2019-2020 学年江苏省南通市启东中学高一（创新班）下学期 期初考试数学试题
一、单选题
1．在 ABC 中， AC 7, BC 2, B 60 ，则 BC 边上的中线 AD 的长为 ( )
A．1
B． 3
C．2
D． 7
【答案】D
【解析】由余弦定理可得：AC2 AB2 BC2 2AB BCcosB AB 3 ，在 ABD
A． D1O / / 平面 A1BC1
B． D1O 平面 AMC
C．异面直线 BC1 与 AC 所成角为 60
【答案】D
D．点 B 到平面 AMC 的距离为 2 2
【解析】A 项，通过证明 OD1 / / BO1 来证明线面平行；B 项，建立空间直角坐标系，由
OD1 AM 0 、 OD1 CM 0推出 OD1 AM 、 OD1 CM ，从而证明线面垂直；
次，要掌握解题方法.
二、多选题
9．已知直线 a ，两个不重合的平面 ， .若 / / ， a ，则下列四个结论中正
确的是( ) 第 7 页 共 25 页
A． a 与 内所有直线平行
B． a 与 内的无数条直线平行
C． a 与 内的任意直线都不垂直
D． a 与 没有公共点
【答案】BD 【解析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解。 【详解】
中，由余弦定理可得： AD2 AB2 BD2 2AB BDcosB 7 ，即可．
【详解】
由余弦定理可得： AC2 AB2 BC2 2AB BCcosB AB2 2AB 3 0 ． AB 3 在 ABD 中，由余弦定理可得： AD2 AB2 BD2 2AB BDcosB 7 ，
5．已知直线 y＝2x 是△ ABC 中∠C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(－
4，2)，(3，1)，则点 C 的坐标为( )
A．(－2，4)
B．(－2，－4)
C．(2，4)
D．(2，－4)
【答案】C
【解析】求出 A(－4，2)关于直线 y＝2x 的对称点为(x，y)，可写出 BC 所在直线方程，
B．若 a cos A bcos B ，则 ABC 一定是等腰三角形 C．若 bcosC c cos B b ，则 ABC 一定是等腰三角形
设异面直线
BC1 与
AC
所成角为
，则 cos
|
AC BC1 AC | | BC1
|
1 2
，
又
0,
2
，所以
60
，C
选项正确；
D 项，设正方体的边长为 a，则 BO 2 a ，所以由勾股定理可得 2
MO OB2 BM 2 3 a ，根据题意可知 MA MC ，O 是 AC 的中点，故 2
AD 7
故选 D． 【点睛】 本题主要考查了余弦定理，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．在解与三角形有 关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理， 有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现
ab 及 b2 、a2 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，
【答案】C
D．不过点 P2 ，但与 l 平行的直线
【解析】先判断直线与 l 平行，再判断直线过点 P2 ，得到答案.
【详解】
由题意直线 l 方程为 f x, y 0 ，则方程 f x, y f x1, y1 f x2, y2 0
两条直线平行，
P1 x1, y1 为直线 l 上的点， f x1, y1 0 ， f x, y f x1, y1 f x2, y2 0，
AQ
2
1
3 (4 2
3) AR (2
3) AD (2
3) AE
，此时 x y 4 2
3
，
2
同理可得： AT (2 3) AD (2 3) AE ， x y 4 2 3 ，选 B .
【点睛】此题为向量三点共线的拓展问题，借助点 P 在等和线 DE 上 x y 1去求 x y 的取值范围，由于点 P 是圆 M 及其内部任意一点，所以分别过 Q、T 作圆的切 线，求出两条等和线的 x y 值，就可得出 x y 的取值范围，本题型在高考中出现多
7．已知直线 l 方程为 f x, y 0 ，P1 x1, y1 和 P2 x2, y2 分别为直线 l 上和 l 外的点，
则方程 f x, y f x1, y1 f x2, y2 0表示（ ）
A．过点 P1 且与 l 垂直的直线
B．与 l 重合的直线
C．过点 P2 且与 l 平行的直线
根据正切函数的图象可知直线倾斜角的范围为[0 ， π ] [5π ， π) . 66
故选：B 【点睛】 本题考查直线的倾斜角，三角函数的图象与性质，属于基础题.
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4．正方体 ABCD A1B1C1D1 中， O 为底面 ABCD 的中心， M 为棱 BB1 的中点，则
下列结论中错误的是( )
故选：BD 【点睛】 本题考查命题真假性的判断，两平行平面内的直线的位置关系，充分理解平行平面及性 质和异面直线的定义是解题的关键，属于基础题.
10．已知 ABC 的内角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c ，下列四个命题中正确的命题是
（）
A．若 a b c ，则 ABC 一定是等边三角形 cos A cos B cos C
若 c ,b ,c b P ， b//a ，则 a 与 c 是异面直线，故 A 错误；
b ，则 内所有与 b 平行的直线皆与 a 平行，故 B 正确；
若 c b ，因为 b//a ，所以 a c ，故 C 错误；
因为 / / ，所以 与 没有公共点，而 a ，所以 a 与 没有公共点，D 正确.
D． 2 3, 2 3
【答案】B
【解析】连接 AM 并延长分别交圆 M 于 Q、T ，连接 DE ， DE 与 AM 交于 R ，显然
AR 1 AD 1 AE ，此时 x y 1，分别过 Q、T 作 DE 的平行线，由于 22
AD AE 1, BAC 1200 ，则 AM 2, DM 3 ，则 AQ 2 3 ， AR 1 ， 2
与直线 y＝2x 联立，即可求出 C 点坐标.
【详解】
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设
A(－4，2)关于直线
y＝2x
的对称点为(x，y)，则
y x y
2
2 4 2
2 2
1
4 2
x
，解得
Hale Waihona Puke xy4 2
∴BC 所在直线方程为 y－1＝ 2 1 (x－3)，即 3x＋y－10＝0. 联立直线 y=2x，解得 43
A1BC1 ，故 A 选项正确；
B 项，设正方体的边长为 1，分别以 BA，BC， BB1 为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐
标系，如图：
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则
B(0,
0,
0),
A(1,
0,
0),
C(0,1,
0),
O(
1 2
,
1 2
,
0)
，
M
(0,
0,
1 2
),
D1
(1,1,1)
，
所以 OD1
化为 f x, y f x2, y2 0，
显然 P2 x2, y2 满足方程 f x, y f x1, y1 f x2, y2 0，
所以 f x, y f x1, y1 f x2, y2 0表示过点 P2 且与 l 平行的直线．
故答案选 C． 【点睛】 本题考查了直线的位置关系，意在考查学生对于直线方程的理解情况.
A．50 m
B．100 m
C．120 m
D．150 m
【答案】A
【解析】如图所示，设水柱 CD 的高度为 h．在 Rt△ ACD 中，由∠DAC=45°，可得 AC=h．由
∠BAE=30°，可得∠CAB=60°．在 Rt△ BCD 中，∠CBD=30°，可得 BC= 3h ．在△ ABC
中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．代入即可得出． 【详解】 如图所示， 设水柱 CD 的高度为 h． 在 Rt△ ACD 中，∵∠DAC=45°，∴AC=h． ∵∠BAE=30°，∴∠CAB=60°． 又∵B，A，C 在同一水平面上，∴△BCD 是以 C 为直角顶点的直角三角形，
在 Rt△ BCD 中，∠CBD=30°，∴BC= 3h ．
在△ ABC 中，由余弦定理可得：BC2=AC2+AB2﹣2AC•ABcos60°．
∴（ 3h ）2=h2+1002﹣ 2 100h 1 ， 2
化为 h2+50h﹣5000=0，解得 h=50．
故选 A．
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【点睛】 解三角形应用题的一般步骤 (1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系． (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型． (3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解． (4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等.
共有六个面，其中面“努”与面“有”相对，所以图中“努”在正方体的后面，则这个正方体 的前面是“有”． 故选 B． 【考点】展开图与直观图.
3．直线 x cos 3y 2 0 的倾斜角的范围是( )
A．[ π ， π ] [5π ， π) 62 6
C．[0 ， 5π ] 6
【答案】B
B．[0 ， π ] [5π ， π) 66
1 2
,
1 2
,1
，
AM
1,
0,