E12．如图AD 是△ABC 的中线，E 是AD 上一点，且AE=13AD ，CE 的延长线交AB 于点F ，若AF=1.2，则AB=.13. 如图所示，在△ABC 中，DE ∥AB ∥FG ，且FG 到DE 、AB 的距离之比为1：2．若△ABC 的面积为32，△CDE 的面积为2，则△CFG 的面积S=14. 在△ABC 中，AB=3，AC=4，△ABC 绕着点A 旋转后能与△AB ′C ′重合，那么△ABB ′与△ACC ′的周长之比为.15.如图，△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，AE ＝EC ，AD ＝18，BE ＝15，tan ∠EBC =．16.如图，AC 是高为30米的某一建筑，在水塘的对面有一段以BD 为坡面的斜坡，小明在A 点观察点D 的俯角为30°，在A 点观察点B 的俯角为45°，若坡面BD 的坡度为1：3，则BD 的长为 .17. ⊙O 的半径为5cm ，弦AB//CD ，AB=6cm ，CD=8 cm ，则AB 与CD的距离为cm.18.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB=5，BC =3，点D 、E 分别在BC 、AC 上，且BD=CE ，设点C 关于DE 的对称点为F ，若DF ∥AB ，则BD 的长为． 三、解答题(本大题共7题，满分78分)19.（本题第（1）题3分，第（2）题7分，满分10分）在平面直角坐标系中，抛物线过原点O ，且与x 轴交于另一点A （A 在O 右侧），顶点为B ．艾思轲同学用一把宽3cm 的矩形直尺对抛物线进行如下测量：（1）量得OA =3cm ；（2）当把直尺的左边与抛物线的对称轴重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图），测得抛物线与直尺右边的交点C 的刻度读数为4.5cm ． 艾思轲同学将A 的坐标记作（3，0），然后利用上述结论尝试完成下列各题：AC BD（1）写出抛物线的对称轴；（2）求出该抛物线的解析式．20.（本题每小题5分，满分10分）在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AB=5，sin ∠CAB＝45，D 是斜边AB 上一点，过点A 作AE ⊥CD ，垂足为E ，AE 的延长线交BC 于点F ．（1）当tan ∠BCD ＝12时，求线段BF 的长； （2）当BF ＝54时，求线段AD 的长． 21.（本题每小题5分，满分10分）如图，已知⊙O 的半径为5，弦AB 的长等于8，OD ⊥AB ，垂足为点D ，DO 的延长线与⊙O 相交于点C ，点E 在弦AB 的延长线上，CE 与⊙O 相交于点F ，cos C =35. 求：（1）CD 的长；（2）EF 的长.22.（本题每小题5分，满分10分）如图，在一笔直的海岸线l 上有AB 两个观测站，A 在B 的正东方向，AB=2（单位：km ）．有一艘小船在点P 处，从A 测得小船在北偏西60°的方向，从B 测得小船在北偏东45°的方向．（1）求点P 到海岸线l 的距离；（2）小船从点P 处沿射线AP 的方向航行一段时间后，到点C 处，此时，从B 测得小船在北偏西15°的方向．求点C 与点B 之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）23.（本题第（1）题5分，第（2）题7分，满分12分）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 的中点，DF ⊥AC ，E 是DF 的中点，联结AE 、BF. 求证：(1)2DF CF AF =⋅； (2)AE ⊥BF. 24. （本题第（1）题3分，第（2）题4分，第（3）题5分，满分12分）已知抛物线y =x 2－2x +c 与x 轴交于A ．B 两点，与y 轴交于C 点，抛物线的顶点为D 点，点A 的坐标为（－1，0）．（1）求D 点的坐标； DA EBC OF H E F C（2）如图1，连接AC ，BD 并延长交于点E ，求∠E 的度数；（3）如图2，已知点P （－4，0），点Q 在x 轴下方的抛物线上，直线PQ 交线段AC 于点M ，当∠PMA=∠E 时，求点Q 的坐标．25. （本题第（1）题3分，第（2）题5分，第（3）题6分，满分14分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=4，动点P 从点D 出发沿DA 向终点A 运动，同时动点Q 从点A 出发沿对角线AC 向终点C 运动．过点P 作PE ∥DC ，交AC 于点E ，动点P 、Q 的运动速度是每秒1个单位长度，运动时间为x 秒，当点P 运动到点A 时，P 、Q 两点同时停止运动．设PE=y .（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）探究：当x 为何值时，四边形PQBE 为梯形？（3）是否存在这样的点P 和点Q ，使P 、Q 、E 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由．备用图 备用图25、解：（1）∴∠D=90°∴AC=225AD CD +=∵PE ∥CD ∴⊿APE ∽⊿ADC ----------- 2分∴AP AE PE AD AC DC == 即：4453x AE y -== ∴353,544y x AE x =-+=-+----------- 4分（2）①显然，当QB ∥PE 时，四边形PQBE 是矩形，非梯形，不合题意，舍去；②当QP ∥BE 时，∠PQE=∠BEQ ∴∠AQP=∠CEB∵AD ∥BC ∴∠PAQ=∠BCE ∴⊿PAQ ∽⊿BCE ----------- 6分 ∴PA AQ AQ BC CE AC AE ==- 即：445455(5)4x x x xx -==--+∴45x =----------- 8分∴当45x =时，QP ∥BE 而QB 与PE 不平行，四边形PQBE 是梯形。
（3）存在。
分四种情况：当Q 在线段AE 上时：QE=AE-AQ=595544x x x -+-=-①当QE=PE 时，935344x x -=-+∴43x =②当QP=QE 时，∠QPE=∠QEP∵∠APQ+∠QPE=90°∠PAQ+∠QEP=90°∴∠APQ=∠PAQ ∴AQ=QP=QE∴954x x =-∴2013x = ③当QP=PE 时，过P 作PF ⊥QE 于F ，则FE=12QE=19209(5)248x x --= ∵PE ∥DC ∴∠AEP=∠ACD∴cos ∠AEP= cos ∠ACD=35CD AC = ∵cos ∠AEP=209383534xFE PE x -==-+∴2827x = ④当点Q 在线段EC 上时，⊿PQE 只能是钝角三角形，∴PE=EQ 即：PE=AQ-AE∴353(5)44x x x -+=--+∴83x = 综上，当43x =或2013x =或2827x =或83x =时，⊿PQE 为等腰三角形。
[评分标准：第（3）小题共6分，答对2个给3分，答对3个给5分，全对给6分。
]。