ay vtu x vv y vw vz
azw t u w xv w yw w z
14
• 定常流与非定常流
概念：
定常流动： 0 t
非定常流动
一元流动
二元流动（平面流动） 三元流动（空间流动）
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• 例题
V xi y1(x2y2) j 2
即 ux,yv1(x2y2) 2
a x u t u u x v u y x y y 1 2 ( x 2 y 2 ) x 1 2 x ( x 2 y 2 )
2
流体运动学
研究方法：从理想流体出发，推导其基本理论， 再根据实际流体的条件对其应用加以修正。
流场：流体占据的全部空间范围。经过管道或明 渠的流场叫“管道流场”或“径流流场”；绕过物体 的流场叫“绕流流场”
3
§3-1 描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为 由无数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地 充满它所占据的空间。我们把流体质点运动的全部空 间称为流场。
Q dA
A
Qm dA
A
平均流速： 流量与过流断面的面积之比。
V Q A
• 平均流速是一个假想的流速，即假定在有效截面上各点都以 相同的平均流速流过，这时通过该有效截面上的体积流量仍与 各点以真实流速流动时所得到的体积流量相同。
➢ 在运动流体的整个空间，可绘出一系列的流线，称为流 线簇。流线簇构成的流线图称为流谱。
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钝体后流线图
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汽车外部空气流线
23
流线的性质:
1. 流线簇的疏密程度反映了该时刻流场中各点速度 的变化，流线密集的地方流动速度较大，流线稀 疏的地方速度较小。
2. 对于定常流，流线的形状和位置不随时间而变化。 3. 定常流时，流线和迹线重合。 4. 流线不能相交，不能折转，只能是一条光滑曲线。
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图示为t 时刻经过点0的流线,以及t 时刻经过点
0的迹线.
对定常流动，迹线和流线重合。
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• 迹线和流线的区别：
• 迹线是流体质点在t0—t时间段的运动轨迹，是实在的； 流线是某一时刻流场中连续质点运动的方向和速度大小 的假象线。 • 迹线随质点而变，一个质点对应一条迹线；流线随时间 而变与质点无关。 • 迹线可以相交，而流线不能相交。对于定常流迹线与流 线重合。
V 平行于
ds，两矢量的分量对应成比例:
dx dy dz 称为流线方程。 u vw
* 思考：和迹线方程的比较？
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例3-1
已知u=-(y+t2)，v=x+t, w=0
求t=2，经过点（0，0）的流线
解: t=2时，u=－(y+4)，v=x+2，w=0
流线方程 d z =0
dx dy (y4) x2
图 3-1 中间有收缩形的变截面管道内的流动
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注意：流体质点和空间点是两个截然不同的概念，
空间点指固定在流场中的一些点 流体质点不断流过空间点 空间点上的速度指流体质点正好流过此空间点时的速度。
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加速度的投影值：
a a x i a y j a zk
u u u u
axt
u v w x y z
这种研究方法，最基本以研究个别流体质点的运动为基础； 研究每个流体质点的运动情况，并给出其运动轨迹。
在理论力学中应用：
设某质点的轨迹为：x=x(t), y=y(t), z=z(t)
速度： ux, vy, w z
t
t
t
加速度： ax t22 x,
ay 2 t2 y,
az t22 z
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拉格朗日法
注意到 因此
lt i0m x t u , lt i0m y t v , lt i0m z t w
a d V V u V v V w V V ( V ) V dt t x y z t
右边第一项为当地加速度，又称当地导数、时变加速度或局部 加速度，后三项为迁移加速度，又称迁移导数、对流加速度。
Qm ndA
A
要计算总流的流量，可以在总流中取一 个横截面，则此横截面上的流量就是总 流的流量。
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过流断面
在流管内任取一微元面dA，过其上的每一点作流线， 叫微元流束，如果dA与微元流束的每一根流线都正交， 则dA叫做有效流通截面（过流断面、有效截面）。
有效截面
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实际计算中，常采用过流断面来计算总流流量
6
欧拉法
欧拉法，又称局部法，是从分析流场中每一个固定空 间点上的流体质点的运动着手，来研究整个流体的运 动，即研究流体质点在通过某一空间点时流动参数随 时间的变化规律。所以流体质点的流动是空间点坐标 （x，y，z）和时间t的函数，
7
欧拉法
欧拉法：在固定的座标系中，研究空间某个点的流动参数 （速度、压力、密度），并给出这些参数与空间点和时间 的分布：
速度为： V 1 ( x x , y y , z z , t t )
V0和V1的关系为
V 1 V 0 V t t V x x V y y V z z 9
加速度（质点导数）
a limV1V0
(to) t
而
V 1 V 0 V t t V x x V y y V z z
0 0
积分，得
x
A
e
x
p
1 2
t
2
y
B
e
x
p
1 2
t
2
设t=t0时，x=x0，y=y0，可求得积分常数A，B，由以上两 式消去参数t，即可得过点（x0，y0）的迹线方程为
xy x0y0 由此可见，对本例中的非定常流，不同时刻过空间固定点 （X0，y0）的流线与迹线是重合的。
原因分析：
第三章 理想流体动力学基本方程
理想流体： 不计粘性切应力的运动流体
一元流动： 流动参数主要跟一个座标方向 有关的流动
本章讨论理想流体的基本方程及 在一元流动中的基本应用
1
流体运动学
流体动力学是研究流体在运动中其流动参量之间 的相互关系，以及引起运动的原因和流体对周围固体 物体的影响。
流动参量：压力 密度 表面张力 速度 应力 作用力 粘度 力矩 动量 能量
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§3-2 迹线、流线与流管
1、迹线和流线
迹线：空间某一流体质点的运动轨迹线
例如在流动的水面上撒一片木屑，木屑随水流漂流的途 径就是某一水点的运动轨迹，也就是迹线。
• 流场中所有的流体质点都有自己的迹线，迹线是流体运动的 一种几何表示，可以用它来直观形象地分析流体的运动，清楚 地看出质点的运动情况。 • 迹线的研究是属于拉格朗日法的内容，迹线表示同一流体质 点在不同时刻所形成的曲线。
由于流体是连续介质，所以描述流体运动的各物 理量(如速度、加速度等)均应是空间点的坐标和时间的 连续函数。根据着眼点的不同，流体力学中研究流体 的运动有两种不同的方法，一种是拉格朗日 （Lagrange）方法，另一种是欧拉（Euler）方法。
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拉格朗日法：
拉格朗日方法又称随体法，是从分析流场中个别流体质点 着手来研究整个流体运动的。
用α表示空间点（x0，y0）处流体速度与x轴的夹角，则
tg1u vxx0 0,,yy0 0,,tttg1xy0 0
由此可见，虽然流速u，v既是空间坐标的函数，也是时 间的函数，但速度的方向却只是空间坐标的函数，这就 导致了其流线与迹线有与定常流相似的性质。
流管和流束的概念
流管:在一条封闭曲线上的每一点作流线,这些流线所 围成的管状面称为流管.
a y v t u x v v y v 0 x ( y x ) 1 2 ( x 2 y 2 ) ( y ) 1 2 y ( y 2 x 2 )
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欧拉法与拉格朗日法比较
★ 拉格朗日法可以描述流场中各个质点的运动轨迹和轨 迹上运动参量的变化，但是流体具有易流动性，对每一个 质点的跟踪十分困难。 ★ 欧拉法给出不同时刻流场中各个空间点的流动参量的 分布，通过连续函数的理论对流场进行分析和计算；不 注重各个质点的运动轨迹。
速度：u=u (x, y, z, t)， v=v (x, y, z, t)， w=w (x, y, z, t)
压力：p=p (x, y, z, t) 密度：ρ=ρ(x, y, z, t)
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• 速度分布
设某个质点，t 时刻位于（x, y, z），
速度为：
V0(x,y,z,t)
t+Δt 时刻位于(x+Δx, y+Δy, z+Δz, t+Δt),
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欧拉法与拉格朗日法比较
由上述可知，采用欧拉法描述流体的流动，常常比采用拉格 朗日法优越，其原因有三。 利用欧拉法得到的是场，便于采用场论这一数学工具来研究。 采用欧拉法，加速度是一阶导数，而拉格朗日法，加速度是 二阶导数，所得的运动微分方程分别是一阶偏微分方程和二 阶偏微分方程，在数学上一阶偏微分方程比二阶偏微分方程 求解容易。 在工程实际中，并不关心每一质点的来龙去脉。 基于上述三点原因，欧拉法在流体力学研究中广泛被采用。 当然拉格朗日法在研究爆炸现象以及计算流体力学的某些问 题中还是方便的。
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烟火迹线
彗星迹线
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流线: 在固定时刻t, 设流动空间中有某曲线, 该曲线上每 一点的切线都与该点的流体速度方向相同, 则称此 曲线称为流线。
例如在流动水面上同时撤一大片木屑，这时可看到这些木屑将连 成若干条曲线，每一条曲线表示在同一瞬时各水点的流动方向线 就是流线。
• 流线可以形象地给出流场的流动状态。通过流线，可以清 楚地看出某时刻流场中各点的速度方向，由流线的密集程度， 也可以判定出速度的大小。 • 流线的引入是欧拉法的研究特点。
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当地加速度是由于某一空间点上的流体质点的速度随 时间的变化而产生的