东 南 大 学 考 试 卷（A 卷）
课程名称 高等代数II 考试学期 2018-2019-3 得分 适用专业 数学学院各专业 考试形式 闭卷 考试时间长度 150分钟 题目 一 二 三 四 五 六 七 得分
一. 填空(每空3分, 共30分) 1. 设数域P 上的线性空间V = {ax 2 + bx + c | a , b , c P }, V 的子空间V 1 = { f (x ) | f (0) = 0}, V 2 = { f (x ) | f ( 1) = 0}, 则V 1 V 2的一组基为_________________, V 1 + V 2的一组基为_______________________________________________. 2. 已知矩阵A 的特征多项式 | E A | = ( 1), 而且A 满足A 2019 = a A + b E , 则 (a , b ) = ______________________________________________________. 3. 设 1, 2是欧氏空间V 的一组标准正交基, 1 1 + a 2, 2 1 + b 2, 其中a > 0, 若 1, 2也是V 的标准正交基, 则 (a , b ) = ________________. 4. 矩阵A = 508316203 的不变因子依次为____________________________. 5. 已知矩阵A 的特征多项式是 3( 1)2, A 的最小多项式是 2( 1), 则A 的初等因子组是____________________________________________________, 矩阵A 的秩r(A ) = ________________________________________________. 6. 设二次型f (x 1, x 2, x 3)在正交变换x = Py 下的标准形为2y 12 + y 22 y 32, 其中 P = (p 1, p 2, p 3), 若Q = (p 1, p 3, p 2), 则f (x 1, x 2, x 3)在正交变换x = Qy 下的标 准形为__________________________________________________________.
7. 设3阶方阵A 的秩为2, 而且A + A * = E , 其中A *为A 的伴随矩阵, E 为3阶单位矩阵, 则行列式 |3A + E | = __________________________________.
8. 设A =20190626
, B = A T A , 则B 一共有__________________个正特征值.
自 觉 遵 守 考 场
纪 律 如 考 试 作 弊 此
答
卷
无
效
密 封 线 学
号
姓
名
二. (20分)设A =
10
11
, B =
10
10
, C2 2为全体2阶复矩阵关于矩阵的加法和数乘
构成的线性空间. 对于任意的X C2 2, 令f(X) = AXB.
1. 证明: f是C2 2上的线性变换.
2. 给出f在C2 2的基E11, E12, E21, E22下的矩阵M.
3. 分别求f的值域R( f )和核子空间K( f )的基.
4. 问C2 2 = R( f ) K( f )是否成立? 为什么?
三. (12分)已知矩阵A =
2001 030 3024 0003
a
.
1. 根据参数a的值给出A的若当标准形.
2. 若矩阵B的最小多项式与B的特征多项式相等, 并且A与B相似, 求a的取值范
围.
四. (8分)已知欧氏空间R3中 = (1, 1, 0), = (0, 1, 1), = (0, 0, 1), W = L( , ). 求
W
, 使得
0min
W
.
五. (8分) 设V是n维欧氏空间, p, q R, 1, 2是V中两个相互正交的单位向量.
V上的线性变换f定义如下: 对任意的 V, f( ) = + p( , 1) 1 + q( , 2) 2.
若f是V上的正交变换, 求参数p, q的值.
六. (8分) 已知矩阵A =
324
22
423
x
与B =
700
030
00y
相似.
1. 求x, y的值.
2. 求一个正交矩阵Q使得Q T AQ = B.
七. (14分)证明题
1. 设f是线性空间V上的线性变换. 若V的每个子空间都是f的不变子空间, 证明: f
为数乘变换.
2. 已知欧氏空间R n中的向量组 1, 2, …, n 1线性无关, 为R n中的非零向量, 并
且 与 1, 2, …, n 1中的每个向量都正交, 证明 1, 2, …, n 1, 线性无关.
3. 已知A, B都是n阶实矩阵, 其中A为对称矩阵. 若A B T B是正定的, 证明: 行
列式|A B T B| |A|.
4. 对于任意实数a, b, c, 证明: 矩阵A =
10
11
01
a
b
c
有3个互不相同的特征值.。