第十章 随机变量分布及数字特征10.1 随机变量 10.2 离散型随机变量分布1、学时：2学时2、过程与方法：结合实例介绍随机变量概念，离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质. 3、教学要求：（1）掌握随机变量及离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 （2）几种常见概率分布教学重点：离散型随机变量的概率分布、分布列、分布函数、概率及性质 教学难点：离散型随机变量的分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程：一、新课教学内容10.1 随机变量概率论与数理统计是从数量上来研究随机现象的统计规律，因此我们必须把随机事件数量化． 在随机试验中，结果有多种可能性，试验结果样本点很多可以与数值直接发生关系，如产品检验，我们关心的是抽样中出现的废品件数．商店销售我们重视每天销售额，利润值．在投骰子中是每次出现的点数等．但是也有不少试验结果初看与数字无直接关系，但我们可通过如下示性函数使之数值化，比如，产品合格与不合格令⎩⎨⎧=01ξ不合格合格 事件10A A X ⎧=⎨⎩发生与否用 不发生发生这些事件数值化后，数量是会变化的称为变量．变量取值机会有大有小所以叫随机变量 ．定义1：在某一随机试验中，对于试验的每一个样本点ω都唯一对应一个数，这样依不同样本点ω而取不同值的点叫随机变量．通常用希腊字母或大写英文字母X 、Y 、Z 等表示．用小写英文字母i i y x 、表示随机变量相应于某个试验结果所取的值．举例：1°投骰子出现的点数用随机变量X 表示，X 可取值为{}，，，，，，654321 2°电信局话务台每小时收到呼叫次数用Y 表示，Y 可取值为{} 210，，3°总站每五分钟发某一路车，乘客在车站候车时间{}50≤≤=t t ξ 4°某一电子零件的寿命用{}30000≤≤=t t T 按其取值情况可以把随机变量分成两类：（1）离散型随机变量：取有限个或无限可列个值．如例1°、2°．（2）非离散型随机变量：可在整个数轴上取值或取实数某部分区间的全部值．非离散型随机变量范围较广，本书只研究其中常遇见的一种称为连续型随机变量如例3°、4°．例1 设有2个一级品，3个二级品的产品，从中随机取出3个产品，如果用X 表示取出产品中一级品的个数，求X 取不同值时相应概率．解 X 可取值为{}210，，101)0(3533===C C X P 53)1(352312===C C C X P 103)2(351322==C C C X P 例2 抛一枚匀称的硬币，引进一变量Y 令⎩⎨⎧=01Y 出现反面出现正面求出现正面与反面概率：解 21)0(==Y P 21)1(==Y P 10.2 离散型随机变量分布10.2.1 离散型随机变量的概率分布例1 某汽车公司销售汽车数据表示在过去100天营业时间是有24天每天销售汽车是为0辆，38天每天销售为1辆，20天每天销售是为2辆，12天每天销售是为3辆，6天每天销售是为5辆．我们定义随机变量X 为一天中售出汽车数取值为{}53210，，，，，概率用P （X ）表示，可求出24.010024)0(===X P 以此类推计算出汽车销售概率分布表为：从上表可知P （X=1）=0.38，一天最有可能卖出汽车为1辆．1天中汽车销售是大于等于3辆概率是18.0)5()3(==+=X P X P 这些概率有助于决策者了解某汽车公司销售情况以帮助制定更优策划案．而以上分布表就是离散型随机变量X 的分布表．定义1 设(1,2)k x k =为离散型随机变量X 的所有可能取的值，k p 是随机变量X 取k x 值时相应概率即得式子 ()(1,2,)k k P X x p k ===或写成如下表格形式：上式或上表称为离散型随机变量X 的概率分布或分布律由定义知概率分布具有下面性质． （1）0kp ≥ （k=1，2…） （2）1k kp =∑只有k p （k=1，2…）满足上述两条性质时上式或上表才能成为随机变量X 的概率分布．定义2 对于离散型随机变量X ，若对任何实数x 令()()k kx xF x P X x p≤=≤=∑称)(x F 为随机变量X的分布函数．分布函数)(x F 具有如下性质：（1）1)(0≤≤x F （2）)(x F 是不减函数（3）()lim ()0x F F x →-∞-∞== ()lim ()1x F F x →+∞+∞==（4）)(x F 若有间断点，在其间断点处右连续 （5）)()()(1221x F x F x X x P -=≤<例2 设有一批产品10件，其中3件次品，从中任抽2件，如果用X 表示抽取次品数，求X 的概率分布与分布函数．解 设{}抽的次品数=X , 则X 可取值为{}2,1,0．157)0(21027===C C x P 157)1(2101317===C C C x P 151)2(21023===C C x Px ∴的概率分布为210273)(C C C k x P kk -== )210(、、=k 或用表格表示即其分布函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤<≤<≤<=x x x x x F 212115141015700)(例3 某水果店，根据零售葡萄的经验，预计做一笔生意，希望从这批货中得到毛利如下表：求每吨葡萄所得毛利分布列和分布函数，并画出分布函数图．解 设每吨葡萄所得毛利为X 千元则x 可能取值为{}2,1,2-∴其概率分布为其分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=16.01.00)(x F 221122≥<≤<≤--<x x x x分布函数图10.2.2 常见的几种离散型的概率分布1、二点分布定义3 设随机变量X 的分布列为 （其中p+q=1，p>0，q>0）则称X 服从两点分布记为 X~（0，1）注：它适用于一次试验仅有两个结果的随机试验．2、二项分布二项分布适用于贝努里概型也称为独立实验序列．定义4：设一随机试验在同样条件下进行n 次独立重复试验，每一次试验事件A 只有两种结果：发生与不发生，发生的概率为p ，不发生的概率为1-p=q ．在n 次独立试验中事件A 发生k 次概率为()k k n kn n P k C p q -=（k=0, 1, 2…n ）, 此概型称为贝努里概型，其概率分布称为二项分布, 记为X~B （n ，p ）。

显然当n=1时二项分布即成二点分布．贝努里概型在实际问题中有非常广泛的应用．例4 某服装店经理根据经验估计每个顾客进该店购买服装概率是0.3，现有3名顾客进店．问其中有2名顾客会购买的概率为多大？解 X 表示购买服装的顾客人数189.07.03.0)2(223=⨯==C x P例5 一条自动生产线上产品一级品率为0.6，现检查10件，求至少有两件一级品的概率． 解 设X 为一级品件数101019101010102(2)()1(0)(1)10.40.40.60.998k P x p k p p C =≥==--=--⨯≈∑3、泊松分布定义5 若随机变量X 的分布列为()!k e P x k k λλ-==)2,1,0,0( =>k λ则称X 服从参数为λ的泊松分布, 记为)(~λπX .泊松分布应用很广，如确定时间段通过交通路口的小轿车数，容器内细菌数，铸件疵点数，电话交换台电话被呼叫次数等都服从泊松分布．例6 已知某电话交换台每分钟接到呼唤次数X 服从参数4=λ的泊松分布，分别求（1）每分钟恰好接到3次呼唤概率（2）每分钟内接到呼唤次数不超过4次概率．解 （1）43!34)3(-==e X P 查泊松分布表得 1954.05665.07619.0)4()3()3(=-=≥-≥==X P X P X P（2）6288.03712.01)5(1)4(=-=≥-=≤X P X P在二项分布中当n 很大（n>>10）p 很小（p ≤0.1）时也可近似用泊松分布公式计算, 其中np =λ．例7 若一年中参加某种寿险的人死亡率为0.002，现有2000人参加．每人交保险费24元，一旦死亡保险公司赔偿5000元，求(1) 保险公司亏本概率（2）保险公司盈利不少于10000元的概率．解 设X 表死亡人数 则X~B （2000，0.002）002.02000==p n 较大 较小可近似用泊松分布计算4==np λ（1）若亏本即05000242000<-⨯x 得9>x0081.0!4)9(104==>∑∞=-x x x e x p （查泊松表）（2）盈利不少于10000即100005000242000≥-⨯x 得7≤x9489.0!41)7(1)7(84=-=>-=≤∑∞=-x x x e x p x p所以保险公司盈利概率是很大的．二、课堂小结本节介绍了随机变量的概念，离散型随机变量的概率分布，几种常见离散型概率分布,包括二项分布、两点分布、泊松分布.三、练习1、定点投篮一次，投中的概率为0.4，试用随机变量描述这一试验．2、一批产品分一、二、三级其中一级品是二级品的二倍，三级品是二级品的一半，从这批产品中随机抽取一个检验质量，用随机变量描述检验的可能结果．3、随机变量X的概率分布如下：问（1）这是一个概率分布吗？为什么（2）X=30的概率是多少？（3）X小于或等于25的概率是多少？（4）X大于30的概率是多少？4、下表为某公司营业第一年计划利润（X=利润）（以万元计）的概率分布，负值代表亏损．问（1）P（100）是多少？如何解释这个值．（2）该公司盈利的概率是多少？（3）该公司至少盈利100万的概率是多少？5、某商店销售某种水果，进货后第一天售出概率为60%，每500g的毛利为6元，第二天售出概率30%，每500g毛利为2元，第三天售出概率为10%，每500g的毛利为-1元, 求销售此种水果每500g所得毛利X 的概率分布，并求其分布函数．6、一批产品20件，其中有5件次品，从这批产品中任取4件求这4件产品中次品数X的分布（精确到0.01）7、从一个装有4个红球，2个白球的口袋中，一个一个地取球，共取5次，每次取出的球（1）取后放回；（2）取后不放回．求取得红球的个数X的概率分布．8、一批产品的废品率为0.001用泊松分布求800件产品中废品2件的概率以及废品数不超过2件的概率．9、若每次射击中靶的概率为0.7，若发射炮弹10次，分别求命中3次的概率，至少命中3次的概率及最多可命中几次，其概率为多少？10、设离散型随机变量XX试求（1）常数C ；（2）求P （X<1），P （X>0）；（3）求其分布函数F （X ）11、在人寿保险公司里，有3000个同一年龄段人参加人寿保险，假设在一年中，每人的死亡率为0.1%，参加保险的人在一年的第一天交纳保险费10元，死者家属可以从保险公司领取2000元赔偿金，求保险公司亏本的概率．10.3 连续型随机变量的分布1、学时：2学时2、过程与方法：对比离散型随机变量分布介绍连续型随机变量分布的情况. 3、教学要求：（1）掌握连续型随机变量分布、概率密度与分布函数、概念、性质 （2）几种常见连续型随机变量概率分布，正态分布查表教学重点：连续型随机变量分布、概率密度与分布函数、概念、性质，几种常见连续型随机变量概率分布，正态分布查表 教学难点：连续型随机变量分布、概率密度与分布函数 教学形式：多媒体讲授 教学过程：一、复习内容1. 随机变量的概念2. 离散型随机变量的概率分布：二项分布、两点分布、泊松分布 二、新课教学内容10.3.1 连续型随机变量的概率密度函数与分布函数定义1 对于随机变量X ，若存在非负可积函数))((+∞<<-∞x x f 使对任意实数a 、b （a<b ）都有⎰=≤<badx x f b x a P )()(则称X 为连续型随机变量，)(x f 称为X 的概率密度函数, 简称概率密度或密度函数．性质：（1）0)(≥x f （2）⎰+∞∞-=+∞<<-∞=1)()(x P dx x f定义2 设X 为如上定义的随机变量， 函数{}⎰∞-=≤=xdt t f x X P x F )()( )(+∞<<-∞x称为连续型随机变量X 的分布函数．性质：（1）1)(0≤≤x F （2）)(x F 是不减函数（3）()lim ()0x F F x →-∞-∞== ()lim ()1x F F x →+∞+∞==（4）)(x F 若有间断点，在其间断点处右连续 （5）)()()(1221x F x F x X x P -=≤<注：由微积分知识知道，在)(x f 连续点处连续型随机变量密度函数)(x f 等于分布函数F （x ）的导数即)()(x f x F ='．值得注意是，对连续型随机变量X 来说它取任一指定实数值a 的概率为0即0)(==a x p例1 设⎩⎨⎧-=0)24()(2x x k x f 其他20<<x是某连续型随机变量X 的概率密度，求（1）常数k ；（2）)31(<<x P ；（3）)1(<x P解 （1）⎰⎰∞+∞-=-=-=1)322()24()(220322x x k dx x x k dx x f 83=∴k （2）⎰⎰=-=-==<<3121213225.0)322(83)24(83)()31(x x dx x x dx x f x P （3）⎰⎰∞-=-=-==<110103225.0)322(83)24(83)()1(x x dx x x dx x f x P 10.3.2 几种常见连续型随机变量的概率密度1、均匀分布定义3 若随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(a b x f其他b x a << 则称X 在区间[a,b]上服从均匀分布, 记为X~U （a,b ）可以计算其分布函数．0()1x a x a F x a x b b a x b<⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩例2 大多数计算机语言都有一个能够生成随机数的函数，在Excel 中RAND 函数多用于产生0到1之间随机数，生成的随机数机会是均等的，令X 表示生成的随机数．求（1）随机变量X 的概率密度；（2）产生一个在0.25到0.75之间的随机数概率是多少？（3）产生一个小于0.3随机数概率是多少？解 （1）⎩⎨⎧=01)(x f 其他10≤≤x （2）⎰==<<75.025.05.0)75.025.0(dx x P（3）⎰⎰∞-===<3.03.003.0)()3.0(dx dx x f x P2、指数分布定义4 如果随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=-0)(x e x f λλ 00<≥x x )(为常数λ则称X 服从参数为λ的指数分布，记为X~E （λ），指数分布有着重要应用.有些元件寿命，动植物寿命,随机服务系统中服务时间等都可用指数分布来描述．例3 已知某种电子管的寿命X （小时）服从指数分布，X~E （0.001）．一台仪器中有5个这种电子管，其中任一电子管损坏就停止工作，求仪器工作正常1000小时以上概率．解 x 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=-010001)(10001x e x f 00<≥x x⎰---=+=-=≤-=>100011000010001100011100011)1000(1)1000(e e dx e x p x p x x有5个电子管均在1000小时以上概率为51)(-e因此仪器正常工作1000小时以上概率为5-e ．3、正态分布正态分布是最常见的也是最重要的一种分布，在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似服从正态分布．在某些条件下，即使原来不服从正态分布的一些独立随机变量，它们和的分布，当随机变量个数无限增加时也是趋于正态分布的．例如：测量误差、零件长度、直径、细纱的强力，螺丝口径，人的身高、体重等随机变量都服从正态分布．（1）正态分布的定义及其性质定义5 如果连续型随机变量的概率密度为222)(21)(σμσπϕ--=x ex ）为常数、（0>σμσ）（+∞<<∞-x 则称x 服从正态分布, 记为),(~2σμN Xσμ、为其两个参数下图10-1为正态曲线图性质：1°关于直线μ=x 对称2°),()(μϕ-∞在x 严格上升，在()μ∞，+严格下降，在μ=x 处取得最大值σπ21．3°)(x ϕ有两拐点)21(21-±e σπσμ，4°以x 轴为渐近线．5°若固定σ，改变μ的值，则曲线)(x y ϕ=沿x 轴平行移动，曲线几何形状不变（见图10-2）．若固定μ，改变σ值，σ越大)(x y ϕ=图形越平坦，σ越小图形越陡峭（见图10-3）．特别地当1=μ，0=σ时称x 服从标准正态分布， 记)1,0(~N X其概率密度为20221)(x ex -=πϕ，其图形见右下图10-4：正态分布),(~2σμN X的分布函数为：dt e x X p x t x222)(21)()(σμσπ-∞-⎰=≤=Φ同理 标准正态分布)10(~，N X 的分布函数为dt e x X p x t x20221)()(-∞-⎰=≤=Φπ（2）正态分布的查表 正态分布函数若做变换σμ-=t y 则222()220()()()t y x xx x p X x dt dy μμσσμσ-----∞-Φ=≤===Φ⎰⎰由此可得如下定理：定理1 若),(~2σμN X 而()/Y X μσ=-则)1.0(~N Y图10-4所以一般正态分布均可以化为标准正态分布函数计算．下面就阐述服从标准正态分布随机变量x 落入区间的概率如何查标准正态分布表．查表方法为（1）当3.301.0<≤x ，可从表中直接查到)(0x Φ的值 （2）当3.3≥x ，可取1)(0≈Φx（3）当0<x 时，按公式)(1)(00x x Φ-=-Φ后查表进行计算这是因22220()t y xxx dt t y dy ----∞+∞Φ-==-⎰⎰令)(12112102222x dy e dy e y xy xΦ-=-==-∞--∞+⎰⎰ππ例4 设)1,0(~N x 求（1）)96.1(≤x p （2）)96.1(-<x p （3）)96.1(>x p（4）)21(<<-x p （5）)5.5(<x p 解 （1）975.0)96.1()96.1(0=Φ=≤x p （2）025.0)96.1(1)96.1(0=Φ-=-<x p （3）)96.1()96.1()96.1(-<+>=>x p x p x p05.0975.022)96.1(1)96.1(100=⨯-=Φ-+Φ-= （4）8186.01)1()2()1()2()21(0000=-Φ+Φ=-Φ-Φ=<<-x p （5）1)5.5()5.5(0≈Φ=<x p例5 设2~(8,0.5)X N 求（1）)9(<x P （2）)5.87(<<x p解 （1）9773.0)2()5.089()9()9(00=Φ=-Φ=Φ=<x p （2）)5.087()5.085.8()7()5.8()5.87(00-Φ--Φ=Φ-Φ=<<x p8186.0197725.08413.01)2()1()2()1(0000=-+=-Φ+Φ=-Φ-Φ=例6 已知一批材料的强度2~(20018)X N ，．如果使用材料要求以99%概率保证强度不低于150．问这批材料是否合乎要求？解 )18200150(1)150(1)150(--=<-=≥p x p x p 01(2,78)(2.78)0.99730.99=-Φ-=Φ=>∴ 这批材料合乎要求例7 设随机变量),(~2σμN X 求x 落在区间)3,3(σμσμ+-内的概率 解 )3()3()33(00σμσμσμσμσμσμ--Φ--+Φ=+<<-x p9973.01)3(2)3()3(000=-Φ=-Φ-Φ=由例7可知正态随机变量x 落入区间)3,3(σμσμ+-的概率为0.9973．它说明在一次试验中，正态变量落入点μ的σ3领域内几乎是必然的．在企业管理中经常应用这一原理进行产品质量检查和工艺过程控制．这就是正态分布的“σ3法则”．三、课堂小结本节介绍了连续型随机变量的概率密度函数与分布函数，以及咱几种常见的连续型随机变量的概率密度函数与分布函数，包括均匀分布、指数分布、正态分布. 四、练习1、设连续型随机变量X 服从区间[])0(,>-a a a 的均匀分布，且已知概率31)1(=>x p 求（1）常数a 的值；（2）)31(<x p2、在某公共电话亭，顾客打一次电话所用时间x 分钟是一个连续型随机变量，它服从参数为)0(>λλ的指数分布，且51=λ（1）任打一次电话所用时间在5分钟~10分钟的概率；（2）任打3次电话中至少有一次所用时间在5~10分钟的概率．3、某城镇每天用电量x 万度是连续型随机变量，其概率密度为⎩⎨⎧-=0)1()(2x kx x ϕ 其他10<<x试求（1）常数k （2）当每天供电量为0.8万度时，供电量不够的概率．4、设连续型随机变量x 的概率密度为⎩⎨⎧=0)(cxx f其他42≤≤x 试求（1）常数C （2）)3(>x p （3）求其分布函数)(x F5、已知)1,0(~N X 求（1）)20(<<x p （2）)2(-<x p （3）)2(<x p6、已知)1,0(~N X 若025.0)(=>λx p ，求λ．7、已知)9,4(~N X ，求（1）)88.94(<<x p （2）)88.9(>x p8、某商店供应一地区1000人的商品，若某种商品在一段时间内每人需要一件概率是0.6，问商店需要准备多少件这种商品，才能以99.7%概率保证不会脱销（假设各个人是否购买该商品是彼此独立的）？9、某牌号牙膏的销售量X 近似服从正态分布10000μ=（支/周），1500σ=（支/周）求（1）在任一给定周内，销售量超过12000支的概率是多少？（2）为使公司有充足的库存以满足每周需求概率达到0.95，应生产多少支？10.4 数学期望1、学时：2学时2、过程与方法：结合实例介绍离散型随机变量及连续性随机变量数学期望及性质. 3、教学要求：（1）理解并掌握数学期望概念、性质 （2）掌握随机变量函数的数学期望教学重点：数学期望概念、性质，随机变量的数学期望 教学难点：随机变量的数学期望 教学形式：多媒体讲授 教学过程：一、复习内容1. 连续型随机变量的概率分布与密度函数2. 几种常见连续性随机变量的概率分布与密度函数：均匀分布、指数分布、正态分布. 二、新课教学内容10.4.1 离散型随机变量数学期望例1 一批钢筋共有10根，抗拉强度指标为120和130各2根, 125有3根, 110、90、140各有1根，则它们平均抗 拉强度指标为：5.121101)31252130212014090110(=⨯⨯+⨯+⨯+++ 当然也可以这样计算：11122311090140120130125121.5101010101010⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=可以看出平均抗拉强度不是取这个钢筋6个值的平均数而是取值与值的权重的乘积，故称为加权平均，其权重=试验总次数该值次数 若把权重看为取该值概率则就得∑kk kp x定义1 离散型随机变量X 有概率函数()(1,2)k k p X x p k ===, 若级数∑∞=1k k k p x 绝对收敛 ,称该级数和为X 的数学期望, 简称期望或均值, 记为 1()kk k E X xp ∞==∑例2 若随机变量X 服从0-1分布求)(x E 解 X 的分布列为：()01E x q p p ∴=⨯+⨯=例3 某电脑公司欲开发一种软件，其开发费用为200万元，但有开发成功与不成功可能，据以往经验，开发成功概率0.6，不成功概率0.4，若成功就面临把软件推向市场，市场畅销可获利600万元而销畅概率为0.7，不畅销将损失100万元而不畅销概率为0.3．根据以上情况是否决定要开发软件．解 设获利数为X ，推向市场获利数为1X1()6000.70.3(100)390E X =⨯+⨯-=()3902000.6(200)0.41148034E X =-⨯+-⨯=-=（）所以可以开发．例4 某投资者有10万元，有两种投资方案，一是购股票，二是存入银行取利息，买股票收益取决于经济形势，假设分三种状态：形势好，形势中等，形势不好（即经济衰退）．形势好可获利20000元，若形势中等可获利8000元，若形势不好要损失15000元．如果存入银行，假设年利率2.5%可得利息2500元．又设形势好、中、差概率分别为30%、50%和20%，试问采用哪一种方案？ 解 设方案1x 为买股票 方案2x 为存银行 1U 为形势好 2U 为形势中等 3U 为经济衷退1()200000.380000.5(15000)0.27000E X =⨯+⨯+-⨯=2()2500E X =12()()E X E X >∴方案1X 的期望收益较高, 采用方案1X ．10.4.2 连续型随机变量数学期望定义 2 设连续型随机变量X 有概率密度)(x ϕ，若积分⎰+∞∞-dx x x )(ϕ绝对收敛, 则()()E X x x dx ϕ+∞-∞=⎰为X 的数学期望例5 ),(~b a U X 求E(X)解 ⎪⎩⎪⎨⎧-=01)(a b x ϕ 其他b x a ≤<1()()2baa bE X x x dx xdx b a ϕ+∞-∞+===-⎰⎰例6 设2~(,)X N μσ 求E(X)解222)(21)(σμσπϕ--=x e x )(+∞<<-∞x222()22()()x t E X dx tt edt μσμσ---+∞+∞-∞-∞==+⎰(注：利用变量替换 x=μ+σt )=dt tedt et t ⎰⎰∞+∞--∞+∞--+222222πσπμ π2(22=⎰∞+∞--dt et220)t te dt +∞--∞=⎰=μμ=-0所以正态分布的数学期望μ就是其第一个参数10.4.3 数学期望的性质1°若c 为常数 则E （c ）=C2°若k 为常数 则E （kX ）=kE （X ） 3°若a ，b 为常数 则E （aX+b ）=aE(X) +b4°x ，y 为两随机变量 则E （X+Y ）=E （X ）+E （Y ）这性质可以推广到任意有限个随机变量，即1212()()()()n n E X X X E X E X E X +++=+++特别n 个随机变量的算术平均数仍是一个随机变量,其期望值等于这n 个随机变量期望的算术平均数即1111()n ni i i i E X EX n n ===∑∑ 5°设X 、Y 为两个相互独立的随机变量 则E （XY ）=E （X ）E （Y ） 例7 设~(3,4)X N 求(3)E X 及 (34)E X + 解~(3,4)()3X N E X ∴=(3)3()9E X E X == (34)3()413E X E X +=+=10.4.4 随机变量函数的数学期望定义3 设X 为随机变量，(),()Y f X f X =（为连续函数） （1）若X 为离散型随机变量，其分布列()(1,2)k k P X x p k ===, 如果级数k k k p x f ∑∞=1)(绝收收敛, 则1()[()]()kkk E Y E f X f x p∞===∑．（2）若X 为连续型随机变量, 其分布密度函数为)(x ϕ, 如果⎰+∞∞-dx x x f )()(ϕ绝对收敛, 则有()[()]()()E Y E f X f x x dx ϕ+∞-∞==⎰因此，求随机变量函数Y=f （X ）的数学期望E （Y ），不必先求出Y 的概率分布，只需知道X 的概率分布就行了．例8 设随机变量X 的分布列为且22,()Y X X E Y =+求解 221()(2)(2)ii i i E Y E X X xx p ϕ==+=+∑2222(1)2(1)0.10200.2(121)0.3(222)0.44x ⎡⎤⎡⎤=-+-++⨯⨯++⨯⨯++⨯⨯⎣⎦⎣⎦=例9 一仪器由两个主要部件组成，其总长度为此二部件长度之和，这两部件长度ηξ与为两个相互独立的随机变量，其分布律如下表：求 (1) 总长度的数学期望 (2) 求 ()E ξη解 （1）设仪器总长度为n +=ξζ 9.92.0115.0103.09)(=⨯+⨯+⨯=ξE6.66.074.06)(=⨯+⨯=ηE5.166.69.9)()()(=+=+=ηξζE E E（2）34.656.69.9)()()(=⨯==∴ηξξηηξE E E 相互独立与 注意下面计算是错误的 56.436.6)()()(22===ηηηE E E∵)()()(Y E X E XY E =要求X 与Y 相互独立，而η与其本身绝不能说是相互独立．所以要用随机变量函数的数学期望公式计算．三、课堂小结本节学习了离散型随机变量以及连续型随机变量数学期望，数学期望的性质、随机变量函数的数学期望. 四、练习1.已知离散型随机变量x试求数学期望E(X)2.设随机变量X 的概率分布为试求（1）)(X E （2）(1)E X -+ （3）2()E X 3.设随机变量x 的概率分布如下表X0 1 2试求 （1）常数c 值（2）)20(<<x p （3）数学期望E(X)4.一万张奖券中,有1张一等奖,奖金1000元，10张二等奖,每张奖金100元，有100张三等奖,每张奖金10元．从一万张奖券中抽出一张，求一张奖券的数学期望．5.已知连续型随机变量x 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧=0ln 2)(x x x f 1x e ≤≤其它 )(x E 试求6.设连续型随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧=0)(αkx x f 其他)0,0(10>><<αk x 已知数学期望54)(=X E 求常数k 与α的值 7.对球的直径X 作近似测量 若X 在区间[]b a ,上服从均匀分布,求球体积的数学期望.8.各月份对某公司产品需求有很大差异,根据过去两年的数据得到公司产品月需求量概率分布如下（1）若公司根据月需求量的数学期望来确定月订单数,则公司认为这种产品的月订单数是多少? （2）假设每单位产品销售收入为700元,每单位产品购入成本为500元,如果订购量基于（1）中答案,并且实际需求量为400单位,那么这月公司盈利或亏损多少?10.5方差1、学时：2学时2、过程与方法：结合实例介绍方差的定义、性质及计算方法.3、教学要求：（1）掌握方差的概念、性质 教学重点：方差的概念、性质 教学形式：多媒体讲授 教学过程：一、复习内容1. 离散型随即变量数学期望2. 连续性随机变量3. 数学期望的性质4. 随机变量函数的数学期望 二、新课教学内容10.5.1方差的定义例1 有甲、乙两种牌号的手表，它们日走的误差分别为21x x 与，各具有如下分布列：易验证12()()0E X E X ==，如果从期望看分不出它们的优势，但仔细观察，显然甲牌号比乙牌号优，因其误差较小，如何计算就是这节讨论的内容．如果X 是随机变量，()X E X -是衡量随机变量X 与它期望E(X)的偏差，但绝对值运算有许多不方便之处，人们就用2(())X E X -去衡量．但[]2()X E X -仍是一个随机变量，所以就用它的数学期望，即[]2()E X E X -来衡量X 与E （X ）的偏离程度．定义 1 设X 为随机变量，如果[]2()E X E X -存在，则称它为X 的方差．记为()D X , 即[]2()()D X E X E X =-称为X的均方差或标准差记为()()X X σσ=即方差也可使用如下公式 2()[()]DE X E X =-（X ）证明:2[()]D E X E X =-（X ）=2222{2()[()]}()[()]E X XE X E X E X E X -+=- 例2 计算例1中的方差12()()D X D X 和以确定哪个牌号手表质量较优解 22221()(1)0.100.810.10.2E X =-⨯+⨯+⨯=22111()()[()]0.200.2D X E X E X =-=-=222222()(2)0.1(1)0.200.410.220.1 1.2E X =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯= 22222()()[()] 1.20 1.2D X E X E X =-=-=21()()D X D X ∴>所以牌号甲手表较乙优例3 2~(,)()X N D X μσ求解22()2222()[()]()()x D X E X E X E X x dx μσμμ--+∞-∞=-=-=-⎰令t x =-σμ则2222222()t t D X t e dt tdeσ--+∞+∞-∞-∞===222222|t t e dt --+∞+∞-∞-∞⎰=22222σπσ=-∞+∞-⎰dt et所以正态分布中参数2σ恰为随机变量X 的方差． 例4．试对A 、B 方案进行投资风险价值分析．解 投资风险价值是反映投资者冒着风险进行某次投资所得到的报酬．投资风险越大，为补偿额外风险，通常其所要求获得的报酬也就越高．在实际工作中，测量风险通常用“标准差”，一般地，标准差越大说明投资风险就越大，投资风险价值通常也就越大．设A X 表示A 方案的收益，B X 表示B 方案的投资收益，则(40000.130000.820000.13000A E X =⨯+⨯+⨯=） 2222(40000.130000.820000.19200000A E X =⨯+⨯+⨯=）22()()[()]447.21A A A D X E X E X =-=≈同理()4000B E X = =1264.91从上面结果可看出：A 方案均收益比B 方案低，而A 方案投资风险比B 方案小．即B 方案投资风险价值大于A 方案．在进行决策时，既要考虑风险因素，又要注意报酬．一般说当两个方案投资收益相同时，应选择标准差小的方案（风险小）．若两个标准差相同时，应选择收益期望大的方案．10.5.2 方差性质1若c 为常数则D （c ）=02若k 为常数则D （kX ）=2()k D X3若a.b 为常数则2()()D aX b a D X +=4若X 与Y 相互独立则D （X Y ±）=D （X ）+D （Y ）下面只证22D （2222)[()]{2()[()]}kX E kX E kX E k X kXE kX E kX =-=-+=222()2()()[()]E k X E kX E kX E kX -+ ={}22222222()[()]()[()]()k E X k E X kE XE X K D X -=-=例5 ~X N （2，5），求D （3X ） 及 D （4X －3） 解 ~(2,5X N ） ()5D X = D(3X)=9D(X)=45 D(4X －3)=16D(X)=80数学期望和方差在概率统计中经常要用到，为了便于记忆，将常用分布的数学期望和方差列成下表10-1表10-1常用分布的数学期望和方差1,0n p <0)(0.1)k =三、课堂小结本节学习了方差的定义、性质、计算方法. 四、练习1、设离散型随机变量X~（0.1）若X 取1的概率p 为X 取0的概率q 的3倍，求方差D （X ）2、一批零件中有9件合格品和3件废品，在安装机器时，从这批零件中任取1件，如果取出是废品就不再放回然后再取，直到取出合格品，求取得合格品之前，已知取出废品数的数学期望与方差．3、某菜市场零售某种蔬菜，售出情况如下表：求任取500g 蔬菜售价X 元的数学期望E （X ）和方差D （X ）4、设连续型随机变量X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧=021)(x x f其他10<<x 求（1）E （X ） (2)D(X) (3)D(2X －1)5、已知随机变量X 的数学期望E （X ）=－2 方差D （X ）=5 求（1）E （5X －2） (2) D(－2X+5)6、某地区失业率为4.1%，随机抽取100人求（1）失业人数的期望值 （2）失业人数的方差与标准差7、若X 为随机变量，13X E =（） ()42XD = 求数学期望2()E X 8、已知X~N(1,2) Y~N(2,1) 且X 、Y 相互独立 求（1）E （3X －Y+4） （2）D （2X －3Y ） (3)E(21XY －1) 9、设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧+=0)(2bx a x f 其他10≤≤x且E （X ）=0.6 试确定系数a 、b,并求D （X ）复习课1、学时：2学时2、教学要求：（1）本章知识点复习（2）复习题评讲 教学过程一、本章知识点复习1、随机变量：通俗地说是随机事件数量化而取的变量．我们着重研究离散型与连续型随机变量2、概率分布与分布函数。