2018年全国各地中考数学压轴题汇编(湖南专版) 几何综合参考答案与试题解析1.( 2018?长沙)如图，在△ ABC中，AD 是边BC上的中线，/ BAD=Z CAD, CE// AD, CE 交BA的延长线于点E, BC=8 AD=3.(1 )求CE的长;(2)求证：△ ABC为等腰三角形.(3)求厶ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离.(1 )解：：AD是边BC上的中线，••• BD=CD•••CE// AD,••• AD BCE的中位线，••• CE=2AD=6(2)证明：• CE// AD，•••/ BAD=Z E,Z CAD=Z ACE而/ BAD=Z CAD,•••/ ACE W E,••• AE=AC而AB=AE••• AB=AC•••△ABC为等腰三角形.(3)如图，连接BP、BQ、CQ,在Rt A ABD 中，AB= ' 「=5,设。
P的半径为R,O Q的半径为r,25在Rt A PBD 中，(R- 3) 2+42=F2，解得R=,25••• PD=PA- AD—■/ S A ABC+S\BCC+S A ACC F S X ABC,•••*?r?5召?r?8专?r?5^?3?8,解得r』.即QD--, ••• PQ=PDW〒+「.答：△ ABC的外接圆圆心P与内切圆圆心Q之间的距离为丄.2 . (2018?株洲)如图，在Rt A ABM和Rt A ADN的斜边分别为正方形的边AB和AD,其中AM二AN.(1)求证：Rt A ABM^ Rt A AND;(2)线段MN与线段AD相交于T,若AT土门，求tan / ABM的值.解:( 1 AD二AB AM二AN,/ AMB=Z AND=90• Rt A ABM^ Rt A AND ( HL).(2)由Rt A ABM^Rt A AND易得：/ DAN=/ BAM, DN=BMv/ BAM+/ DAM=9° ; / DAN+/ ADN=90•••/ DAM=/ AND • ND// AM• _iL_JTT AT节■'.'=,•工丄T Rt A ABMAM_M 1BM _DN^33. （2018?长沙）我们不妨约定：对角线互相垂直的凸四边形叫做十字形（1）①在平行四边形，矩形，菱形，正方形”中，一定是十字形”的有菱形，正方形；②在凸四边形ABCD中, AB=AD且C盼CD,则该四边形不是十字形”（填是”或不是”（2）如图1, A，B，C, D是半径为1的。
O上按逆时针方向排列的四个动点，AC与BD 交于点E，Z ADB-Z CDB=Z ABD-/ CBD,当6< AG+BD2^ 7 时，求OE 的取值范围；（3）如图2,在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c （a, b, c为常数，a>0, cv0）与x轴交于A, C两点（点A在点C的左侧），B是抛物线与y轴的交点，点D的坐标为（0，- ac）,记十字形” ABCD勺面积为§记厶AOB,A COD, △ AOD,A BOC 的面积分别为Si, S2, S3, S L求同时满足下列三个条件的抛物线的解析式；①：：=「：；②:'「；③十字形” ABC的周长为12 1 —解：（1 ）©•••菱形，正方形的对角线互相垂直，•菱形，正方形是：十字形”•••平行四边形，矩形的对角线不一定垂直，•平行四边形，矩形不是十字形”故答案为：菱形，正方形；②如图，"AE 二 AD 当CB=CD 时，在△ ABC 和厶ADC 中，応B=CD , L AC =AC•••△ ABC ^A ADC (SSS ,•••/ BACK DAC,•/ AB=AD,••• AC 丄 BD ,•••当C 時CD 时，四边形ABCD 不是十字形”故答案为：不是；(2)•••/ ADB^Z CBD=/ ABD+Z CDB / CBD=Z CDB 玄 CAB• / ADB+Z CAD=Z ABD+Z CAB• 180° -Z AED=180 -Z AEB• Z AED=Z AEB=90 ,• AC 丄 BD ,过点O 作OM 丄AC 于M , ON 丄BD 于N ,连接OA , OD ,• OA=OD=1, OM 2=OA 2 - AM 2 , ON 2=OD 2 - DN 2 , AM=^AC, DN 丄 BD,四边形 OMEN 是 矩形， • ON=ME ，OE?=OM 2+ME 2 ,即(A&+BC 2), ••• :, + = , :： = ： + -,• OE 2=OM 2+ON 2=2-••• 6 < AC 2+BD 2< 7 , 0“「,—bdj A,0) , B (0 , c ) , C ( ；| ,0) , D (0, - ac ),■/ a > 0 , c v 0 ,1 2a • S 丄AC?BD=-亍(ac+c ) x 1 S3=2 OA X OD= • OA ,OD=- ac , AC ,OB=- c , OC — V A Q I ,S i =_OA?OB=—3 /1 ,S^=上 疸 a cC/Aj-b) 4a ,BD=- ac - c, ,OC?OD=-， c (VA^-b) 4a• 2 - A ( (OE > 0);2a.寸+b) 讨氐D耳-匚(J△+»)s」c cyA7Za 2 2 >/~4aT=2，--a=1,.S=-淀，$=，(号b), $='(灼七,4 4•••「・■-,.S=S+S b+2Q£】S 2,£：：::= ',.b=0,• A ( - 一，0), B (0, c), C C . , 0), d (0,- c),•四边形ABCD是菱形，•4AD=12 I !i,•AD=3(；［： i,即：AD2=90,•/ AD2=c2- c,•c2- c=90,•c=- 9 或c=10 (舍)，即：y=«- 9.4. (2018?湘潭)如图，在正方形ABCD中, AF=BE AE与DF相交于点O.(1)求证：△ DAF^A ABE(2)求/ AOD的度数.AD=AB,(AD=AB ZDAF=ZABE=904 ,•••△ DAF ^A ABE ( SAS ,(2 )由(1)知，△ DAF ^A ABE,•••/ ADF=/ BAE,vZ ADF+/ DAO=/ BAE F / DAO=/ DAB=90,•••/ AOD=180 -(/ADF+DAO ) =90°.5. (2018?株洲)如图，已知AB 为。
O 的直径，AB=8,点C 和点D 是。
O 上关于直线 AB 对称的两个点，连接OC AC,且/ BOC k 90°,直线BC 和直线AD 相交于点E ,过点 C 作直线CG 与线段AB 的延长线相交于点F ,与直线AD 相交于点G,且/ GAF=Z GCE(1) 求证：直线CG 为。
O 的切线；(2) 若点H 为线段OB 上一点，连接CH,满足CB=CH① 厶 CBH^A OBC;② 求OH+HC 的最大值.•••/ ACB=90v OA=OC在厶DAF 和厶ABE 中, ABCD 是正方形,•••/ DAB=Z ABC=90, 解：(1 )由题意可知：/ CAB=/ GAF,v AB 是。
O 的直径，•••/ CAB=/ OCA•••/ OCA+Z OCB=90,vZ GAF=Z GCE•••Z GCE+Z OCB=/ OCA+Z OCB=90,v OC 是O O 的半径，•直线CG 是。
O 的切线；(2)©v CB=CH• Z CBH=/ CHB,v OB=OC ,• Z CBH=/ OCB • △ CBIH^A OBC②由△ CBH^A OBC 可知： BC HB□C ^BCv AB=8,• BC ?=HB?OC=4HB• HB=〔,v CB=CH• OH+HC=4 22L+BC,4 ，当 Z BOC=90 ,此时BC=4. ?vZ BOC X 90° ,• 0 X BC X 4 ■■:,令 BC=x• OH+HC 二-〒(x -2) 2+5当x=2时,• OH+HC 可取得最大值，最大值为56. (2018?衡阳)如图,O O 是厶ABC 的外接圆,AB 为直径,Z BAC 的平分线交。
O 于 点D ,过点D 作DE 丄AC 分别交AC 、AB 的延长线于点E 、F .(1) 求证：EF 是O O 的切线；(2) 若AC=4, CE=2求「的长度.(结果保留n) • OH=OB — HB=4- B_C 2V解：（1）如图，连接0D,••• OA=OD,•••/ OAD=Z ODA••• AD 平分/ EAF•••/ DAE=Z DAO,•••/ DAE=Z ADO,•••OD// AE,••• AE 丄EF,•OD 丄EF,•EF是。
O的切线；(2)如图，作OG丄AE于点G,连接BD,则AG=CG=AC=2, / OGE=/ E=Z ODE=90 ,•四边形ODEG是矩形,•OA=OB=OD=CGCE=2F2=4 , / DOG=9° , vZ DAE=Z BAD, / AED=Z ADB=90 ,•△ADE^A ABD,•AD2=48 ,在Rt A ABD 中，BD= 「J =4 ,在Rt A ABD 中,v AB=2BD•Z BAD=30 ,•Z BOD=60 ,7. (2018?湘潭)如图，AB 是以O 为圆心的半圆的直径，半径 的动点，且不与点 A 、C 、B 重合，直线AM 交直线OC 于点D ,(1 )若半圆的半径为10. ① 当/ AOM=6°时，求DM 的长；② 当AM=12时，求DM 的长.(2)探究：在点M 运动的过程中，/ DMC 的大小是否为定值?不是，请说明理由.v OM=OA ，•••△ AMO 是等边三角形，•••/ A=Z MOA=6°，•••/ MOD=30，Z D=30，DM =OM=10②过点M 作MF 丄OA 于点F ， 设 AF=xOF=10— x ，v AM=12，OA=OM=10,由勾股定理可知：122— x 2=102—( 10 — x ) 2 |36:.x=v MF // OD ，AMF s^ ADO , •兀*4 4K180 _ _ 3则r i 的长度为 CO 丄AO ,点M 是…上 连结OM 与CM . 若是，求出该定值；若 5，36 .Ai ，解：(1)①当/ AOM=6°时,.AM AFAD OA '-l -,AD 一10••• AD—••• MD=AD- AM= ■■J(2)当点M位于v之间时,连接BC,v C是■-的中点,•••/ B=45 °v•四边形AMCB是圆内接四边形,此时/ CMD=Z B=45,当点M位于弓「之间时，连接BC,由圆周角定理可知：/ CMD=Z B=458. (2018?衡阳)如图,在Rt A ABC中,/ C=90°, AC=BC=4cm 动点P 从点C出发以1cm/s 的速度沿CA匀速运动，同时动点Q从点A出发以-：cm/s的速度沿AB匀速运动，当点P 到达点A时，点P、Q同时停止运动，设运动时间为t (s).(1 )当t为何值时，点B在线段PQ的垂直平分线上？(2)是否存在某一时刻t，使△ APQ是以PQ为腰的等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；(3)以PC为边，往CB方向作正方形CPMN,设四边形QNCP的面积为S,求S关于t 的函数关系式.在Rt A ACB中AC=BC=4 / C=90,AB=4 ■:•••点B在线段PQ的垂直平分线上，.BP=BQ••• AQ=_ ~t, CP=,.BQ=4 — . :t, PBM2+t2,.••( 4 ■■- t) 2=16+t2,解得t=8 - 4 :-或8+4「；(舍弃)，.t=( 8 -4 -)s时，点B在线段PQ的垂直平分线上.(2)①如图2中，当PQ=QA时，易知△ APQ是等腰直角三角形，/ AQP=90 .A:.4 - t= ? .易知△ APQ 是等腰直角三角形，/ APQ=90.解得t=2,综上所述：t=-]-s 或2s 时，△ APQ 是以PQ 为腰的等腰三角形.(3)如图4中，连接QC,作QE 丄AC 于E,作QF 丄BC 于F .贝U QE=AE QF=EQ 可得 QE+QF=AE F EC=AC=4(QE+QF ) =2t (O v t v 4) 9. (2018?邵阳)如图1所示，在四边形ABCD 中，点O , E , F , G 分别是AB , BC, CD, AD 的中点，连接 OE, EF, FG, GO, GE(1) 证明：四边形OEFG 是平行四边形；(2) 将厶OGE 绕点O 顺时针旋转得到厶OMN ,如图2所示，连接GM , EN.①若 OE= \ OG=1, 求干T 的值； ②试在四边形ABCD 中添加一个条件，使 GM , EN 的长在旋转过程中始终相等.(不要 求证明)■/ S=S QNC +S A PC••• -t^ -： (4 - t), 解得t==.•••点0、E 、F 、G 分别是AB 、BC CD AD 的中点,•••点0、E 、F 、G 分别是AB 、BC CD AD 的中点,•••0E// AC 、0E 丄AC, GF// AC GF^AC,•••0E=GF 0E=GF•••四边形0EFG 是平行四边形；(2)©•••△ 0GE 绕点0顺时针旋转得到厶0MN ,•••0G=0M 、0E=0N / G0M=Z E0N, 0GOlfl0E _ _0N•••△ 0GMs^ 0EN,EN OE10G ~ ②添力卩AC=BD解：(1)如图1,连接AC,如图2,连接AC BD,•••OG=EF*BD OE=GF=BD,••• AC=BD•••OG=OE•••△ OGE绕点O顺时针旋转得到厶OMN,•••OG=OM、OE=ON / GOM=Z EON,•••OG=OE OM=ON,在厶OGM和厶OEN中，r OG=OE•••蜜関炉/EON,loM=ON•••△OGM^A OEN (SAS ,••• GM=EN.10. ( 2018?常德)如图，已知。