高中数学双曲线经典例题一、双曲线定义及标准方程1．已知两圆 C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣ 4）2+y2=2，动圆 M 与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是（）A．x=0B．C．D．2、求适合下列条件的双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程．5、已知 P 是双曲线=1 上一点， F1，F2是双曲线的两个焦点，若| PF1 2| =17，则| PF | 的值为．二、离心率1、已知点 F 、F 分别是双曲线的两个焦点， P 为该双曲线上一点，1 2若△ PF1 2F 为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．2、设 F1，F2是双曲线 C：（ a＞0，b＞0）的两个焦点．若在 C上存在一点 P．使PF1 2 1 2⊥PF ，且∠ PF F =30°，则 C的离心率为．3、双曲线的焦距为 2c，直线 l 过点（ a，0）和（0，b），且点（ 1，0）到直线 l 的距离与点（﹣ 1，0）到直线 l 的距离之和．则双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．3、焦点三角形1、设 P 是双曲线 x2﹣=1 的右支上的动点， F 为双曲线的右焦点，已知 A（3，1），则 |PA|+|PF| 的最小值为．2、．已知 F1，F2分别是双曲线 3x2﹣5y2=75 的左右焦点， P 是双曲线上的一点，且∠ F1PF2 =120°，求△ F1 PF2的面积．3、已知双曲线焦点在y 轴上， F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的 2 倍．求：（1）双曲线的渐近线方程；（2）若 P 为双曲线上一点，且满足∠ F1PF2=60°，求△ PF1F2的面积．4、直线与双曲线的位置关系已知过点 P（1，1）的直线 L 与双曲线只有一个公共点，则直线 L 的斜率 k= ＿＿＿＿5、综合题型如图，已知椭圆x 2y221(a>b>0)的离心率为2，以该椭圆上的点和a2 b2椭圆的左、右焦点F1、F2 为顶点的三角形的周长为4( 2＋1) ，一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 P 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 PF1和 PF2与椭圆的交点分别为 A、B和 C、D.(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线 PF1、PF2的斜率分别为 k1、k2，证明： k1·k2＝1；(3)是否存在常数λ，使得 |AB| ＋|CD| ＝λ |AB| ·|CD| 恒成立？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．高中数学双曲线经典例题参考答案与试题解析一．选择题（共 2 小题）1．（2015 秋?洛阳校级期末）已知两圆 C 1：（x+4）2+y 2=2，C 2：（x ﹣4）2+y 2=2， 动圆 M 与两圆 C 1， 2 都相切，则动圆圆心 M 的轨迹方程是（ ）C A ．x=0 B ．C ．D ．【解答】解：由题意，①若两定圆与动圆相外切或都内切， 即两圆 C 1：（2 2， x+4 ）+y=2C 2：（x ﹣4）2+y 2=2，动圆 M 与两圆 C 1，C 2 都相切，∴ | MC 1| =| MC 2| ，即 M 点在线段 C 1， C 2 的垂直平分线上又 C 1，C 2 的坐标分别为（﹣ 4，0）与（ 4， 0）∴其垂直平分线为 y 轴，∴动圆圆心 M 的轨迹方程是 x=0②若一内切一外切，不妨令与圆C 1：（ x+4）2+y 2=2 内切，与圆 C 2 ：（x ﹣4）2+y 2=2外切，则有 M 到（ 4，0）的距离减到（﹣ 4， 0）的距离的差是 2，由双曲线的定义知，点 M 的轨迹是以（﹣ 4，0）与（ 4， 0）为焦点，以为实半轴长的双曲线，故可得 b 2=c 2﹣a 2=14，故此双曲线的方程为综①②知，动圆 M 的轨迹方程为应选 D ．2．（2014?齐齐哈尔三模）双曲线 的焦距为 2c ，直线 l过点（ a ，0）和（ 0，b ），且点（ 1，0）到直线 l 的距离与点（﹣ 1，0）到直线 l的距离之和．则双曲线的离心率 e 的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：直线 l 的方程为+=1，即 bx+ay﹣ab=0．由点到直线的距离公式，且 a＞1，得到点（ 1，0）到直线 l 的距离，同理得到点（﹣ 1，0）到直线 l 的距离 .，．由，得．．于是得5≥2e2，即4e4﹣25e2+25≤0．解不等式，得≤e2≤ 5．由于 e＞1＞0，所以 e 的取值范围是．故选 D．二．填空题（共 5 小题）3．（2013 秋?城区校级期末）已知P 是双曲线=1 上一点， F1，F2是双曲线的两个焦点，若 | PF1 ，则 2 的值为33 ．| =17 | PF |【解答】解：由双曲线方程知，a=8，b=6，则c==10．∵ P 是双曲线上一点，∴|| PF1| ﹣ | PF2||=2a=16，又 | PF1| =17，∴| PF2| =1 或 | PF2|=33．又 | PF2| ≥c﹣a=2，∴| PF2| =33．故答案为 334．（2008 秋?海淀区期末）已知点 F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P 为该双曲线上一点，若△ PF1 2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为．F【解答】解：由题意，角 F1或角 F2为直角，不妨令角F2为直角，双曲线方程﹣=1此时 P（c，y），代入双曲线方程﹣=1解得 y=又三角形 PF1F2为等腰三角形得PF2=F1F2，故得=2c，即 2ac=c2﹣a2，即e2﹣2e﹣1=0，解得 e=1故双曲线的离心率是故答案为．．（2014 秋象山县校级月考）设P是双曲线x2﹣ =1 的右支上的动点， F 为5 ?双曲线的右焦点，已知 A（3， 1），则 | PA|+| PF| 的最小值为﹣2 ．【解答】解：设双曲线左焦点为 F2，由双曲线的定义可得 | PF2﹣，即 2 ﹣，| | PF| =2a | PF| =| PF | 2a则| PA|+| PF| =| PF2|+| PA| ﹣2a≥| F2A| ﹣2a，当P、F2、A 三点共线时， | PF2|+| PA| 有最小值，此时 F2（﹣ 2，0）、 A（ 3， 1），则 | PF2 2，|+| PA| =| AF | =而对于这个双曲线， 2a=2，所以最小值为﹣ 2．故答案为：﹣2．6．（2011 秋 ?张家港市校级期末）与双曲线 有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 ．【解答】 解：设所求双曲线的方程为，∵已知双曲线的焦点为（± ，0）∴所求双曲线中的 c 2=5①∵双曲线过点∴②且 c 2=a 2+b 2③联立①②③解得 a 2=4， b 2=1，∴双曲线的方程为．故答案为：．7．（ 2013?湖南）设 F 1，F 2 是双曲线 C ： （a ＞0，b ＞0）的两个焦点．若在 C 上存在一点 P ．使 PF 1⊥ 2，且∠ 1 2 °，则 C 的离心率为．PF PF F =30【解答】 解：依题意可知∠ F 1PF 2=90°|F 1F 2| =2c ，∴ | PF 1| = | F 1F 2| = c ， | PF 2| = | F 1F 2| =c ，由双曲线定义可知 | PF 1| ﹣| PF 2| =2a=（ ﹣1）c∴ e= =．故答案为：．三．解答题（共 4 小题）8．已知 F 1，F 2 分别是双曲线 3x 2﹣5y 2 =75 的左右焦点， P 是双曲线上的一点，且∠ F 1PF 2=120°，求△ F 1PF 2 的面积．【解答】 解：由题意，双曲线 3x 2﹣ 5y2，可化为 =1=75由 余 弦 定 理 可 得160=PF 2+PF 22 ﹣ 2PF 1?PF 2cos120 °= （ PF 1 ﹣ PF 2 ）2+3PF 1 ?PF 2=100+3PF 1?PF 2，∴ PF 1?PF 2=20．△ F1PF2= PF 1 2 ° × ×=5 ． S ?PF sin120 = 20故答案为： A ．9．（2014 春?湄潭县校级期中）已知双曲线焦点在 y 轴上， F 1， F 2 为其焦点，焦距为 10，焦距是实轴长的 2 倍．求：（ 1）双曲线的渐近线方程；（ 2）若 P 为双曲线上一点，且满足∠ F 1PF 2=60°，求△ PF 1F 2 的面积．【解答】 解：（1）设双曲线方程为（ a ＞ 0， b ＞ 0），则∵焦距是实轴长的 2 倍，∴ c=2a ，∴ b== a ，∴双曲线的渐近线方程为 y=±x ；（ 2 ） 由 余 弦 定 理 可 得 4c 2=PF 1 2+PF 22 ﹣ 2PF 1?PF 2cos60 °=（ PF 1 ﹣ PF 2 ）2+PF 1?PF 2=4a 2+PF 1?PF 2，∵焦距为 10，∴ 2c=10，2a=5∴ PF 1?PF 2=75．∴ S △ F1PF2= PF 1 2°=． ?PF sin60 = ?75?10．（ 2008 秋?岳阳校级期末）求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和 B （﹣ 2 ，）两点的双曲线的标准方程．【解答】解：设所求双曲线方程为： mx2﹣ ny2，（mn ＞），=1 0因为点 A（，﹣ 2）和 B（﹣ 2 ，）在双曲线上，所以可得：，解得，故所求双曲线方程为．11．（ 2009 秋?天心区校级期末）求适合下列条件的双曲线的标准方程：（ 1）焦点在x 轴上，虚轴长为12，离心率为；（ 2）顶点间的距离为6，渐近线方程为．【解答】解：（1）焦点在 x 轴上，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得解得 a=8， c=10．∴b2=c2﹣ a2=100﹣ 64=36．所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为．（ 2）当焦点在 x 轴上时，设所求双曲线的方程为=1由题意，得解得 a=3，b= ．所以焦点在 x 轴上的双曲线的方程为．同理可求当焦点在y 轴上双曲线的方程为．。