2017-2018学年江苏省南通市启东中学创新班高一（上）期初数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为．2．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且，则实数k=．3．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．4．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为．5．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=．6．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是．7．（5分）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边的中点，AF交BD于E，若，则λ=．9．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣a2）＞f（a），求实数a 的取值范围．11．（5分）已知函数的定义域是[a，b]（a，b为整数），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有个．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=．13．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=．14．（5分）已知x，y∈[0，2π]，若，则x﹣y的最小值为．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x﹣2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．17．（14分）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．（1）将利润表示为产量的函数；（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？18．（16分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）其中ω＞0，|φ|＜．（1）若cos cosφ﹣sin sinφ=0．求φ的值；（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象象左平移m个单位所对应的函数是偶函数．19．（16分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围．20．（16分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．2017-2018学年江苏省南通市启东中学创新班高一（上）期初数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填写在答题卷相应位置上1．（5分）已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}．若A∩B={1}，则实数a的值为1．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={a，a2+3}．A∩B={1}，∴a=1或a2+3=1，解得a=1．故答案为：1．2．（5分）已知向量=（k，3），=（1，4），=（2，1），且，则实数k=3．【解答】解：∵=（k，3），=（1，4），=（2，1），∴2﹣3=（2k﹣3，﹣6），∵，∴（2﹣3）•=0∴2（2k﹣3）+1×（﹣6）=0，解得k=3．故答案为：3．3．（5分）若tan（α﹣）=．则tanα=．【解答】解：∵tan（α﹣）===∴6tanα﹣6=tanα+1，解得tanα=，故答案为：．4．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式x[（f （x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）．【解答】解：若奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则函数f（x）在（﹣∞，0）上也为增函数，又∵f（1）=0∴f（﹣1）=0则当x∈（﹣∞，﹣1）∪（0，1）上时，f（x）＜0，f（x）﹣f（﹣x）＜0当x∈（﹣1，0）∪（1，+∞）上时，f（x）＞0，f（x）﹣f（﹣x）＞0则不等式x[（f（x）﹣f（﹣x）]＜0的解集为（﹣1，0）∪（0，1）故答案为：（﹣1，0）∪（0，1）5．（5分）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=4．【解答】解：A={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4}而B=（﹣∞，a），∵A⊆B∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），故答案为：46．（5分）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是30．【解答】解：由题意可得：一年的总运费与总存储费用之和=+4x≥4×2×=240（万元）．当且仅当x=30时取等号．故答案为：30．7．（5分）方程3sinx=1+cos2x在区间[0，2π]上的解为或．【解答】解：方程3sinx=1+cos2x，可得3sinx=2﹣2sin2x，即2sin2x+3sinx﹣2=0．可得sinx=﹣2，（舍去）sinx=，x∈[0，2π]解得x=或．故答案为：或．8．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，F是BC边的中点，AF交BD于E，若，则λ=．【解答】解：∵AD∥BC，F是BC边的中点，∴==，∴=，∵，∴λ=，故答案为：9．（5分）函数f（x）=cos2x+6cos（﹣x）的最大值是5．【解答】解：f（x）=cos2x+6cos（﹣x）=1﹣2sin2x+6sinx=﹣2sin2x+6sinx+1．令t=sinx，t∈[﹣1，1]，则原函数化为y=，∴当t=1时，y有最大值为．故答案为：5．10．（5分）已知函数f（x）=，若f（2﹣a2）＞f（a），求实数a的取值范围．【解答】解：当x≥0时f（x）=x2+4x，可知f（x）在[0，+∞）上递增，当x＜0时f（x）=4x﹣x2，可判断f（x）在（﹣∞，0）上递增，从而函数f（x）在R上单调递增由f（2﹣a2）＞f（a），得2﹣a2＞a，即a2+a﹣2＜0．解得﹣2＜a＜1．11．（5分）已知函数的定义域是[a，b]（a，b为整数），值域是[0，1]，则满足条件的整数数对（a，b）共有5个．【解答】解：由=0得，得|x|+2=4，即|x|=2，得x=2或﹣2，由=1得，得|x|+2=2，即|x|=0，得x=0，则定义域为可能为[﹣2，0]，[﹣2，1]，[﹣2，2]，[﹣1，2]，[0，2]，则满足条件的整数数对（a，b）为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣1，2），（0，2）共5个．故答案为：5．12．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x﹣4）=﹣f（x），且在区间[0，2]上是增函数，若方程f（x）=m（m＞0）在区间[﹣8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=﹣8．【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（x﹣4）=﹣f（x）=f（﹣x），∴f（x）的图象关于直线x=﹣2对称，又f（x﹣4）=﹣f（x），∴f（x）=﹣f（x+4），∴f（x﹣4）=f（x+4），∴f（x）周期为8，作出f（x）的大致函数图象如图：由图象可知f（x）=m的4个根中，两个关于直线x=﹣6对称，两个关于直线x=2对称，∴x1+x2+x3+x4=﹣6×2+2×2=﹣8．故答案为：﹣8．13．（5分）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m，n∈R），则m+n=3．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．A（1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα=，sinα=．∴C．cos（α+45°）=（cosα﹣sinα）=．sin（α+45°）=（sinα+cosα）=．∴B．∵=m+n（m，n∈R），∴=m﹣n，=0+n，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．14．（5分）已知x，y∈[0，2π]，若，则x﹣y的最小值为﹣．【解答】解：∵2sinxcosy﹣sinx+cosy=，∴2sinxcosy﹣sinx+cosy﹣=0，∴sinxcosy﹣sinx+cosy﹣=0，∴（sinx+）（cosy﹣）=0，∴sinx=﹣或cosy=，∵x，y∈[0，2π]∴x=或，y=或，当x=，y=时，x﹣y取得最小值，最小值为﹣=﹣．故答案为：﹣．二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14分）.设集合A={x|x2＜9}，B={x|（x﹣2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B；（2）若不等式2x2+ax+b＜0的解集为A∪B，求a、b的值．【解答】解：集合A={x|x2＜9}={x|﹣3＜x＜3}，B={x|（x﹣2）（x+4）＜0}={x|﹣4＜x＜2}；（1）集合A∩B={x|﹣3＜x＜2}；（2）∵A∪B={x|﹣4＜x＜3}，且不等式2x2+ax+b＜0的解集为（﹣4，3），∴2x2+ax+b=0的根是﹣4和3，由根与系数的关系得﹣4+3=﹣，﹣4×3=，解得a=2，b=﹣24．16．（14分）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]（1）若∥，求x的值；（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．【解答】解：（1）∵∥，∴cosx=3sinx，可得：tanx=．∵x∈[0，π]∴x=．（2）由f（x）=，∴f（x）=3cosx﹣sinx=2cos（x+）∵x∈[0，π]∴x+∈[，]当x+=时，即x=π时，f（x）取得最小值为=﹣3．当x+=时，即x=时，f（x）取得最大值为1×=2．17．（14分）某企业生产一种机器的固定成本为0.5万元，但每生产1百台时，又需可变成本（即另增加投入）0.25万元．市场对此商品的年需求量为5百台，销售的收入（单位：万元）函数为：R（x）=5x﹣x2（0≤x≤5），其中x是产品生产的数量（单位：百台）．（1）将利润表示为产量的函数；（2）年产量是多少时，企业所得利润最大？【解答】解：（1）依题意，得：利润函数G（x）=F（x）﹣R（x）=（5x﹣x2）﹣（0.5+0.25x）=﹣x2+4.75x﹣0.5 （其中0≤x≤5）；（2）利润函数G（x）=﹣x2+4.75x﹣0.5（其中0≤x≤5），当x=4.75时，G（x）有最大值；所以，当年产量为475台时，工厂所得利润最大．18．（16分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）其中ω＞0，|φ|＜．（1）若cos cosφ﹣sin sinφ=0．求φ的值；（2）在（1）的条件下，若函数f（x）的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，求函数f（x）的解析式；并求最小正实数m，使得函数f（x）的图象象左平移m个单位所对应的函数是偶函数．【解答】解：（I）由得即又，∴（Ⅱ）解法一：由（I）得，依题意，又，故ω=3，∴函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g（x）是偶函数当且仅当即从而，最小正实数解法二：由（I）得，，依题意，又，故ω=3，∴函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数为，g（x）是偶函数当且仅当g（﹣x）=g（x）对x∈R恒成立亦即对x∈R恒成立．∴=即对x∈R恒成立．∴故∴从而，最小正实数19．（16分）若函数f（x）满足下列条件：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立，则称函数f（x）具有性质M；反之，若x0不存在，则称函数f（x）不具有性质M．（1）证明：函数f（x）=2x具有性质M，并求出对应的x0的值；（2）已知函数具有性质M，求a的取值范围．【解答】（1）证明：f（x）=2x代入f（x0+1）=f（x0）+f（1）得：，（2分）即：，解得x0=1．（5分）所以函数f（x）=2x具有性质M．（6分）（2）解：h（x）的定义域为R，且可得a＞0．因为h（x）具有性质M，所以存在x0，使h（x0+1）=h（x0）+h（1），代入得：．化为2（x02+1）=a（x0+1）2+a，整理得：（a﹣2）x02+2ax0+2a﹣2=0有实根．①若a=2，得．（8分）②若a≠2，得△≥0，即a2﹣6a+4≤0，解得：a，所以：a．（若未去掉a=2，扣1分）（14分）综上可得a．（16分）20．（16分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a ﹣5]=0．即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a 的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，即+a≤2（+a），即a≥﹣=设1﹣t=r，则0≤r≤，==，当r=0时，=0，当0＜r≤时，=，∵y=r+在（0，）上递减，∴r+≥=，∴==，∴实数a的取值范围是a≥．。