第三章算符与力学量算符3、1 算符概述设某种运算把函数u变为函数v,用算符表示为:(3、1-1)称为算符。
u与v中得变量可能相同,也可能不同。
例如,,,,,,则,x,,,都就是算符。
1.算符得一般运算(1)算符得相等:对于任意函数u,若,则。
(2)算符得相加:对于任意函数u,若,则。
算符得相加满足交换律。
(3)算符得相乘:对于任意函数u,若,则。
算符得相乘一般不满足交换律。
如果,则称与对易。
2.几种特殊算符(1)单位算符对于任意涵数u,若u=u,则称为单位算符。
与1就是等价得。
(2)线性算符对于任意函数u与v,若,则称为反线性算符。
(3)逆算符对于任意函数u,若则称与互为逆算符。
即,。
并非所有得算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程:,其中为与函数构成得线性算符,a为常数。
其解u可表示为对应齐次方程得通解u。
与非齐次方程得特解之与,即。
因,所以不存在使。
一般说来,在特解中应允许含有对应齐次方程得通解成分,但如果当a=0时,=0,则中将不含对应齐次方程得通解成分,这时存在使,从而由得:。
从上述分析可知,就是否存在逆算符还与算符所作用得函数有关。
(4)转置算符令,则称与得转置算符,就是一个向左作用得算符。
若算符表示一般函数(或常数),由于函数得左乘等于右乘,所以函数得转置就等于它本身。
定义波函数与得标积为:(3、1-2)与得标积以及与得标积为:若上两式中得与都就是任意波函数,则称上两式中得与为任意标积中得算符。
下面考虑在任意标积中得性质。
波函数与在无限远点也应满足连续性条件:[可都等于零],,所以得:可见在任意标积中,。
(5)转置共轭算符(也称为厄密共轭算符)与厄密算符转置共轭算符通常也就是向左作用得算符,同时算符本身要取共轭。
以标记得转置共轭算符,则若在任意标积中,,则称为厄密算符。
即厄密算符得定义为:或写为(3、1-3)可以证明,位置算符与动量算符都就是厄密算符。
因x就是实数,而,所以。
在任意标积中,因,所以。
也可以直接从定义式(3、1-3)出发,来证明就是厄密算符。
,所以就是厄密算符。
(6)幺正算符若在任意标积中,,则称为幺正算符。
设,若为厄密算符,则必为幺正算符。
(7)算符得函数设函数F(A)得各阶导数都存在,则定义算符得函数F()为:(3、1-4)其中表示n个得乘幂,即。
例如3、2 算符得对易关系定义算符得泊松(Poisson)括号为:(3、2-1)一般说来,例如,这样得关系或称为对易关系式。
就是对易关系式中得特例,这时,称与就是对易得。
1.量子力学中基本对易关系在位置表象中,,即,此式对任意得都成立,所以得:在动量表象中,即,此式对任意得都成立,所以得:可见在位置表象中与动量表象中都得:(3、2-2)如果两个算符所含得独立变量不同,则这两个算符就是对易得。
例如,在位置表象中,所含得变量就是y,而所含得变量就是x,所以=0。
又如,在有心力场中,U(x)所含得变量就是r,而所含得变量就是,所以。
此外,相同得算符一定对易。
以表示x,y,z,以表示,则应有:(3、2-3)(3、2-4)(3、2-4)式就就是量子力学中得基本对易关系式。
2.线性算符泊松括号得性质根据量子泊松括号得定义式以及线性算符得定义式不难证明下关系式:(其证明供练习)(3、2-5)C为常数(3、2-6)C为常数(3、2-7)(3、2-8)(3、2-9)(3、2-10)3.其她对易关系(1)角动量算符与位置算符之间得对易关系同理可得:,……,各对易关系可合写为:采用爱因斯坦记号,则上式可写为:(3、2-11)其中称为勒维——奇维塔(Levi-Civita)符号。
=1,对所有角标都就是反对称得,即交换任意两个角标,其值反号,例如,,。
若中有两个角标相同,则其值为零。
具有以下数学性质:(3、2-12)(3、2-13)上式中将改写为称为将反对称化,之所以能将反对称化就是由于对角标i,j反对称之故。
(2)角动量算符与动量算符之间得对易关系(3、2-14)(3)角动量算符得对易关系(3、2-15)上式中三个不为零得对易关系式还可以写成下面得关系式:(3、2-16)若令,则可得:(3、2-17)(3、2-18)(4)算符得函数之间得对易关系(3、2-19)(3、2-20)必须注意,若,则。
3、3 线性厄密算符与力学量算符1.厄密算符得性质(1)对易得厄密算符得乘积也就是厄密算符。
设与就是对易得厄密算符,利用(3、1-3)式可得:****ˆˆˆˆˆˆˆˆ()()()FG d F G d GF d FG d ϕφτφφτφφτϕτ∞∞∞∞===⎰⎰⎰⎰ 所以也就是厄密算符。
(2)厄密算符得本征值必为实数。
设为厄密算符,其本征方程为:,则根据(3、1-3)式得:则因,则得F=F*,所以F 为实数。
(3)厄密算符属于不同本征值得本征函数就是正交得。
设,为厄密算符分别对应本征值,得本征函数,则即当时得:上式称为正交关系式。
若本征值无简并,且本征函数已归一化,则得:当F为分立谱时, (3、3-1)当F为连续谱时, (3、3-2)如果中含有参变量,则只有当参变量得值保持不变时,属于不同本征值得本征函数才就是正交得。
例如,当粒子在有心力场中运动时,经向方程就是厄密算符得本征方程,其本征值为能量E(对束缚态,E 由径向量子数确定)。
角量子数l就是径向方程中得参变量。
径向波函数得正交关系式为: ,因不同得l值对应不同得径向方程,所以,2、正交化手续对于线性厄密算符,如果得本征值Fn就是f度简并得,对应得本征函数为,则这f个本征函数得任意线性组合也就是本征方程得解。
一般说来,这f个本征函数不一定就是正交得,但通过它们得线性组合一定可以构成f个正交得本征函数。
通常得正交化手续如下:取……从与得正交性可以确定b1=则得:若先将归一化,则得:从得正交性得:则得:若先将归一化,则得:从得正交性得:则得:则得:依此类推,可求出各系数,使彼此正交。
3、力学量算符在量子力学中,力学量都有算符表示。
力学量算符通常都就是线性厄密算符。
假设力学量算符得本征函数构成完备系(之所以就是假设就是因为尚未得到普遍性得证明),即认为任意波函数都可以对力学量算符得本征函数组展开。
一个力学量算符得本征函数也可以对另一个力学量算符得本征函数组展开。
在展开式中得本征函数组也称为本征基组应注意,这里所说得力学量总就是指某物理体系中得力学量,这里所说得波函数就是指描写同一物理体系得波函数,事实上,只有对于同一物理体系,力学量得本征函数与被展开得波函数才能具有相同得时间与空间。
当力学量算符得本征值Fn为分立谱时,在位置表象中,设本征基组满足正交归一条件:满足上式得也称为幺正基组。
通常只就是得函数而与t无关。
含时波函数对得展开式[不含时得波函数也可对展开]为:(3、3-3)实际上就是得简写。
以乘上式并对整个空间积分得:,则得:(3、3-4)若已归一化,即,则得:= (3、5-5)若已知,则由(3、3-4)式可求得Cn(t);若已知Cn(t),则由(3、3-3)式可求得,所以与Cn(t)就是等价得。
Cn(t)中得变量就是Fn与t,所以Cn(t)就是F表象中得波函数,Cn(t)得归一化条件就是。
当Cn(t)已归一化时,在t时刻测到Fn得几率为。
注意,对分立谱,为几率而非几率密度。
将(3、3-4)式代入(3、3-3)式得:=由上式可瞧出,应有:(3、3-6)上式所显示得性质称为本征基组得封闭性。
对于得本征函数,在箱归一化下对应得本征值为分立谱:。
其本征函数得封闭性条件为:其中dn=1。
当L →∞时,Px 由分立谱变为连续谱。
这时,由可知,dn 应以代替,得下标n 应改为Px,则本征函数得封闭性条件为:如果将并入得归一化系数,则归一化系数由变为,这与§2、2中得讨论就是一致得。
当力学量算符得本征值F 为连续谱时,在位置表象中,设本征函数满足正交为一条件:满足上式得也称为为幺正基组。
对得展开式为:(3、3-7)以乘上式并对全空间积分得:***[][]()F F F F F F F F F F dr C d dr C dr C F F dF C φϕϕϕϕϕδ'''''===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰v v v,则得: (3、3-8)为F 表象中得波函数。
若,则可得得归一化条件为:(3、3-9)当已归一化时,在t 时刻在F 表象中测得F 得几率密度为。
本征基组得封闭性条件为:(3、3-10)如果得本征值既有分立谱Fn 又有连续谱F,则展开式为:(3、3-11)(3、3-12)F 表象得波函数由C n (t)与C F (t)组成。
归一化条件为:(3、3-13)本征基组得封闭性条件为:(3、3-14)上面得讨论可归纳为量子力学中关于力学量算符得一个基本假设:量子力学中表示力学量得算符一般都就是线性厄密算符,力学量算符得本征函数组成完备系。
当体系处于归一化波函数所描写得状态时,测量力学量F 所得得数值,在单次测量中必定就是算符得本征值之一,测得分立谱中F n 得几率就是,测得连续谱中F →F+dF 得几率就是,C n 与C F 就是对得幺正本征基组得展开系数。
4、角度坐标变量考虑球坐标系下或柱坐标系下得角度坐标变量,在位置表象中,应有,但量子力学中通常并不将视为能作用于波函数得算符,而只将作为以及,cos等中得变量。
这就是因为:(1)不就是周期函数,。
但当增加时,波函数应保持不变,可见就是周期函数,而不就是周期函数。
如果得变化范围为(,),则不就是空间位置得单值函数;如果0≤<2,则不就是空间位置得单值函数;如果0≤<2,则不就是空间位置得连续函数。
(2)仿照求易得对易关系,但由于不就是周期函数,使得得厄密性将被破坏,所以对易关系在量子力学中无意义。
(3)在坐标系得子轴上,无确定得值。
由于上述原因,使得不能视为能作用于波函数得算符。
5、力学量F得平均值测量力学量得平均值应与描写体系状态所采用得表象无关。
在F得自身表象中,描写体系状态得波函数为C n(t)或C F(t),以分立谱为例,F得平均值应为:(3、3-15)若已归一化,则(对连续谱,只要将对F n得求与改变对F得积分即可)。
在位置表象中,描写体系状态得波函数为,设得本征函数组就是幺正基组,注意到则F得平均值应为:(3、3-16)若已归一化,则。
在定态中,波函数可写为,则由(3、3-16)式可写,应与时间t无关。
在定态中,几率密度与几率流密度也都与时间t无关。
3、4 两个力学量同时有确定值得条件与测不准关系1.对易算符得共同本征态定理:如果两个线性算符与对易。
证明如下:则。
因构成完备系,所以任意波函数可对展开:,则因就是任意波函数,则得,即定理得证。