Cii 测量i
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对不同力学量的测量得到 不同的坍缩结果，算符理 论要回答不同的测量和不 同的测量结果之间的联系！
推荐一本书：《寻找薛定谔的猫》 作者： （美）格里宾 翻译：张广才
三、算符的运算规则及一般特性
（1）线性算符：若算符Ô 满足：
Ô (c1ψ1+c2ψ2)= c1Ô ψ1+c2Ô ψ2
2
eip•r
/
dp
r,t Ci (t)r;Ci i ,
i
4、线性：波函数的特性与态叠加原理保证
C , c11 c2 2
若存在一个映射A将一个量子态映射为另一个量子态
A '
' Aˆ
算符
算符代表对波函数进行某种运算或操作！
如何理解算符是一种操作？可结合态叠加原理与测量 消相干来理解：
其中c1, c2是任意复常数，
例如：
ψ1, ψ1是任意两个波函数。
动量算符 pˆ i 单位算符 Iˆ 是线性算符。
开方算符、取复共轭就不是线性算符。 可观测量的算符都是线性算符，这是态叠加原理的要求。
（2）算符相等
若两个算符Ô 、Û 对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ô ψ= Û ψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û 。
(rˆ,
pˆ ,
t
)
二、希尔伯特(Hilbert)空间及算符
定义在某数域上的完备的线性内积空间。 1、矢量：一个给定的量子体系，其所有的量子态。 2、矢量的乘法：内积
任意两个矢量ψ1和ψ2，其内积定义为：
1, 2 1 * 2d C
复数域
3、完备性：态叠加原理保证
r,t
C
p,
t
1
23/
ix
x
pˆxx (ix)x i ixx
xpˆ x pˆ x x i
x, pˆ x i
（6）算符的逆 定义: 设Ô ψ=φ,线性算符Ô 和态φ已知，若能够唯 一的解出ψ,则可定义算符Ô 之逆为Ô -1，且满足: Ô -1φ=ψ
性质 I: 若算符Ô 之逆Ô -1存在,则：
Ô Ô -1=Ô -1Ô =I, [Ô ,Ô -1]=0
pˆ* (i)* i pˆ
（9）转置算符(算符的转置)
算符Û的转置定义为：*U~源自d Uˆ *d可以证明：~ pˆ x pˆ x
Cˆ Aˆ Bˆ C~ˆ B~ˆ A~ˆ
(10)厄密共轭算符(算符的厄密共轭) 算符Ô 之厄密共轭算符Ô +定义为:
*Oˆ d Oˆ *d
可以证明： ~
性质 II: 若Ô ,Û均存在逆算符, 则：
(Ô Û)-1 = Û-1Ô -1
（7）算符的函数
根据算符的加法乘法和逆，可以定义算符的函数。 设给定一函数F(x), 其各阶导数均存在, 其泰勒 级数展开是收敛的，则可定义算符Û的函数：
F (Uˆ ) F n0Uˆ n n0 n!
（8）算符的复共轭(复共轭算符) 算符Û的复共轭算符Û*就是把Û表达式中的所有 量换成复共轭.
德布洛意物质波假设，量子态的引入 量子态的数学表述：波函数与薛定谔方程
量子态力学量的数学表述：算符
重点掌握内容
一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）； 两个假设： 力学量用算符表示，态用本征态的叠加表示；
力学量算符的本征值为力学量的可能观测值 三个力学量取值：确定值、可能值、平均值； 四个力学量算符的本征态及本征值：坐标算符，动量
Oˆ Oˆ *
Aˆ Bˆ Bˆ Aˆ
(11) 厄密算符
若一线性算符的厄密共轭等于它本身，则为厄密算符。 性质1：两厄密算符之和仍为厄密算符 性质2：两厄密算符之积一般不是厄密算符，除非两算
符对易
可观测量的算符是厄密算符
§3.2 力学量用算符表示
一、可观测量算符--厄密算符的性质 二、力学量的期望值 三、力学量的可能取值(观测值) 四、力学量可能取值的几率分布 五、表示力学量算符必须满足的条件
r,t
C
p,
t
1
2
3
/
2
e ip •r
/
dp
C
p,
t
r,t
1
2
3/2
e ip •r
/
dr
表象理论，第5章内容 波函数是否存在多种表述
p
*
x,
t
i
x
x,
t
dx
x *x,tx x,tdx
其它力学量
Pˆx
i
x
;
xˆ
x
Fˆ ?
算符引入的规则：
F
F
(r ,
p,
t)
Fˆ
F
算符，角动量算符及能量算符 一个关系：力学量算符间的对易关系（特别是坐标
算符与动量算符的对易关系，角动量算符 对易关系） 三个定理: 共同本征态定理（包括逆定理） 不确定关系 力学量守恒定理
§3.1 算符及其运算规则
一、算符的引入 二、希尔伯特空间及算符 三、算符的运算规则及一般特性
一、算符的引入
♠、算符之积不一定满足交换率。满足交换律称之为两算 符对易(相容)，反之则为不对易(不相容)。
（5）对易关系
为了表述简洁、运算便利、可以定义算符的对易子： [Ô ,Û]≡Ô Û-ÛÔ ，两算符对易子为0则两算符是对易的， 否则为不对易，比如：
例如：算符
x
pˆ
x
i
x
不对易。
xpˆx
x(i
x
)
（3）算符之和
若两个线性算符Ô 和Û 对体系的任何波函数ψ有： Ô ψ+Û ψ=Êψ
则Ô +Û =Ê；算符Ê称为Ô 和Û 算符之和。
♠、算符求和满足交换率和结合率。 ♠、并不需要定义算符的减法，算符的数乘和加法 可以代替减法运算
Ô -Û =Ô +(-Û )
（4）算符之积
若任意两线性算符Ô 和Û 满足：Ô (Û ψ)=Êψ 则Ô Û =Ê ,即Ê为Ô 和Û 之积，其中ψ是任意波函数。
第三章 量子力学原理(II) 力学量算符
§3.1 算符及其运算规则 §3.2 力学量用算符表示 §3.3 几个基本的力学量算符 §3.4 量子条件 §3.5 不确定原理 §3.6 体系的守恒量
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引言
1、经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角 动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论 的方式描述。
2、量子论并不认为力学量一定有确定取值，对状态 的描述引入了波函数ψ这样一个基本概念，以概率的 特征全面地描述了微观粒子的运动状态。
3、为描述量子态的力学量信息，又引入了一个重要 的基本概念——算符。
这部分是量子力学的重要基础理论之一，也是我 们学习中的重点。
与前面内容的关系：
物质微粒说的形成：原子分子论 原子的内部结构：散射实验与卢瑟福核式结构 原子结构的理论解释：玻尔原子模型 早期量子化假说的回顾，波尔模型的局限性