2019-2020学年江苏省南通市启东中学创新班高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若a 1=12，a n =4a n−1+1(n ≥2)，则a n >100时，n 的最小值为( )A. 3B. 4C. 5D. 6 2. 直线√3x +3y −3=0的倾斜角为( )A. −30°B. 30°C. 120°D. 150°3. 设A (−1,2),B (3,1)，若斜率为k 且过原点的直线与线段AB 没有公共点，则k 的取值范围为( )A. (−∞,−2)⋃(13,+∞) B. (−∞,−13)⋃(2,+∞) C. (−2,13) D. (−13,2) 4. 已知数列{a n }，满足a 1=1，a n −a n−1=n ，则a 10=( )A. 45B. 50C. 55D. 605. 数列{a n }的通项式a n =nn 2+90，则数列{a n }中的最大项是( )A. 第9项B. 第10项和第9项 C . 第10项 D. 第9项和第8项6. 已知A(1,2)，B(3,1)，则线段AB 的垂直平分线的方程是( )A. 4x −2y +5=0B. 4x −2y −5=0C. x +2y −5=0D. x −2y −5=07. 已知直线l 的斜率k 满足−1≤k <1，则它的倾斜角α的取值范围是( )A. −45°<α<45°B. 0°≤α<45°或135°≤α<180°C. 0°<α<45°或135°<α<180°D. −45°≤α<45° 8. 已知等比数列{a n }的首项a 1=1，公比q =2，则log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a 11=( )A. 46B. 35C. 55D. 509. 一束光线经过点A(−2,1)，由直线l:x −y −1=0反射后，经过点B(0,3)射出，则反射光线所在直线的方程为( )A. x +3y −1=0B. x +y −1=0C. 3x +y −3=0D. x +4y −1=010. 已知直线l ：Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)，点M 0(x 0,y 0)，则方程x−x 0A=y−y 0B表示( )A. 经过点M 0且平行于l 的直线B. 经过点M 0且垂直于l 的直线C. 不一定经过M 0但平行于l 的直线D. 不一定经过M 0但垂直于l 的直线11. 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n(n +1)，n ∈N ∗，b n =3a n +(−1)n−1a n ，则数列{b n }的前2n +1项和为( )A. 32n+2−12+n B. 12⋅32n+2+n +12 C. 32n+2−12−nD. 12⋅32n+2−n +3212. 已知函数f(x)=a x +b(a >0,a ≠1)的图象经过点P(1,3)，Q(2,5).当n ∈N ∗时，a n =f(n)−1f(n)⋅f(n+1)，记数列{a n }的前n 项和为S n ，当S n =1033时，n 的值为( )A. 4B. 5C. 6D. 7二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 数列{a n }满足：a 1=13，且a n+1=(n+1)a n 3a n +n(n ∈N ∗)，则数列{a n }的前n 项和S n = ．14. 直线y =2x 是△ABC 的一个内角平分线所在的直线，若点A(−4,2)，B(3,1)，则点C 的坐标为________．15. 已知a , b , c 均为正数，且abc =4( a +b )，则a +b +c 的最小值为 ． 16. 若数列{a n }满足a 1=0,a 4n−1−a 4n−2=a 4n−2−a 4n−3=3，a 4na4n−1=a 4n+1a 4n=12，其中n ∈N ∗，且对任意n ∈N ∗都有a n <m 成立，则m 的最小值为________ 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知直线l 1：x +my +1=0和l 2：(m −3)x −2y +(13−7m)=0．(1)若l 1⊥l 2，求实数m 的值； (2)若l 1//l 2，求l 1与l 2之间的距离d ．18. 过点P(0,2)作直线l ，使它被两条相交直线l 1：x −y −1=0和l 2：3x +2y +6=0所截得的线段恰好被P 点平分，求直线l 的方程．19. 在数列{a n }中，a n >0，其前n 项和S n 满足S n 2−(n 2+2n −1)S n −(n 2+2n)=0．(Ⅰ) 求{a n }的通项公式a n ；(Ⅱ)若b n=a n−5，求b2+b4+⋯+b2n．2n20.某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(如图中阴影部分所示)，其形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边).已知AB=2km，BC=6km，AE=BF=4km，其中AF是以A为顶点，AD为对称轴的抛物线段，试求该高科技工业园区面积的最大值．21.三角形ΔABC的一个顶点为A(2,3)，两条高所在的直线方程是x−2y+3=0和x+y−4=0，求B、C点坐标22.已知数列{a n}，S n是其前n项和，且满足3a n=2S n+n(n∈N∗).}为等比数列；(I)求证：数列{a n+12(Ⅱ)记T n=S1+S2+⋯+S n，求T n的表达式．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：【分析】本题考查数列的递推关系式，理解递推关系式，逐一求出前几项是解题的关键．【解答】解：由a1=12，a n=4a n−1+1(n≥2)得，a2=4a1+1=3,a3=4a2+1=13,a4=4a3+1=53,a5=4a4+1=213>100.所以n的最小值为5．故选C．2.答案：D解析：解：直线√3x+3y−3=0化成斜截式，得y=−√33x+1，∴直线的斜率k=−√33．∵设直线的倾斜角为α，∴tanα=−√33，结合α∈[0,180°)，得α=150°．故选：D．【分析】由直线方程求出直线的斜率，再由斜率等于倾斜角的正切值求解．本题考查直线的倾斜角，考查倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.答案：C解析：【分析】本题考查直线斜率公式及斜率变化情况，属于基础题．首先求出直线OA、OB的斜率，然后结合图象即可写出答案．【解答】解：直线OA的斜率k=2−0−1−0=−2，直线OB的斜率k′=1−03−0=13，结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是−2<k<13．故选C．4.答案：C解析： 【分析】根据题意得：a 2−a 1=2，a 3−a 2=3，…，a n −a n−1=n ，利用累加法和等差数列的前n 项和公式求出a n ，把n =10代入求出a 10的值．本题考查累加法求出数列的通项公式，以及等差数列的前n 项和公式，属于中档题． 【解答】解：因为a 1=1，a n −a n−1=n ，所以a 2−a 1=2，a 3−a 2=3，…，a n −a n−1=n ， 以上(n −1)个式子相加可得， a n −a 1=2+3+⋯+n ， 则a n =1+2+3+⋯+n =n(1+n)2，所以a 10=10×112=55，故选：C ．5.答案：B解析：解：由数列{a n }的通项式a n =n n 2+90，考察函数f(x)=xx 2+90(x >0)的单调性． 设0<x 1<x 2，f(x 1)−f(x 2)=(x 1x 2−90)(x 2−x 1)(x 12+90)(x22+90)，利用定义可得0<x ≤3√10，此时函数f(x)单调递增；x >3√10，此时函数f(x)单调递减． 而9<3√10<10，f(9)=f(10)． ∴数列{a n }中的最大项是第10项和第9项． 故选：B ．利用定义考察函数f(x)=xx 2+90(x >0)的单调性即可得出．本题考查了利用定义研究函数的单调性与最值，考查了计算能力，属于基础题．6.答案：B解析： 【分析】本题考查两直线垂直的性质、线段的中点坐标公式及直线的点斜式方程，属于基础题．先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB 的垂直平分线的方程，再化为一般式即可得到结果． 【解答】解：线段AB 的中点为(2,32)，k AB =1−23−1=−12， ∴线段AB 垂直平分线的斜率为k =−1kAB=2，∴线段AB 的垂直平分线的方程是y −32=2(x −2)，即4x −2y −5=0． 故选：B ．7.答案：B解析： 【分析】本题考查了倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性，属于基础题． 利用倾斜角与斜率的关系、正切函数的单调性即可得出． 【解答】解：∵直线l 的斜率k ∈[−1,1)， ∴−1≤tanα<1， ∵α∈[0,180°)，∴α∈[135°,180°)∪[0，45°)． 故选：B ．8.答案：C解析：解：∵等比数列{a n }的首项a 1=1，公比q =2， ∴log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a 11 =log 2(a 1a 2…a 11)=log 2(a 110q 1+2+3+⋯+10)=log 2255 =55． 故答案为：55．由已知得log 2a 1+log 2a 2+⋯+log 2a 11=log 2(a 110q 1+2+3+⋯+10)=log 2255=55．本题考查对数的前11项和的求法，是中档题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．9.答案：C解析： 【分析】本题考查直线关于点、直线对称的直线方程，较易． 【解答】解：设A 关于l 的对称点为C(a,b)则根据AC 中点在直线l 上和直线AC 与直线l 垂直有：{a−22−b+12−1=0b−1a+2·1=−1，解得：{a =2b =−3，则C(2,−3)由题知C 在反射光线所在直线上， 故反射光线所在直线方程为y =3−(−3)0−2x +3，即3x +y −3=0，故选C ．10.答案：B解析： 【分析】本题考查了直线的方程，考查了直线垂直与斜率的关系，是基础题． 由直线x−x 0A=y−y 0B的斜率与已知直线的斜率互为负倒数，且M 0(x 0,y 0)适合方程x−x 0A=y−y 0B得答案．【解答】 解：由x−x 0A=y−y 0B，得Bx −Bx 0=Ay −Ay 0，即Bx −Ay −Bx 0+Ay 0=0，∴Bx −Ay −Bx 0+Ay 0=0与Ax +By +C =0(A ≠0,B ≠0)垂直， 又M 0(x 0,y 0)满足方程Bx −Ay −Bx 0+Ay 0=0， ∴方程x−x 0A=y−y 0B表示经过点M 0且垂直于l 的直线．故选：B ．11.答案：A解析：解：当n =1时，a 1=S 1=12×1×2=1；当n ≥2时，a n =S n −S n−1=12n(n +1)−12(n −1)n =n ． 故a n =n ．∴b n =3a n +(−1)n−1a n =3n +(−1)n−1n ，则数列{b n }的前2n +1项和S 2n+1=(31+32+⋯+32n+1)+[1−2+3−4+⋯+(2n −1)−2n +(2n+1)]=3(1−32n+1)1−3+(n+1)=32n+2−12+n．故选：A．由数列的前n项和求出数列{a n}的通项公式，代入b n=3a n+(−1)n−1a n，整理后分组，然后利用等比数列的前n项和得答案．本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和，是中档题．12.答案：A解析：【分析】本题考查数列与函数的综合，考查裂项法求和，确定数列的通项是关键．先确定f(x)=2x+1，再确定数列的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．【解答】解：∵函数f(x)=a x+b(a>0,a≠1)的图象经过点P(1,3)，Q(2,5)，∴{3=a+b5=a2+b解得a=2，b=1，∴f(x)=2x+1，∴f(n)=2n+1，∴a n=f(n)−1f(n)⋅f(n+1)=2n+1−1(2n+1)(2n+1+1)=12n+1−12n+1+1，∴S n=(13−15)+(15−17)+⋯+(12n+1−12n+1+1)=13−12n+1+1=1033，即2n=16，解得n=4，故选A．13.答案：n3解析：【分析】本题考查等比数列的判定和通项公式，数列的递推关系，数列的求和，属于中档题．根据a n+1=(n+1)a n3a n+n 即可求得n+1a n+1−na n=3，即可知数列{na n}是以3为首项，以公比为3的等比数列，即可知数列{na n }的通项公式na n=3n，进而得到an=13，即可求解．【解答】解：由a n+1=(n+1)a n3a n+n (n∈N∗)得a n+1n+1=a n3a n+n，所以n+1a n+1=na n+3，即n+1a n+1−na n=3，又a1=13，即1a1=3，所以数列{na n}是以3为首项，以公比为3的等比数列，所以na n=3+3(n−1)=3n，即a n=13，所以数列{a n}的前n项和S n=n3．14.答案：(2,4)解析：【分析】本题考查点关于直线对称的点的坐标及直线方程的求法，考查方程思想与转化、运算能力，属于中档题．【解答】解：设点B关于直线y=2x的对称点为B′(x′,y′)，则直线BB′⊥直线y=2x，且线段BB′的中点(3+x′2,1+y′2)在方程为y=2x的直线上，∴{y′−1x′−3×2=−1y′+12=2×x′+32，解得B′(−1,3)；所以l AB′：y−2=13(x+4)；而点C为l AB′：y−2=13(x+4)与直线y=2x的交点，∴{y−2=13(x+4)y=2x，解得x=2，y=4，即点C的坐标为C(2,4)．故答案为(2,4)．15.答案：8解析：【分析】本题考查了基本不等式的应用，考查了学生的分析与计算能力，属基础题．由题意知c的表达式，再根据基本不等式得a+b+c的最小值【解答】解：∵abc =4(a +b)， ∴c =4(a+b )ab，a +b +c =a +b +4(a+b )ab=a +b +4b +4a ≥2√a ·4a +2√b ·4b =4+4=8，当且仅当a =2，b =2时等号成立， 故答案为8．16.答案：8解析： 【分析】本题考查了数列的递推关系，考查了学生等差数列和等比数列性质的应用，以及利用待定系数法求解数列通项公式，属于难题．利用a 4n−1，a 4n−2，a 4n−3是以3为公差的等差数列，a 4n−1，a 4n ，a 4n+1是以12为公比的等比数列，得到a 4(n+1)−3=a 4n−34+32，利用待定系数法，数列{a 4n−3−2}是以−2为首项，14为公比的等比数列，从而得到a 4n−2=5−122n−3，结合题目条件，得到a 4n−2=5−122n−3,a 4n−1=8−122n−3,a 4n =4−122n−2，即可求解答案． 【解答】解：由已知可得a 4n−1，a 4n−2，a 4n−3是以3为公差的等差数列， ∴a 4n−1=a 4n−3+2×3=a 4n−3+6， a 4n−1，a 4n ，a 4n+1是以12为公比的等比数列， 则a 4n+1=a 4n−1×(12)2=a 4n−14=a 4n−34+32，∴a 4(n+1)−3=a 4n−34+32，即a 4(n+1)−3−2=14(a 4n−3−2)， ∴a 4(n+1)−3−2a 4n−3−2=14为定值，又a 4×1−3−2=a 1−2=−2，即数列{a 4n−3−2}是以−2为首项，14为公比的等比数列， ∴a 4n−3=2−−122n−3，又a 4n−1，a 4n−2，a 4n−3是以3为公差的等差数列， a 4n−1，a 4n ，a 4n+1是以12为公比的等比数列，∴a 4n−2=5−122n−3,a 4n−1=8−122n−3,a 4n =4−122n−2∴对于任意的n ∈N ∗，均有a n <8， ∴m ≥8． 故答案为8．17.答案：解：(1)若l 1⊥l 2，则m −3−2m =0，所以m =−3；(2)若l 1//l 2，则m(m −3)+2=0，所以m =1或2， 当m =2时，l 1与l 2重合，舍去；当m =1时，l 1：x +y +1=0，l 2：−2x −2y +6=0，即x +y −3=0， ∴l 1与l 2的距离d =√2=2√2．解析：本题给出含有参数的两条直线方程，在两条直线平行或垂直的情况下，求参数m 之值．着重考查了平面直角坐标系中两条直线平行、垂直的关系及其列式的知识，属于基础题． (1)根据两条直线垂直的判定，已知l 1⊥l 2，则m −3−2m =0，所以m =−3； (2)根据两条直线平行的判定，若l 1//l 2，则m(m −3)+2=0，所以m =1或2， 当m =2时，l 1与l 2重合，舍去，当m =1时，再根据平行直线的距离公式即可求出．18.答案：解：由题意：设直线l 与直线l 2：3x +2y +6=0交于点A(x,y)，设直线l 与直线l 1：x −y −1=0相交于点B ，因为直线l 被直线l 1和l 2所截得的线段恰好被P 点平分， 所以点P(0,2)是点A 和点B 的中点， 可得点B 的坐标为(−x,4−y)，由方程组{3x +2y =−6−x −(4−y)=1，解得A(−165,95)，所以P ，A 两点都在直线l 上， 所以直线l 的方程为y−952−95=x+1650+165，即x−16y+32=0．解析：本题考查直线方程的求解，中点坐标公式，直线的两点式方程，属于基础题．根据题意，求出A的坐标，根据P，A两点坐标求出直线l的方程．19.答案：解：(Ⅰ)由S n2−(n2+2n−1)S n−(n2+2n)=0，得[S n−(n2+2n)](S n+1)=0，由a n>0，可知S n>0，故S n=n2+2n．当n≥2时，a n=S n−S n−1=(n2+2n)−[(n−1)2+2(n−1)]=2n+1；当n=1时，a1=S1=3，符合上式，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1．(Ⅱ)解：依题意，b n=a n−52n =2n−42n=n−22n−1，则b2n=2n−222n−1=(n−1)⋅(14)n−1，设T n=b2+b4+⋯+b2n，故T n=0+14+242+343+⋯+n−14n−1，而4T n=1+24+342+⋯+n−14n−2．两式相减，得3T n=1+14+142+⋯+14n−2−n−14n−1=1−(14)n−11−14−n−14n−1=13(4−3n+14n−1)，故T n=19(4−3n+14n−1)．解析：(Ⅰ)把已知数列递推式变形，求得S n=n2+2n，得到数列首项，再由a n=S n−S n−1(n≥2)求{a n}的通项公式a n；(Ⅱ)把(Ⅰ)中求得的通项公式代入b n=a n−52n，得到b2n，再由错位相减法求得b2+b4+⋯+b2n．本题考查数列递推式，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了错位相减法求数列的通项公式，是中档题．20.答案：解：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图，则A(0,0)，F(2,4)，由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y=ax2(a>0)，由4=a×22得，a=1，∴AF所在抛物线的方程为y=x2，又E(0,4)，C(2,6)，∴EC所在直线的方程为y=x+4，设P(x,x2)(0<x<2)，则PQ=x，QE=4−x2，PR=4+x−x2，∴工业园区的面积S =12(4−x 2+4+x −x 2)·x=−x 3+12x 2+4x(0<x <2)，∴S′=−3x 2+x +4，令S′=0，解得x =43或x =−1(舍去负值)， 当x 变化时，S′和S 的变化情况如下表：可知，当x =43时，S 取得最大值10427． 答：该高科技工业园区的最大面积为10427km 2．解析：本题考查函数模型的应用，利用导数研究函数的单调性、极值，利用导数求闭区间上的函数最值，属于中档题．先以A 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立直角坐标系得到A 、F 、E 、C 的坐标．设出抛物线的解析式把F 坐标代入可求出，根据坐标EC 所在直线的方程，设出P 的坐标表示出PQ 、QE 、PR ，利用梯形的面积公式表示出S ，求导讨论S 的增减性，得到S 的最大值即可．21.答案：解：不妨设直线x −2y +3=0和x +y −4=0分别经过点B 和点C 的高线，∴由垂直关系可得AB 的斜率为1，AC 的斜率为−2， ∵AB 和AC 都经过点A(2,3)，∴AB 的方程为y −3=x −2即x −y +1=0； ∴AC 的方程为y −3=−2(x −2)即2x +y −7=0； 联立{x −y +1=0x −2y +3=0，解得{x =1y =2，即B(1,2)，联立{2x +y −7=0x +y −4=0，解得{x =3y =1，即C(3,1)，故B (1,2)，C(3,1)．解析：本题考查直线的一般式方程和垂直关系，涉及方程组的解集，属基础题．不妨设直线x −2y +3=0和x +y −4=0分别经过点B 和点C 的高线，由垂直关系可得AB 和AC 的方程，联立直线方程可得B 和C 的坐标．22.答案：证明：(I)当n =1时，3a 1=2S 1+1，所以a 1=1．当n ≥2时，由3a n =2S n +n① 得3a n−1=2S n−1+n −1②①−②得3a n −3a n−1=2S n +n −2S n−1−n +1=2(S n −S n−1)+1， =2a n +1，所以：a n =3a n−1+1， 则：a n +12=3(a n−1+12)，所以数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列． (Ⅱ)由(I)得a n +12=32⋅3n−1，所以：a n =32⋅3n−1−12将其代入①得，S n =34⋅3n −14(2n +3) T n =S 1+S 2+S 3+⋯+S n ，=34(31+32+33+⋯+3n )−14(5+7+⋯+2n +3)， =34⋅3(3n −1)3−1−n(n+4)4， =98(3n −1)−n(n+4)4．解析：(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用构造新数列法得到数列{a n +12}是以a 1+12=32为首项，3为公比的等比数列．(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论，进一步求出数列S n ，最后求出数列的和．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，利用分组法求出数列的和，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．。