第十六章 二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3、掌握二次根式的基本性质：)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质． 难点：综合运用性质)0(0≥≥a a 和)0()(2≥=a a a 。

三、学习过程（一）复习回顾：（1）已知a x =2，那么a 是x 的_____;x 是a 的____, 记为____,a 一定是____数。

（2）4的算术平方根为2，用式子表示为 =______；正数a 的算术平方根为_____，0的算术平方根为____；式子)0(0≥≥a a 的意义是 。

（二）自主学习(1)16的平方根是 ；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h (单位：米)满足关系式25t h =。

如果用含h 的式子表示t ，则t = ；(3)圆的面积为S ，则圆的半径是 ；(4)正方形的面积为3-b ，则边长为 。

思考：16，5h ，πs ,3-b 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征. 定义: 一般地我们把形如a （0≥a ）叫做二次根式，a 叫做______1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？3，16-，34)0(3≥a a ，12+x 42、当a 为正数时a 指a 的 ，而0的算术平方根是 ，负数 ，只有非负数a 才有算术平方根。

所以，在二次根式a 中，字母a 必须满足 , a 才有意义。

3、根据算术平方根意义计算 ： (1) 2)4((2) （3）2)5.0( （4）2)31( 根据计算结果，你能得出结论：，其中0≥a , 4、由公式)0()(2≥=a a a ，我们可以得到公式a =2)(a ,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。

如(5)2=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(5)2. 练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6 0.35(2)在实数围因式分解72-x 4a 2-11（三）合作探究例：当x 是怎样的实数时，2-x 在实数围有意义？解：由02≥-x ，得2≥x当2≥x 时，2-x 在实数围有意义。

练习：1、x 取何值时，下列各二次根式有意义？①43-x ③ 2、（1a 的值为___________．（2）若在实数围有意义，则x 为（ ）。

A.正数B.负数C.非负数D.非正数3、(1)在式子xx +-121中，x 的取值围是____________. ________)(2=a x--212)3((2)已知42-x +y x +2＝0，则=-y x _____________.(3)已知233--+-=x x y ,则x y = _____________。

（四）达标测试(一)填空题：1、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2532、若0112=-+-y x ，那么x = ，y = 。

3、当x =时，代数式有最小值，其最小值是 。

4、在实数围因式分解：（1）-=-229x x ( )2=（x + ）(y - )（2）-=-223x x ( )2=（x + ）(y - )（二）选择题：1、一个数的算术平方根是a ，比这个数大3的数为（ ）A 、3+aB 、3-aC 、3+aD 、32+a2、二次根式1-a 中，字母a 的取值围是（ ）A 、 a ＜lB 、a ≤1C 、a ≥1D 、a ＞12、已知03=+x 则x 的值为A 、 x >-3B 、x <-3C 、x =-3D 、 x 的值不能确定3、下列计算中，不正确的是 （ ）。

A 、3= 2)3(B 、 0.5=2)5.0(C 、6.06.02= D 、35)75(2=二次根式(2)一、学习目标1、掌握二次根式的基本性质：a a =22、能利用上述性质对二次根式进行化简.二、学习重点、难点 重点：二次根式的性质a a =2． 难点：综合运用性质a a =2进行化简和计算。

三、学习过程（一）复习引入：（1）什么是二次根式，它有哪些性质？（2）二次根式52-x 有意义，则x 。

（3）在实数围因式分解：-=-226x x ( )2=（x + ）(y - )（二）自主学习1、计算：=24= =220 观察其结果与根号幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时2、计算：-2)4(= 观察其结果与根号幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时3、计算：=20 当==2,0a a 时（三）合作交流1、归纳总结：⎪⎩⎪⎨⎧<->==00002a a a a a a2、化简下列各式：（1）、=23.0 （2）、=-2)5.0(（3）、=-2)6( （4）、()22a = （0<a ）3、讨论二次根式的性质)0()(2≥=a a a 与a a =2有什么区别与联系。

（四）巩固练习化简下列各式：（1）)0(42≥x x (2) 4x （3）)3()3(2≥-a a （4）()232+x （x ＜-2）注：利用a a =2可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a ”的取值。

（五）达标测试：A 组1、填空：（1）、2)12(-x -2)32(-x )2(≥x =_________. （2）、2)4(-π=（3）a 、b 、c 为三角形的三条边，则=--+-+c a b c b a 2)(________.2、已知2＜x ＜3，化简：3)2(2-+-x xB 组3 已知0＜x ＜1，化简：4)1(2+-x x －4)1(2-+xx 4 边长为a 的正方形桌面，正中间有一个边长为3a 的 正方形方孔．若沿图中虚线锯开，可以拼成一个新的正方形桌面．你会拼吗？试求出新的正方形边长．5、把()212--x x 的根号外的()x -2适当变形后移入根号，得（ ） A 、x -2B 、2-x C 、x --2 D 、2--x6、 若二次根式26x -+有意义，化简│x -4│-│7-x │。

二次根式的乘法一、学习目标理解a ·b ＝ab （a ≥0，b ≥0），ab =a ·b （a ≥0，b ≥0），并利用它们进行计算和化简二、学习重点、难点重点： 掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点： 正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简二次根式。

三、学习过程（一）复习引入1．填空：（1；（2=____，；（二）、探索新知交流总结规律：一般地，对二次根式的乘法规定为反过来例1、计算（1 （2（3）×（4 例2、化简（1（2（3（4（5 巩固练习（1）计算： ①②55×215 ③312a ·231ay（2）化简 （三）、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=（2=4（四）展示反馈展示学习成果后，讨论：对于9×27的运算中不必把它变成243 后再进行计算，你有什么好办法？注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数进行因数或因式分解。

（2）分解后把能开尽方的开出来。

（五）达标测试：A 组1、选择题（1）等式1112-=-•+x x x 成立的条件是（ ）A ．x ≥1B ．x ≥-1C ．-1≤x ≤1D ．x ≥1或x ≤-1（2）二次根式6)2(2⨯-的计算结果是（ ）A ．26B ．-26C ．6D ．122、化简：（1）360； （2）432x ；3、计算：（1）3018⨯； （2）7523⨯； B 组1、选择题 若04144222=+-++++-c c b b a ，则c a b ••2=（ ） A ．4 B ．2 C ．-2 D ．12、计算：（1）68×（-26）； （2；3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号。

(1) -332 (2) aa 212- 二次根式的除法一、学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质化简二次根式。

三、学习过程（一）复习回顾1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算：（1）38×（-46）（2）3ab⨯612ab；规律：3、填空：（1（2=____；一般地，对二次根式的除法规定：（二）、巩固练习（2（3（41、计算：（12、化简：（1（2（3（4注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，被开方数之商为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。

（三）拓展延伸====数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

利用上述方法化简：(1)=____(３４=__ （四）达标测试：A 组1、选择题（1）． A ．27．27CD．7 （2） A ．-3 B ．．．2、计算：（1）482（2） x x 823（3）16141÷ （4B 组 用两种方法计算：（1（2）346 最简二次根式一、学习目标1、理解最简二次根式的概念。

2、把二次根式化成最简二次根式．3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。

二、学习重点、难点重点：最简二次根式的运用。

难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。

三、学习过程（一）复习回顾1、化简（1）496x = （2=（3= (4= （5= 2、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要什么？（二）自主学习观察上面计算1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．2、化简:(1) 208 （三）合作交流1、计算： 521312321⨯÷ 2、比较下列数的大小（1）8.2与432 （2）7667--与 注：1、常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。

2、判断是否为最简二次根式的两条标准：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中所有因数或因式的幂的指数都小于2．（四）拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 121212)12)(12()12(1121-=--=-+-⨯=+，232323)23)(23()23(1231-=--=-+-⨯=+，同理可得：321- =32-，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 （++++231121……+200820091+）（12009+）的值．（五）达标测试： 1、选择题（1（y >0）是二次根式，化为最简二次根式是（ ）．A（y >0） B y >0） C （y >0） D ．以上都不对（2）化简二次根式22a a a +-的结果是 A 、2--a B 、-2--a C 、2-a D 、-2-a 2、填空：（1．（x ≥0） （2）已知251-=x ，则xx 1-的值等于__________. 3、计算：（1）2147431⨯÷ (2) 21541)74181(2133÷-⨯4、计算：ab b a ab b 3)23(235÷-•（a >0,b >0）5、若x 、y 为实数，且y=12x +，求y x y x -•+的值。