几何综合
1.（28延庆一模27）如图1，正方形ABCD 中，点E 是BC 延长线上一点，连接DE ，过点B
作BF ⊥DE 于点F ，连接FC ．
（1）求证：∠FBC =∠CDF ．
（2）作点C 关于直线DE 的对称点G ，连接CG ，FG ．
①依据题意补全图形；②用等式表示线段DF ，BF ，CG 之间的数量关系并加以证明． 图1 备用图
2. （18石景山一模27）在正方形ABCD 中，M 是BC 边上一点，点P 在射线AM 上，将线
段AP 绕点A 顺时针旋转90°得到线段AQ ，连接BP ，DQ ．
（1）依题意补全图1；
（2）①连接DP ，若点P ，Q ，D 恰好在同一条直线上，求证：2222DP DQ AB +=； ②若点P ，Q ，C 恰好在同一条直线上，则BP 与AB 的数量关系为： ．
图1 备用图
3.（18西城一模27）正方形ABCD 的边长为2，将射线AB 绕点A 顺时针旋转α，所得射线与
线段BD 交于点M ，作CE AM ⊥于点E ，点N 与点M 关于直线CE 对称，连接CN ． （1）如图1，当045α︒<<︒时，①依题意补全图1．
②用等式表示NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系：__________．
（2）当4590α︒<<︒时，探究NCE ∠与BAM ∠之间的数量关系并加以证明．
（3）当090α︒<<︒时，若边AD 的中点为F ，直接写出线段EF 长的最大值．
4.（18平谷一模27）在△ABC 中，AB=AC ，CD ⊥BC 于点C ，交∠ABC 的平分线于点D ，AE
平分∠BAC 交BD 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AC 于点F ，连接DF ．（1）补全图1；
（2）如图1，当∠BAC =90°时，
①求证：BE=DE ；②写出判断DF 与AB 的位置关系的思路（不用写出证明过程）；
（3）如图2，当∠BAC=α时，直接写出α，DF ，AE 的关系．
5.（18房山一模27）如图，已知Rt △ABC 中，∠C =90°，∠BAC =30°，点D 为边BC 上的点，
连接AD ，∠BAD =α，点D 关于AB 的对称点为E ，点E 关于AC 的对称点为G ，线段EG 交AB 于点F ，连接AE ，DE ，DG ，AG .
（1）依题意补全图形；（2）求∠AGE 的度数（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段EG 与EF ，AF 之间的数量关系，并说明理由.
6.（18怀柔一模27）如图，在△ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，点D 是BC 上任意一点，将线
段AD 绕点A 逆时针方向旋转90°，得到线段AE ，连结EC.
（1）依题意补全图形；（2）求∠ECD 的度数；
B 图2 图1 B
αA
（3）若∠CAE=7.5°，AD=1，将射线DA 绕点D 顺时针旋转60°交EC 的延长线于点F ，请写出求AF 长的思路．
7.（18海淀一模27）如图，已知60AOB ∠=︒，点P 为射线OA 上的一个动点，过点P 作PE OB ⊥，
交OB 于点E ，点D 在AOB ∠内，且满足DPA OPE ∠=∠，6DP PE +=.
（1）当DP PE =时，求DE 的长；
（2）在点P 的运动过程中，请判断是否存在一个定点M ，使得DM ME
的值不变？并证明你的判断.
8.（18朝阳一模27）如图，在菱形ABCD 中，∠DAB =60°，点E 为AB 边上一动点（与点A ，
B 不重合），连接CE ，将∠ACE 的两边所在射线CE ，CA 以点
C 为中心，顺时针旋转120°，分别交射线A
D 于点F ，G.
（1）依题意补全图形；
（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）；
（3）用等式表示线段AE 、AF 与CG 之间的数量关系，并证明．
9.（18东城一模27）已知△ABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，且AD =AB ， 过点C 作AD 的
垂线，交 AD 的延长线于点H ．
（1）如图1，若60BAC =︒∠
①直接写出B ∠和ACB ∠的度数； ②若AB =2，求AC 和AH 的长；
（2）如图2，用等式表示线段AH 与AB +AC 之间的数量关系，并证明．
10.（18丰台一模27）如图，Rt △ABC 中，∠ACB = 90°，CA = CB ，过点C 在△ABC 外作射
线CE ，且∠BCE = α，点B 关于CE 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，CD ，其中AD ，BD 分别交射线CE 于点M ，N .
（1）依题意补全图形；（2）当α= 30°时，直接写出∠CMA 的度数；
（3）当0°<α< 45°时，用等式表示线段AM ，CN 之间的数量关系，并证明．
11.（18门头沟一模27）如图，在△ABC 中，AB =AC ，2A α∠=，
点D 是BC 的中点，DE AB E ⊥于点，DF AC F ⊥于点.
（1）EDB ∠=_________°；（用含α的式子表示）
（2）作射线DM 与边AB 交于点M ，射线DM 绕点D 顺时针旋转1802α︒-，与AC 边交于点N ．
①根据条件补全图形；
②写出DM 与DN 的数量关系并证明；
③用等式表示线段BM CN 、与BC 之间的数量关系，（用含α的锐角三角函数表示）并写出解题思路.
12.（18大兴一模27）如图，在等腰直角△ABC 中，∠CAB=90°，F 是AB 边上一点，作射
线CF ，过点B 作BG ⊥C F 于点G ，连接AG ．
（1）求证：∠ABG =∠ACF ；
（2）用等式表示线段CG ，AG ，BG 之间的等量关系，并证明．
13.（18顺义一模27）如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 边上一点，连接AE ，延长CB 至
点F ，使BF=BE ，过点F 作FH ⊥AE 于点H ，射线FH 分别交AB 、CD 于点M 、N ，交对角线AC 于点P ，连接AF ．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：∠F AC =∠APF ；
（3）判断线段FM 与PN 的数量关系，并加以证明．
14.（18通州一模27）如图，直线l 是线段MN 的垂直平分线，交线段MN 于点O ，在MN 下
方的直线l 上取点P ，连接PN .以线段PN 为边，在PN 上方作正方形NPAB .射线MA 交直线l 于点C ，连接BC .
（1）设=ONP α∠，求AMN ∠的度数；
（2）写出线段AM ，BC 之间的等量关系，并证明.
15.（18燕山一模28）在Rt △ABC 中, ∠ACB =90°,CD 是AB
边的中线，DE ⊥BC 于E , 连结CD ，点P 在射线CB 上（与
B ，
C 不重合）．
（1）如果∠A =30°
①如图1，∠DCB = °
②如图2，点P 在线段CB 上，连结DP ，将线段DP
绕点D 逆时针旋转60°，得到线段DF ,连结BF ，补全图2猜想CP 、BF 之间的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图3，若点P 在线段CB 的延长线上，且∠A =α（0°<α<90°），连结DP , 将线段DP 绕点逆时针旋转α2得到线段DF ，连结BF ，请直接写出DE 、BF 、BP 三者的数量关系（不需证明）．。