高等代数(1）复习题一、判断题1、四阶行列式中含因子2311a a 的项为42342311a a a a 和44322311a a a a 。

（ )2、设D 为六阶行列式,则162534435261a a a a a a 是D 中带负号的项。

( )3、对任一排列施行偶数次对换后，排列的奇偶性不变。

( ） ４、排列()3211 -n n 的逆序数为n 。

（ ） ５、排列()3211 -n n 为偶排列。

（ ）6、若行列式中所有元素都是整数，且有一行中元素全为偶数，则行列式的值一定是偶数。

( ） ７、若22B A =，则B A =或B A -=。

（ ) ８、若AC AB =，0≠A ，则C B =。

( ) 9、若矩阵A 满足A A =2,则0=A 或E A =。

( ) 10、设A 是n 阶方阵，若0≠A ，则必有A 可逆。

（ ) 1１、若矩阵A 满足02=A ,则0=A 。

( ）12、若矩阵B A ,满足0AB =，且0A ≠,则0B =。

( ） 1３、对n 阶可逆方阵A ，B ，必有()111---=B A AB 。

( )1４、对n 阶可逆方阵A ，B ,必有()111---+=+B A B A 。

（ ）1５、设A ,B 为n 阶方阵,则必有B A B A +=+。

( ） １6、设A ，B 为n 阶方阵,则必有BA AB =。

（ ) 17、若矩阵A 与B 等价,则B A =。

（ )1８、若A 与B 都是对称矩阵,则AB 也是对称矩阵。

（ )1９、若矩阵A 的所有1r +级的子式全为零，则A 的秩为r 。

（ ） ２0、设n m A ⨯,n m B ⨯为矩阵，则()()()B R A R B A R +≤+。

( ) 21、设A =0,则()0=A R 。

( )22、线性方程组0=⨯X A n n 只有零解,则0≠A 。

（ ) 2３、若b AX =有无穷多解,则0=AX 有非零解。

( )24、设n 级方阵C B A ,,满足ABC E =,E 为单位矩阵,则CAB E =。

( ）25、要使⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→2111ξ,⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=→0112ξ都是线性方程组0=AX 的解，则系数矩阵A 可为()111-。

（ ）２6、若n ，，，ααα 21线性无关，且02211=+++n n k k k ααα ,则021====n k k k 。

( ) 27、单独的一个零向量是线性相关的。

（ ）28、若两个向量组等价,则它们所包含的向量的个数相同。

（ ) ２9、一个向量组若线性无关,则它的任何部分组都线性无关。

（ )30、向量组n ，，，ααα 21(2≥n )线性相关，则其任何部分向量组也线性相关。

（ ）31、若向量组有一个部分向量组线性无关，则原来的向量组也线性无关。

( ）3２、向量组n ，，，ααα 21线性相关，则n α必由121-n ，，，ααα 线性表示。

（ )３３、若向量组n ，，，ααα 21线性相关,那么其中每个向量都是其余向量的线性组合。

( ) 3４、若向量组12,,,s ααα（2s ≥)线性相关,则存在某个向量是其余向量的线性组合。

( ）35、两个向量线性相关,则它们的分量对应成比例。

( ） ３6、任意n 个1+n 维向量必线性相关。

（ ) 3７、任意1+n 个n 维向量必线性相关。

( )３8、向量组n ，，，ααα 21的秩为零的充要条件是它们全为零向量。

（ ）39、线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。

( )４0、齐次线性方程组的任意两个解向量之和仍为原线性方程组的解。

( ）二、填空题 第一组：1、已知排列1s46t5为奇排列,则s 、t 依次为２、若排列n x x x ,...,,21的逆序数是k ,则排列11,...,,x x x n n -的逆序数是３、四阶行列式6594382507164321---中元素23a 的代数余子式为4、44322311a a a a 在四阶行列式中应带 号5、=000000000000d c b a 6、()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--123321 7、()=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1233218、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n101λ 9、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛k1011 １０、设()()1,2,2,1==B A ,则()=99B A T11、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=600230321A ，则()=-1*A １2、设A 为三阶方阵,3=A ,则*125A A --=13、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=θθθθcos sin sin cos A ,则=-1A 1４、设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=d c b a A ，当d c b a ,,,满足 时，1-A 存在，此时=-1A 17、设n 阶方阵A 满足022=+-E A A ,则=-1A18、要使矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛01112421λ的秩取得最小值，则=λ19、列向量组n ，，，ααα 21的秩与矩阵A ＝()n ，，，ααα 21的秩 20、设向量组()3211=α，()4132=α,()7653=α,()1204=α线性 关21、设()11111，，，=α,()11102，，，=α，()11003，，，=α,()10004，，，=α线性 关 22、已知()0011，，=α,()0102，，=α,()1003，，=α,()1204，，=α，用321ααα，，线性表示=4α 23、21ααβ，，线性相关,则321αααβ，，，线性 关 24、321αααβ，，，线性无关，则321ααα，，线性 关25、由m 个n 维向量组成的向量组,当ｍ ｎ时,向量组一定线性相关26、b x A n m =⨯有唯一解的充要条件是 有无穷多解的充要条件是 无解的充要条件是 27、设n 阶方阵A ，若()2-=n A R ，则0=Ax 的基础解系所含向量的个数＝ ２8、已知b Ax =有两个不同的解21,x x ,则0=Ax 有一个非零解为29、若⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101a A ，且TA A =-1,则=a 30、若242(1)1x ax bx -∣++，则a = ,b = 。

第二组：1．32153320537228472184=２.123101202303102030= 3. 00001002001000nn D n -==___＿_________＿。

４. 设行列式12203369a中，余子式213A =，则a ＝_＿_____＿__。

5. 设412201112111311----=A ,则=+++44342414A A A A 。

6. 行列式941321111 的余子式232221M M M ++的值为 。

7．设矩阵A 可逆，且1A =,则A 的伴随矩阵A *的逆矩阵为 。

８.设A 、B 为n 阶方阵,则222()2A B A AB B +=++的充要条件是 。

9．一个n 级矩阵A 的行(或列)向量组线性无关，则A 的秩为 。

10. 设P 、Q 都是可逆矩阵,若PXQ B =,则X = 。

１１. 设矩阵1112312536A λμ-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭,且()2R A =，则()()==μλ,。

12． 设A 为n 阶矩阵,且1=A ,则 =)(A R ___＿__＿_______。

13． 2153A ⎛⎫=⎪⎝⎭,则=-1A __＿___＿_＿__＿__＿_。

１4． 已知A 01011,001k ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭其中0≠k ，则=-1A ___＿__＿_________＿。

１5． 若A 为n 级实矩阵，并且O AA T=，则A = 。

16. 设A 为5阶方阵,且3det =A ,则=-1det A，=')det(A A ， =*)det(A 。

1７.=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-1*)(,121210421A A 则 _＿＿_＿_＿＿__＿_。

18. 设A 为4阶矩阵，且2=A ，则 *2AA =_＿___＿__＿___。

19. 设)(21I B A +=,则A A =2的充要条件是 。

２0. 设A 为n 阶矩阵，且r A rank =)(,则0=AX 的基础解系中有 个解向量.２１.一个齐次线性方程组中共有1n 个线性方程、2n 个未知量，其系数矩阵的秩为3n ,若它有非零解,则它的基础解系所含解的个数为 。

22.含有n 个未知量n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充分且必要条件是 。

23. A 是n n ⨯矩阵,对任何1⨯n b 矩阵,方程b AX =都有解的充要条件是_____ __。

２4.若120s ααα+++=，则向量组12,,,s ααα必线性2５．已知向量组)4,3,2,1(1=α，)5,4,3,2(2=α，)6,5,4,3(3=α，)7,6,5,4(3=α，则该向量组的秩是 。

26. 单个向量α线性无关的充要条件是＿_________＿＿＿。

２7. 设m ααα,,,21 为n 维向量组， 且n R m =),,,(21ααα ，则n m 。

28. 1+n 个n 维向量构成的向量组一定是线性 的。

(无关，相关) ２9.已知向量组),3,1(),3,2,2(),1,0,1(321t ===ααα线性无关,则=t _＿__＿__。

3０. 向量组},,,{21n ααα 的极大无关组的定义是＿_＿＿_____＿_。

３１. 设s t t t ,,,21 两两不同, 则向量组r i t t t r i i i i ,,2,1,),,,,1(12 ==-α线性 。

3２. 多项式可整除任意多项式。

33．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。

34.实数域上不可约多项式的类型有 种。

35.若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式,则()p x 是(1)()k f x -的 重因式。

三、选择题1.行列式41032657a --中,元素a 的代数余子式是( )。

A .4067- B ．4165 C .4067-- D .4165- ２. 设,A B n 均为阶矩阵,则下列选项中正确的为（ )。

A . det()det det AB A B +=+ B .AB BA =C . det()det()AB BA =D .222()2A B A AB B -=-+3． 设A 为3阶方阵，321,,A A A 为按列划分的三个子块,则下列行列式中与A 等值的是（ ）A .133221A A A A A A ---B .321211A A A A A A +++ C ．32121A A A A A -+ D .311132A A A A A +-４. 设A 为四阶行列式，且2-=A ,则=A A （ )A .4B .52C .52-D ．85.A 是n 阶矩阵,k 是非零常数,则kA = ( )。