A c
f ( x) d x .


c
f ( x) d x 与 f ( x) d x 与 对

于是
a T
T
f ( x) d x f (t T ) d t f (t ) d t f ( x) d x
0 0 0
a
a
a

a T a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x
a 0 0
0
T
a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x
a R，有

a T a 0
f ( x) d x f ( x) d x .
0 T a T 0 T
T
证
因为

a T a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x
a
f ( x) d x ,
故令 x t T，则 d x d t，且 x : T a T 时，t : 0 a，从而
1 x d x
2

cos t d t
2
1 (1 cos 2 t ) d t 2
1 1 t sin 2 t C arcsin x x 1 x 2 C 2 2 2 4
由牛顿——莱布尼兹公式 ， 得

1 0
1 1 1 x d x arcsin x x 2 2
(3) ( ) a ， ( ) b，
则

b a
f ( x) d x f ( (t )) (t ) d t .


说明:
1) 当 < , 即区间换为[ , ] 时， 定理 1 仍成立 .
2) 必需注意换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .
3) 换元公式也可反过来使用 , 即
5

3 5 1 2
2 dx dt dt 3 5 2 2 2 2 x 1 x t 1 t 1 3
ln | t t 1 |
2
2 5 3
ln( 2 3) ln 3 .
例5
设 f ( x) C( [a, a] )，证明：
(1) f ( x) 为偶函数，则 (2) f ( x) 为奇函数，则
2
1 0


4
.
有什么想法没有？
就是说，计算定积分时可以使用换元法 . 换元 时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到 原来的变量，直接往下计算并运用牛顿——莱布尼
兹公式便可得到定积分的结果 .
一、定积分的换元法 定理
设 (1) f ( x) C( [a, b] ) ;
(2) x (t ) C 1 ( [ , ] ) 且单调；
A R , A a , 且 f ( x) R( [a, A] ) . 记

a
f ( x) d x lim
A

A a
f ( x) d x ,
称之为 f ( x) 在 [a, ) 上的无穷积分 .
若式中的极限存在，则 称此无穷积分收敛，极 限值 即为无穷积分值；若式 中的极限不存在，则称 该无穷积
当 x : 0 8 时，t : 0 2 ，故
2 2 2 3t d x dx 2 t 01 3 x 0 1 t 30 1 t d x 2 1 3 (t 1 )dx 0 1 t
8
2 1 2 3[ t t ln(1 t )] C 0 2 3 ln 3
0

a2 2


2 0
(1 cos 2 t ) d t

2 0
y
y a x
2
2
a2 sin 2 t (t ) 2 2

a2
4
.
o
a x
例4 解
计算

3 5 1 2
dx . 2 x 1 x
令 x
1 dt ，则 d x 2 ， t t 1 3 5 且 x : 时，t : 2 ，故 2 5 3
满足有界条件的函数的积分，有时还需计算不满
足有界条件的函数在无穷区间上的积分. 这就需 要我们将定积分的概念及其计算方法进行推广. 我们将运用极限的方法来完成这个工作.
牛顿公式： 成立的条件：
记作
1：f(x)在[a,b]上是连续的（有界的） 2：f(x)的原函数F(X)存在 3： a,b是有限常量

0 a
f ( x) d x f (t )( d t ) f (t ) d t f ( x) d x .
a 0 0
0
a
a
于是

a a
f ( x) d x f ( x) d x f ( x) d x [ f ( x) f ( x)] d x.
分发散.
类似地可定义：
(1)
( 2)


b

f ( x) d x lim
f ( x) d x
c
B

b B
f ( x) d x
c
( B b) .
f ( x) d x
A

f ( x) d x
c B
lim
若
B
f ( x) d x lim
0
a
(2) 若 f ( x) 为奇函数，则 f ( x) －f ( x)，故有

a a
f ( x) d x 0 .
例6 证
n n 2 2 证明： sin x d x cos xd x. 0 0


令 x

2
t，则 d x d t，
且 x: 0

2
时，t :
0
b
(t ) (t )
或配元
f ( x) d x (令 x ห้องสมุดไป่ตู้ (t ) )
a
(t ) (t )
(t ) d (t )
配元不换限
4) 换元的规则、情况同不定积分 .
例2
dx 计算 . 3 0 1 x
8
8
dx .令 解 考虑 3 0 1 x
3
x t，则 x t 3 , d x 3t 2dt，

2 e x sin x d x
0

1 2 e x sin x d x
0
1 e x sin x


2 0
2 e x cos x d x
0

1 e 2 2 e x cos x d x
0
故
1 2 2 x 0 e cos x d x 2 ( e 1) .
2
1 x
2
1 0


4
.
例1 解
计算

1 0
1 x d x .
2
令 x sin t
0 x 1
0t

2
先用不定积分求被积函 数的一个原函数：
1 22 cos 22 t) dd tt xx 2 cos 2 t d t 2(1 (1 cos t) 11 ddxx 0 2 0
有机地结合起来，构成定积分自身的计算方法——定 积分的换元法和定积分的分部积分法.
第五章
第5节 定积分的换元法
第6节定积分的分部积分法
不定积分
换元积分法
分部积分法
定积分
换元积分法
分部积分法
一、定积分的换元法
二、定积分的分部积分法
例1 解
计算

1 0
1 x2 d x .
令 x sin t
先用不定积分求被积函 数的一个原函数：


例10 解
计算

e2
1
1 (ln x) 2 d x . x
x (ln x) 2 d x
1 1 2 e2 1 2

e2
1
1 (ln x) 2 d x x
e2 1
2 (ln x) 2 d x
2[ x (ln x) 2
1 2
e 1
2
x d (ln x) 2 ]
1
e2
1 2

a a a a
f ( x) d x 2 f ( x) d x .
0
a
f ( x) d x 0 .
a
证
因为

a a
f ( x) d x
0 a
f ( x) d x f ( x) d x ,
0
故令 x t，则 d x d t，且 x : a 0 时，t : a 0，从而
2[x (ln x)
1 2
1 2
2 e 1
2

2
e2
1
1 x 2(ln x) dx ] x
e2 1 2 1
1 2
2[ x (ln x) 2
e 1
2 (ln x) x
dx ]
例11 解
计算

e 1 e
| ln x | d x .

e 1 e
| ln x | d x 1 ( ln x) d x ln x d x
e 1
1
e
x ln x
2 (1
1 1e
1 d x x ln x 1 d x
e e 1