谢湘君中考专题复习·相似三角形专题
相似三角形性质定理：
(1)相似三角形的对应角相等。
(2)相似三角形的对应边成比例。
(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
(4)相似三角形的周长比等于相似比。
(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。
(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方
(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项
(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.
(9)不必是在同一平面内的三角形里
①相似三角形对应角相等，对应边成比例.
②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.
③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：
推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。
推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。
推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。
推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
E
C D
A
F
B
图
1
一、基础题。
1、如图1，平行四边形ABCD 中，E 是边BC 上的点，AE 交BD 于点F ，如果2
3
BE BC =，
那么BF FD = ．
2、如图2，点1234A A A A ，，，在射线OA 上，点123B B B ，，在射线OB 上，且112233A B A B A B ∥∥，
213243A B A B A B ∥∥．若212A B B △，323A B B △的面积分别为1，4，则图中三个阴影三角形面积之和
为 ．
3、如图，一束光线从y 轴上点A （0，1）发出，经过x 轴上点C 反射后，经过点B （6，2），则光线从A 点到B 点经过的路线的长度为 ．（精确到0.01）
（第2题图）
O A 1
A
2
A 3 A 4 A
B B 1 B 2 B 3 1 4
A B C D
E F
C A
B D O E F 第6题图
4、如图，已知D 、E 分别是ABC ∆的AB 、 AC 边上的点，,DE BC //且1ADE
DBCE S S :=:8,四边形 那么:AE AC 等于（ ）
A ．1 : 9
B ．1 : 3
C ．1 : 8
D ．1 :
2
5、图为❒ABC 与❒DEC 重迭的情形，其中E 在BC 上，AC 交DE 于F 点，且AB // DE 。
若❒ABC 与❒DEC 的面积相等，且EF =9，AB =12，则DF =( )
A.3
B.7
C. 12
D.15
6、如图，DEF △是由ABC △经过位似变换得到的，点O 是位似中心，D E F ，，分别是OA OB OC ，，的中点，则DEF △与ABC △的面积比是（ ）
A ．1:6
B ．1:5
C ．1:4
D ．1:2 B
A C
D
E
7、如图，在Rt △ABC 内有边长分别为,,a b c 的三个正方形，则,,a b c 满足的关系式是（ ）
A 、b a c =+
B 、b ac =
C 、2
2
2
b a
c =+ D 、22b a c ==
8、如图，△ABC 是等边三角形，被一平行于BC 的矩形所截，AB 被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC 的面积的 （ ） Ａ．
91 Ｂ．92 Ｃ．31 Ｄ．94
E
H
F G
C
B
A （（第8题图）
9、下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ）
10、小刚身高1.7m ，测得他站立在阳关下的影子长为0.85m 。
紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那 么小刚举起手臂超出头顶 （ ）
A.0.5m
B.0.55m
C.0.6m
D.2.2m
二、解答题。
1、如图5，在△ABC 中，BC>AC ， 点D 在BC 上，且DC ＝AC,∠ACB 的平分线CF 交AD 于F ，点E 是AB 的中点，连 结EF.
（1）求证：EF ∥BC.
（2）若四边形BDFE 的面积为6，求△ABD 的面积.
（第9题） A ． B ． C ． D ．
2、如图，四边形ABCD 中，AD ＝CD ，∠DAB ＝∠ACB ＝90°，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为F ，DE 与AB 相交于点E. （1）求证：AB ·AF ＝CB ·CD
（2）已知AB ＝15cm ，BC ＝9cm ，P 是射线DE 上的动点.设DP ＝xcm （x ＞0），四边形BCDP 的面积为ycm 2
. ①求y 关于x 的函数关系式；
②当x 为何值时，△PBC 的周长最小，并求出此时y 的值
.
D P
A
E
F C
B
3、如图10，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG,AE 与CG 相交于点M ，CG 与AD 相交于点N ． 求证：（1）CG AE =；
（2）.MN CN DN AN ∙=∙
4、如图，四边形ABCD 和四边形ACED 都是平行四边形，点R 为DE 的中点，BR 分别交AC CD ，于点P Q ，． （1）请写出图中各对相似三角形（相似比为1除外）； （2）求::BP PQ QR ．
第4题图
A B
C
D
E
P
O R
5、如图，□ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F ，CD DE 2
1
=。
⑴求证：△ABF ∽△CEB;
⑵若△DEF 的面积为2，求□ABCD 的面积。
6、如图，在平面直角坐标系中，点(30)C -，，点A B ，分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且满足2
310OB OA -+-=．
（1）求点A ，点B 的坐标．
（2）若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB 运动，连结AP ．设ABP △的面积为S ，点P 的运动时间为t 秒，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量的取值范围． （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使以点A B P ，，为顶点的三角形与AOB △相似？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
第21题图
F
A
D
E
B C
y x
A
O
C B
7、如图，已知△ABC是边长为6cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点都停止运动，设运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t＝2时，判断△BPQ的形状，并说明理由；
（2）设△BPQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）作QR//BA交AC于点R，连结PR，当t为何值时，△APR∽△PRQ？
（第7题）
8、如图10所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：∆ADE∽∆BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y．当x取什么值时，y有最大值?并求出这个最大值．。