郑州轻工业学院2009-2010学年第二学期高等数学试卷A试卷号：A20100621（1）一、单项选择题（每题3分，共15分）1．设函数3()=f x x x +，则定积分22()=f x dx -⎰（ A ）(A) 0； (B) 8； (C)2()f x dx ⎰； (D) 202()f x dx ⎰．2．设D 是圆域221,x y +≤ 函数f 为D上的连续函数，则Df dxdy =⎰⎰( A )（A ）102()f d πρρρ⎰； （B ） 14()f d πρρρ⎰；（C ）1202()f d πρρ⎰； （D ） 04()f d ρπρρρ⎰．3．微分方程xxey y 2'2=-''的特解y *的形式为 ( A )（A ）xe b ax x 2)(+；（B ）xeb ax 2)(+；（C ）x xe 2；（D ）xe c bx ax 22)(++．4．曲面322211x xy xz y z ---=在点(3,1,-2)处的法线方程是( D )（A ）1831321211x y z +-+==-； （B ）31221211x y z --+==； （C ）1831321211x y z +-+==； （D ）31221211x y z --+==-． 5．下列级数中收敛的是 ( D )（A ）∑∞=11n nnn； （B ）∑∞=++1)2(1n n n n ； （C ）∑∞=⋅123n nn n ； （D ）24(1)(3)n n n ∞=-+∑． 二、填空题（每题3分，共15分）1．微分方程02=-'+''y y y 的特征方程为 220r r +-= ．2．设L 是曲线222x y a +=，则对弧长的曲线积分22)Lx y ds +=⎰（32a π．3．设()f x 是以2π为周期的函数，且0,0()1,0x f x x ππ-≤<⎧=⎨≤<⎩，若()S x 是()f x 的以2π为周期傅里叶级数的和函数，则(0)S = 1/2 ，(1)S = 1 ，(3)S π= 1/2 ．4．设函数sin 0()xt F x e dt =⎰，则'()F x =sin cos x e x ．5．如果幂级数(1)nn n a x ∞=-∑的收敛半径是1，则该级数在开区间(0,2)内绝对收敛．三、解答题（每题6分，共36分）1．计算定积分2()f x dx ⎰，其中)(x f =⎩⎨⎧-x x 22 2110≤<≤≤x x ．原式2122001()(2)f x dx x dx x dx ==+-⎰⎰⎰135=2326+-= 2．求微分方程1sin 'xy y x x+=的通解．法一：方程为一阶线性非其次微分方程，利用通解公式11sin ()dx dx x x x y e e dx C x -⎰⎰=+⎰ln ln sin ()x x x e e dx C x-=+⎰11(sin )(cos )x dx C x C x x=+=-+⎰ 法二：先求其次通解 111'y y dy dx x y x=-⇒=- 两边积分得 ln ||ln ||ln 'y x C =-+，即有 'C y x=… 常数变易法 令()u x y x =，则有 2'()()'xu x u x y x-=，代入微分方程得 21'()()()sin ''()sin xu x u x u x x y y u x x x x x-++==⇒= 所以 ()cos u x x C =-+，故通解为 cos x Cy x-+=3．求曲线232,,9x t t y t z t t =-==-上的点，使曲线在该点处的切线垂直于平面2310x y z --+=。
在t 处的切向量为2(22,1,39)T t t =--u r ，平面的法向量为(2,1,3)n =--r因为 ||T n u r r ，所以222139213t t --==--，解得 2t =，故得所求点为(0,2,10)-。
4．设函数)ln(222z y x u ++=，求,u u ux y z∂∂∂∂∂∂，及du 。
222222222222=,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂==∂++∂++∂++， ， 所以 2222()xdx ydy zdz du x y z ++=++。
5．交换二次积分22sin yxdy dx xππ⎰⎰的积分次序，并计算其值。
222000sin sin x yx x dy dx dx dy x xπππ=⎰⎰⎰⎰ []2200sin cos 1xdx x ππ==-=⎰ 6．计算⎰-+++-Ldy y x dx y x )653()42(，其中L 为点)0,1(),1,1(),0,0(B A O 所围成的三角形的边界（按逆时针方向）．24,356,P x y Q x y =-+=+-4Q Px y∂∂-=∂∂， 利用格林公式 原式14422Ddxdy ==⨯=⎰⎰， 四、（本题满分7分）用拉格朗日乘数法求解下面的问题：隧道截面的上部为半圆，下部为矩形，若隧道截面的周长L 固定，问矩形的边长各为多少时，隧道截面的面积最大？ 法一：设隧道截面的宽为2x ，矩形的高为y ，则隧道截面的面积2122A xy x π=+，且 22x y x L π++= ，令212(22)2F xy x x y x L πλπ=++++-， 则，解得 4Lx y π==+ ， 由于实际问题必定存在最大值，因此当隧道截面的宽为24L π+，矩形的高为4Lπ+时，隧道的截面面积最大。
法二：设隧道截面的宽为x ，矩形的高为y ，则隧道截面的面积218A xy x π=+，且 122x y x L π++=令211(2)82F xy x x y x L πλπ=++++-，则11(1)042201202xy F y x F x F x y x L λπλπλπ⎧=+++=⎪⎪=+=⎨⎪⎪=++-=⎩， 解得 2244L Lx y x y ππ=⇒==++， ， 由于实际问题必定存在最大值，因此当隧道截面的宽为24L π+，矩形的高为4Lπ+时，隧道的截面面积最大。
五、（本题满分10分） 过坐标原点作曲线x y ln =的切线，该切线与曲线x y ln =以及x 轴围成平面图形D ，求：（1）D 的面积A ； （2）D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积V ．(1)设切点的横坐标为0x ，则曲线x y ln =在点)ln (0,0x x 处的切线方程为)(1ln 000x x x x y -+=， 由该切线过原点知 01ln 0=-x ， 可得e x =0，所以该切线方程为 x e y 1=， 所求平面图形的面积为 ⎰-=-=10121)(e dy ey e A y ．(2)由于1ln ,y y x x e y x x ey e=⇒==⇒=，所以 112200()()y y V e dy ey dy ππ=-⎰⎰ 21220112362y e e e πππ⎛⎫⎡⎤=-=- ⎪⎣⎦⎝⎭六、（本题满分7分） 计算xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是锥面22z x y =+ 被平面1z =所截的有限部分曲面的下侧．,,,3P Q RP x Q y R z x y z∂∂∂===++=∂∂∂ 补上平面221:11)z x y ∑=+≤（，取上则，由高斯公式原式11xdydz ydzdx zdxdy xdydz ydzdx zdxdy ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰1112033130zxyD D dv zdxdy dz dxdy dxdy z dz πππΩ∑=-=-==-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰七、（本题满分10分）试求幂级数1n n x n ∞=∑的收敛域及和函数，并求常数项级数112n n n ∞=∑的和．1lim lim 111n n n n a n R a n ρ+→∞→∞===⇒=+ 1,x =-级数1(1)n n n ∞=-∑收敛，1,x =级数11n n ∞=∑发散，故收敛域为[1,1)- 设1()n n x S x n ∞==∑，两边求导得111'(),||11n n S x x x x ∞-===<-∑，两边积分得 0011()(0)(1)ln(1)11xx S x S dx d x x x x -==--=----⎰⎰， 即()ln(1),[1,1)S x x x =--∈-，而级数1111112=(),[1,1)222nn n n S n n ∞∞===∈-∑∑（），故1111=()=ln(1)ln 2222nn S n ∞=--=∑。