y
Y = x3
(1,1)
f(-1)= - f(1) x
(-1,-1)
由于(-X)3= - X3，所以 f(-x)= -f(x)
奇函数
一般地，对于函数 的定义域内的任意一个x， 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 ，都有 的定义域内的任意一个 f(－x)= －f(x)，那么 － 就叫做奇函数 ，那么f(x)就叫做奇函数． 就叫做奇函数． 奇函数的图像关于原点对称． 奇函数的图像关于原点对称．
14、如果奇函数f(x)在[2，5]上是减函数，且最小值是-5， 那么f(x)在[-5,-2]上的最大值为______
课堂练习４
定义在[−2， 上ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ偶函数f(x) 2]
在区间[0,2]上是减函数，
若f(1-m)<f(m), 求实数m的取值范围
是偶函数， 例3、已知函数 、已知函数y=f(x)是偶函数，它在 轴右边的图 是偶函数 它在y轴右边的图 象如下图，画出在y轴左边的图象 轴左边的图象. 象如下图，画出在 轴左边的图象 解：画法略 y
相等 0 x
y 相等 0 x
本课小结
1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(－x)=-f(x) － 如果都有f(－x)=f(x) － 2、两个性质： 为奇函数 ⇔ f(x)为奇函数 为偶函数 ⇔ f(x)为偶函数
知识点二
奇偶函数图象的性质
1、奇函数的图象关于原点对称 奇函数的图象关于原点对称. 奇函数的图象关于原点对称 反过来， 反过来，如果一个函数的图象关于原 点对称，那么就称这个函数为奇函数. 点对称，那么就称这个函数为奇函数. 2、偶函数的图象关于 轴对称 偶函数的图象关于y轴对称 偶函数的图象关于 轴对称. 反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称 轴对称， 反过来，如果一个函数的图象关于 轴对称， 那么就称这个函数为偶函数. 那么就称这个函数为偶函数
课本练习
课堂练习１
判断下列函数的奇偶性： 判断下列函数的奇偶性：
1 (1) f ( x) = x − 奇函数 x (3) f ( x) = 5 偶函数 (5) f ( x) = x +1
非奇非偶函数
(2) f ( x) = −x +1 偶函数
2
(4) f ( x) = 0
2
既是奇函数 又是偶函数
⇔ 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 ⇔ 它的图象关于y轴对称
一个函数为奇函数
例１：判断下列函数的奇偶性：
(1 ) (3) f (x) = x
4
(2) (4)
f (x) = x5 1 f (x) = x2
1 f (x) = x + x
(1)解：定义域为R ∵ f(-x)=(-x)4=f(x) 即f(-x)=f(x) ∴f(x)偶函数
1.3.2函数的奇偶性 函数的奇偶性
y
0
x
L1
C1 o
B2 A2
M （1） ） L2 A
N A1 B1 （2） ） L3 o C2
B
D （3） ）
C
P1
Q1
P2
Q2
（4） ）
自学提纲
1 什么是奇函数? 2 什么是偶函数? 3 奇函数,偶函数的图像各有什么 样的对称性质?
y (-2,4)
Y = x2 (2,4) f(-1)=f(1) f(-2)=f(2)
(-1,1)
(1,1) x
由于(-X)2 = X2 ，所以 f(-x)=f(x) 由于
函数的奇偶
y=|x| f(-2)=f(2)
由于|-X| =| X| ，所以 f(-x)=f(x) 由于
正式 上课
知识点一
偶函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个 ，都有 一般地，对于函数 的定义域内的任意一个x， 的定义域内的任意一个 f(－x)=f(x)，那么 就叫做偶函数。 － 就叫做偶函数 ，那么f(x)就叫做偶函数。 偶函数的图像关于y轴对称轴对称． 偶函数的图像关于y轴对称轴对称．
注意：
１.对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一 对于定义域内的任意一个 ， 也一定是定义域内的一 个自变量（即定义域关于原点对称） 个自变量（即定义域关于原点对称）． ２.奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 奇 偶函数定义的逆命题也成立， 为奇函数， 有成立. 若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立 为奇函数 有成立 为偶函数， 有成立. 若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立 为偶函数 有成立 3.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性， 3.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 的奇偶性是函数的整体性质； 的奇偶性是函数的整体性质； 4.如果一个函数 是奇函数或偶函数， 4.如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就 如果一个函数 是奇函数或偶函数 说函数f(x)具有奇偶性 具有奇偶性. 说函数 具有奇偶性
(6) f ( x) = x , x ∈[−1,3]
非奇非偶函数
课堂练习２
判断函数的奇偶性 1+ x (1)f(x)=(x-1) 1− x 1− x (2) f ( x) = x+2 x−2
2
用定义判断函数奇偶性的步骤
①先求定义域，看是否关于原点称；
②再判断f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是否恒成立;
(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)
即f(-x)=-f(x) ∴f(x)奇函数 (3)解：定义域为{x|x≠0} (4)解：定义域为{x|x≠0} ∵ f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x) ∵ f(-x)=1/(-x)2=f(x) 即f(-x)=-f(x) 即f(-x)=f(x) ∴f(x)奇函数 ∴f(x)偶函数