专题三 直线、圆、圆锥曲线测试题（文科）解析一、选择题：1．已知圆O 的方程是x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，过点M (3,0)的最短弦所在的直线方程是( )A ．x ＋y －3＝0B ．x －y －3＝0C ．2x －y －6＝0D ．2x ＋y －6＝0 解析 x 2＋y 2－8x －2y ＋10＝0，即(x －4)2＋(y －1)2＝7，圆心O (4,1)，设过点M (3,0)的直线为l ，则k OM ＝1，故k l ＝－1，∴y ＝－1×(x －3)，即x ＋y －3＝0.2．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋7＝0B ．2x ＋y －1＝0C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析 因为直线x －2y ＋3＝0的斜率是12，故所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0. A3．曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的切线为l ，则点P (3,2)到直线l 的距离为( ) A.722 B.922 C.1122 D.91010解析 曲线y ＝2x －x 3在横坐标为－1的点处的纵坐标为－1，故切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k ＝y ′|x ＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l 的方程为y －(－1)＝－1×[x －(－1)]，整理得x ＋y ＋2＝0，由点到直线的距离公式得点P (3,2)到直线l 的距离为|3＋2＋2|12＋12＝722.A4．若曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上相异两点P、Q关于直线kx＋2y－4＝0对称，则k的值为()A．1 B．－1 C.12D．2解析曲线方程可化为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，由题设知直线过圆心，即k×(－1)＋2×3－4＝0，∴k＝2.故选D.5．直线ax－y＋2a＝0(a≥0)与圆x2＋y2＝9的位置关系是() A．相离B．相交C．相切D．不确定解析圆x2＋y2＝9的圆心为(0,0)，半径为3.由点到直线的距离公式d＝|Ax0＋By0＋C|A2＋B2得该圆圆心(0,0)到直线ax－y＋2a＝0的距离d＝2aa2＋(－1)2＝2aa2＋12，由基本不等式可以知道2a≤a2＋12，从而d＝2aa2＋12≤1<r＝3，故直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是相交．B6．设A为圆(x＋1)2＋y2＝4上的动点，P A是圆的切线，且|P A|＝1，则P点的轨迹方程为()A．(x＋1)2＋y2＝25 B．(x＋1)2＋y2＝5C．x2＋(y＋1)2＝25 D．(x－1)2＋y2＝5解析设圆心为O，则O(－1,0)，在Rt△AOP中，|OP|＝|OA|2＋|AP|2＝4＋1＝ 5. B7．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A ．－14B ．－4C ．4 D.14解析双曲线标准方程为：y 2－x 2－1m＝1，由题意得－1m ＝4，∴m ＝－14. 8．点P 是双曲线x 24－y 2＝1的右支上一点，M 、N 分别是(x ＋5)2＋y 2＝1和(x －5)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析如图，当点P 、M 、N 在如图所示的位置时，|PM |－|PN |可取得最大值，注意到两圆圆心分别为双曲线两焦点，故|PM |－|PN |＝(|PF 1|＋|F 1M |)－(|PF 2|－|F 2N |)＝|PF 1|－|PF 2|＋|F 1M |＋|F 2N |＝2a ＋2R ＝6.C9．已知F 1、F 2是两个定点，点P 是以F 1和F 2为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，并且PF 1⊥PF 2，e 1和e 2分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则( )A.1e 21＋1e 22＝4 B ．e 21＋e 22＝4C.1e 21＋1e 22＝2 D ．e 21＋e 22＝2解析 设椭圆的长半轴长为a ，双曲线的实半轴长为m ，则⎩⎪⎨⎪⎧ |PF 1|＋|PF 2|＝2a ①||PF 1|－|PF 2||＝2m ②).①2＋②2得2(|PF 1|2＋|PF 2|2)＝4a 2＋4m 2，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2，代入上式得4c 2＝2a 2＋2m 2，两边同除以2c 2，得2＝1e 21＋1e 22，故选C. 10．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( ) A. 3 B.2 C.52 D.22解析 两条渐近线y ＝±b a x 互相垂直，则－b 2a2＝－1，则b 2＝a 2，双曲线的离心率为e ＝c a ＝2a 2a ＝2，选B.11．若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为( )A. 2B.3C. 5 D ．2解析 焦点到渐近线的距离等于实轴长，可得b ＝2a ，e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝5，所以e ＝ 5.C12．已知点F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若△ABF 2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，3)B ．(3，22)C ．(1＋2，＋∞)D ．(1,1＋2)解析 依题意得，0<∠AF 2F 1<π4，故0<tan ∠AF 2F 1<1，则b 2a 2c ＝c 2－a 22ac <1，即e －1e <2，e 2－2e －1<0，(e －1)2<2，所以1<e <1＋2，选D.二、填空题：13．设F 1、F 2分别是椭圆x 225＋y 216＝1的左、右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为(6,4)，则|PM |＋|PF 1|的最大值为________． 解析 由椭圆定义|PM |＋|PF 1|＝|PM |＋2×5－|PF 2|，而|PM |－|PF 2|≤|MF 2|＝5，所以|PM |＋|PF 1|≤2×5＋5＝15.14．已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且一条渐近线为直线3x ＋y ＝0，则该双曲线的离心率等于________．解析 设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则b a ＝3，b 2a 2＝3，c 2－a 2a 2＝3，∴e ＝c a ＝2.15．双曲线x 23－y 26＝1的右焦点到渐近线的距离是________．解析 双曲线右焦点为(3,0)，渐近线方程为：y ＝±2x ，则由点到直线的距离公式可得距离为 6.16．设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，经过点P (1,4)的直线l 与抛物线相交于A 、B 两点，且点P 恰为AB 的中点，则|AF →|＋|BF →|＝________. 解析 ∵x 2＝4y ，∴p ＝2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝8.∵|AF →|＝y 1＋p 2，|BF →|＝y 2＋p 2，∴|AF →|＋|BF →|＝y 1＋y 2＋p ＝8＋2＝10.三、解答题：17．(本小题满分12分)设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，点P 在椭圆上且异于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)若直线AP 与BP 的斜率之积为－12，求椭圆的离心率；(2)若|AP |＝|OA |，证明直线OP 的斜率k 满足|k |> 3.解 (1)设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由题意，有x 20a 2＋y 20b 2＝1.①由A (－a,0)，B (a,0)，得k AP ＝y 0x 0＋a ，k BP ＝y 0x 0－a.由k AP ·k BP ＝－12，可得x 20＝a 2－2y 20，代入①并整理得(a 2－2b 2)y 20＝0.由于y 0≠0，故a 2＝2b 2.于是e 2＝a 2－b 2a 2＝12，所以椭圆的离心率e ＝22. (2)(方法一)依题意，直线OP 的方程为y＝kx ，设点P 的坐标为(x 0，y 0)．由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝kx 0，x 20a 2＋y 20b 2＝1.消去y 0并整理得x 20＝a 2b 2ka 2＋b 2.②由|AP |＝|OA |，A (－a,0)及y 0＝kx 0，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2.整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0.而x 0≠0，于是x 0＝－2a1＋k 2，代入②，整理得(1＋k 2)2＝4k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋4.由a >b >0，故(1＋k 2)2>4k 2＋4，即k 2＋1>4，因此k 2>3，所以|k |> 3. (方法二)依题意，直线OP 的方程为y ＝kx ，可设点P的坐标为(x 0，kx 0)．由点P 在椭圆上，有x 20a 2＋k 2x 20b 2＝1.因为a >b >0，kx 0≠0，所以x 20a 2＋k 2x 20a 2<1，即(1＋k 2)x 20<a 2.③由|AP |＝|OA |，A (－a,0)，得(x 0＋a )2＋k 2x 20＝a 2，整理得(1＋k 2)x 20＋2ax 0＝0，于是x 0＝－2a1＋k 2.代入③， 得(1＋k 2)4a 2(1＋k 2)2<a 2，解得k 2>3，所以|k |> 3. 18．(本小题满分12分)如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．解 (1)设A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A的方程为y ＝y 1x 1＋a (x ＋a )，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )，②由①②相乘得 y 2＝－y 21x 21－a (x 2－a 2)．③ 由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，故x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)． (2)设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2.从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．19．(本小题满分12分)设λ>0，点A 的坐标为(1,1)，点B 在抛物线y＝x 2上运动，点Q 满足BQ →＝λQA →，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM →＝λMP →，求点P 的轨迹方程．解 由QM →＝λMP →知Q ，M ，P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设P (x ，y )，Q (x ，y 0)，M (x ，x 2)，则x 2－y 0＝λ(y －x 2)，即y 0＝(1＋λ)x 2－λy .①再设B (x 1，y 1)，由BQ →＝λQA →，即(x －x 1，y 0－y 1)＝λ(1－x,1－y 0)，解得⎩⎨⎧ x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)y 0－λ.②将①式代入②式，消去y 0，得⎩⎨⎧ x 1＝(1＋λ)x －λ，y 1＝(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ.③又点B 在抛物线y ＝x 2上，所以y 1＝x 21，再将③式代入y 1＝x 21，得(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝[(1＋λ)x －λ]2.(1＋λ)2x 2－λ(1＋λ)y －λ＝(1＋λ)2x 2－2λ(1＋λ)x ＋λ2.2λ(1＋λ)x －λ(1＋λ)y －λ(1＋λ)＝0. 因λ>0，两边同除以λ(1＋λ)，得2x －y －1＝0.故所求点P 的轨迹方程为y ＝2x －1.20．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，点P (a ，b )(a >b >0)为动点，F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点．已知△F 1PF 2为等腰三角形． (1)求椭圆的离心率e .(2)设直线PF 2与椭圆相交于A ，B 两点，M 是直线PF 2上的点，满足AM →·BM →＝－2，求点M 的轨迹方程．解 (1)设F 1(－c,0)，F 2(c,0)(c >0)，由题意，可得|PF 2|＝|F 1F 2|， 即(a －c )2＋b 2＝2c ，整理得2⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋c a －1＝0，得c a ＝－1(舍)或c a ＝12，所以e ＝12.(2)由(1)知a ＝2c ，b ＝3c ，可得椭圆方程为3x 2＋4y 2＝12c 2.直线PF 2方程为y ＝3(x －c )．A ，B 两点的坐标满足方程组⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12c 2，y ＝3(x －c ).消去y 并整理，得5x 2－8cx ＝0，解得x 1＝0，x 2＝85c ，得方程组的解⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝－3c ，⎩⎨⎧ x 2＝85c ，y 2＝335c .不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，335c ， B (0，－3c )．设点M 的坐标为(x ，y )，则AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －85c ，y －335c ，BM →＝(x ，y ＋3c )．由y ＝3(x －c )，得c ＝x －33y ，于是AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ，85y －335x ，BM →＝(x ，3x )，由AM →·BM →＝－2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫8315y －35x ·x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫85y －335x ·3x ＝－2，化简得18x 2－163xy －15＝0.将y ＝18x 2－15163x 代入c ＝x －33y ，得c ＝10x 2＋516x >0，所以x >0.因此，点M 的轨迹方程是18x 2－163xy －15＝0(x >0)．21．(本小题满分12分)已知动直线l 与椭圆C ：x 23＋y 22＝1交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两不同点，且△OPQ 的面积S △OPQ ＝62，其中O 为坐标原点．(1)证明x 21＋x 22和y 21＋y 22均为定值；(2)设线段PQ 的中点为M ，求|OM |·|PQ |的最大值；(3)椭圆C 上是否存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG＝62？若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由． 解 (1)证明：1)当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称．所以x 2＝x 1，y 2＝－y 1，因为P (x 1，y 1)在椭圆上，因此x 213＋y 212＝1.① 又因为S △OPQ ＝62.所以|x 1|·|y 1|＝62.②由①②得|x 1|＝62，|y 1|＝1，此时x 21＋x 22＝3，y 21＋y 22＝2.2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m .由题意知m ≠0，将其代入x 23＋y 22＝1得(2＋3k 2)x 2＋6kmx ＋3(m 2－2)＝0.其中Δ＝36k 2m 2－12(2＋3k 2)(m 2－2)>0. 即3k 2＋2>m 2.(*)又x 1＋x 2＝－6km2＋3k 2，x 1x 2＝3(m 2－2)2＋3k 2.所以|PQ |＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k2.因为点O 到直线l 的距离为d ＝|m |1＋k2.所以S△OPQ＝12|PQ |·d ＝121＋k 2·263k 2＋2－m 22＋3k 2·|m |1＋k 2＝6|m |3k 2＋2－m 22＋3k 2又S △OPQ＝62. 整理得3k 2＋2＝2m 2，且符合(*)式．此时，x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－6km 2＋3k 22－2×3(m 2－2)2＋3k 2＝3.y 21＋y 22＝23(3－x 21)＋23(3－x 22)＝4－23(x 21＋x 22)＝2.综上所述，x 21＋x 22＝3；y 21＋y 22＝2，结论成立．(2)解法一： 1)当直线l 的斜率不存在时．由(1)知|OM |＝|x 1|＝62.|PQ |＝2|y 1|＝2.因此|OM |·|PQ |＝62×2＝ 6. 2)当直线l 的斜率存在时，由(1)知：x 1＋x 22＝－3k 2m .y 1＋y 22＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 22＋m ＝－3k 22m ＋m ＝－3k 2＋2m 22m ＝1m . |OM |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 222＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫y 1＋y 222＝9k 24m 2＋1m 2＝6m 2－24m 2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2. |PQ |2＝(1＋k 2)24(3k 2＋2－m 2)(2＋3k 2)2＝2(2m 2＋1)m 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2. 所以|OM |2·|PQ |2＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋1m 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫3－1m 2＋2＋1m 222＝254.所以|OM |·|PQ |≤52，当且仅当3－1m 2＝2＋1m 2，即m ＝±2时，等号成立．综合1)2)得|OM |·|PQ |的最大值为52.解法二：因为4|OM |2＋|PQ |2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＋(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2[(x 21＋x 22)－(y 21＋y 22)]＝10.所以2|OM |·|PQ |≤4|OM |2＋|PQ |22＝102＝5.即|OM |·|PQ |≤52，当且仅当2|OM |＝|PQ |＝5时等号成立．因此|OM |·|PQ |的最大值为52.(3)椭圆C 上不存在三点D ，E ，G ，使得S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62.证明：假设存在D (u ，v )，E (x 1，y 1)，O (x 2，y 2)满足S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62，由(1)得u 2＋x 21＝3，u 2＋x 22＝3，x 21＋x 22＝3，v2＋y 21＝2，v 2＋y 22＝2，y 21＋y 22＝2，解得：u 2＝x 21＝x 22＝32，v 2＝y 21＝y 22＝1.因此，u ，x 1，x 2只能从±62中选取，v ，y 1，y 2只能从±1中选取，因此D 、E 、G 只能在⎝ ⎛⎭⎪⎫±62，±1这四点中选取三个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点．与S △ODE ＝S △ODG ＝S △OEG ＝62矛盾．所以椭圆C 上不存在满足条件的三点D ，E ，G .22．(本小题满分12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，已知点(1，e )和⎝⎛⎭⎪⎫e ，32都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于点P .(i)若AF 1－BF 2＝62，求直线AF 1的斜率； (ii)求证：PF 1＋PF 2是定值． 解(1)由题设知a 2＝b 2＋c 2，e ＝ca .由点(1，e )在椭圆上，得1a 2＋c 2a 2b 2＝1，解得b 2＝1，于是c 2＝a 2－1，又点⎝⎛⎭⎪⎫e ，32在椭圆上，所以e 2a 2＋34b 2＝1，即a 2－1a 4＋34＝1，解得a 2＝2.因此，所求椭圆的方程是x 22＋y 2＝1. (2)由(1)知F 1(－1,0)，F 2(1,0)，又直线AF 1与BF 2平行，所以可设直线AF 1的方程为x ＋1＝my ，直线BF 2的方程为x －1＝my .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，y 1>0，y 2>0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 212＋y 21＝1x 1＋1＝my 1得(m 2＋2)y 21－2my 1－1＝0，解得y 1＝m ＋2m 2＋2m 2＋2，故AF 1＝(x 1＋1)2＋(y 1－0)2＝(my 1)2＋y 21＝2(m 2＋1)＋mm 2＋1m 2＋2.①同理，BF 2＝2(m 2＋1)－m m 2＋1m 2＋2.② (i)由①②得AF 1－BF 2＝2m m 2＋1m 2＋2，解2m m 2＋1m 2＋2＝62得m 2＝2，注意到m >0，故m ＝ 2.所以直线AF 1的斜率为1m ＝22.(ii)因为直线AF 1与BF 2平行，所以PB PF 1＝BF 2AF 1，于是PB ＋PF 1PF 1＝BF 2＋AF 1AF 1，故PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2BF 1.由B 点在椭圆上知BF 1＋BF 2＝22，从而PF 1＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)．同理PF 2＝BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)．因此，PF 1＋PF 2＝AF 1AF 1＋BF 2(22－BF 2)＋BF 2AF 1＋BF 2(22－AF 1)＝22－2AF 1·BF 2AF 1＋BF 2.又由①②知AF 1＋BF 2＝22(m 2＋1)m 2＋2，AF 1·BF 2＝m 2＋1m 2＋2. 所以PF 1＋PF 2＝22－22＝322.因此，PF 1＋PF 2是定值．。