第3章习题解答3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度：(1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=；(3)()2,,sin z A B z Φρϕρϕρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθϕθϕ=。

解：已知空间的电位分布，由E Φ=-∇和20/Φρε∇=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。

(1) ()2x E e Ax B Φ=-∇=-+ 0202εερA -=Φ∇-= (2) ()x y z E A e yz e xz e xy Φ=-∇=-++ 020=Φ∇-=ερ (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρϕΦρϕρϕρ⎡⎤=-∇=-+++⎣⎦20004sin sin 3sin BzBz A A A ρεΦεϕϕεϕρρ⎛⎫⎛⎫=-∇=-+-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θϕΦθϕθϕϕ=-∇=-+-200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θϕϕρεΦεθϕθθ⎛⎫=-∇=-+- ⎪⎝⎭3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。

试求球心处的电位。

解：上顶面在球心产生的电位为22001111100()()22S S d R d R d ρρΦεε=+-=- 下顶面在球心产生的电位为22002222200()()22S S d R d R d ρρΦεε=+-=- 侧面在球心产生的电位为030014π4πS S SSRRρρΦεε==⎰式中212124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。

因此球心总电位为1230S R ρΦΦΦΦε=++=3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。

已知0z >时，201050x y z E e e e =-+V /m 。

试求0z <时的D 。

解：由电场切向分量连续的边界条件可得1t 2t E E =⇒ 000520510x y z D D εε<=⨯=-⨯ 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 1n 2nD D =⇒ 050z z D <=于是有0001005050x y z z D e e e εε<=-+3.9 如题 3.9图所示，有一厚度为2d 的无限大平面层，其中充满了密度为()0πcos xx dρρ=的体电荷。

若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。

解：由对称性可知0y zΦΦ∂∂==∂∂，即222222222d d x y z x ΦΦΦΦΦ∂∂∂∇=++=∂∂∂。

设各区域中的电位和电场强度分别为1Φ，2Φ，3Φ和1E ，2E，3E 。

由电位所满足的微分方程2012d πcos d x x d ρΦε⎛⎫=- ⎪⎝⎭222d 0d x Φ= 232d 0d x Φ= 解得011d πsin d πd x C x d ρΦε⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭ 22d d C xΦ=33d d C x Φ= 201112πcos πd x C x D d ρΦε⎛⎫=++ ⎪⎝⎭222C x D Φ=+ 333C x D Φ=+由于理想介质分界面没有面电荷，所以边界条件为d x =时 12ΦΦ= 12d d d d x xΦΦεε= d x -=时 13ΦΦ= 310d d d d x xΦΦεε= 又根据对称性可知，在0=x 的平面上，电场强度是为零的，即0=x 时，1d 0d xΦ=。

最后再选择零电位参考点使得0=x 时，()100Φ=。

联立解得0321===C C C 2012πd D ρε=- 202322πd D D ρε==-。

只要利用d d xE e xΦ=-∇Φ=-就可以得到 d x -<时， 20322πd ρΦε=- 33d 0d x E e xΦ=-= d x d ≤≤-时 2200122πcos ππd x d d ρρΦεε⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 011d πsin d πx x d x E e e x d ρΦε⎛⎫=-= ⎪⎝⎭d x >时， 20222πd ρΦε=- 22d 0d x E e xΦ=-= ✶ 选择不同的零电位参考点，得到的电位不同，但电场强度仍是相同的。

✶ 根据对称性只需求出0>x 的解，即1Φ和23ΦΦ=。

3.10 位于0x =和x d =处的两个无限大导电平面间充满了()01x d ρρ=+的体电荷。

若将0x =处的导电平板接地，而将x d =处的导电平板加上电压0U 。

试求板间的电位分布及电场强度为零的位置。

解：由于无限大导体极板之间电荷分布是只与x 有关，忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，且满足一维泊松方程2020d (1)d x x dρΦε=-+ 其通解为32001200()62x x x C x C d ρρΦεε=--++ 由(0)0Φ= ⇒ 02=C 而由0()d U Φ= ⇒ 000132ερdd U C += 因此板间电位分布为3200000002()623U d x x x x d dρρρΦεεε⎛⎫=--++ ⎪⎝⎭ 板间电场强度为200000002()23x U d E e x x dd ρρρΦεεε⎡⎤=-∇=+-+⎢⎥⎣⎦从该式可以求出电场强度为零的位置为200000220000000000024()23224 1()23U dd d U d b b ac x d d a d d dρρρρεεεεερρρεε-±++-±-===-±++由于我们是讨论极板内电场强度，因此零点位置为)32(2100000ερρεdd U d d d x +++-= 3.11 如题3.11图所示的平板电容器中，分别以两种不同的方式填充两种不同的介质1ε和2ε。

当两极板之间外加电压0U 时，试求电容器中电位和电场的分布以及电容器的电容。

解：对于图a ：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，均满足一维拉普拉斯方程。

且由介质分界面的边界条件可知，两种介质中的电位分布是相同的，其通解为Cx D Φ=+根据已知条件00x Φ==和02x d U Φ==，解得0D =和2U C d=，即平板电容器中的电位分布为 02U x dΦ=根据E Φ=-∇，可以得到平板电容器中的电场分布为0d d 2x x U E e e x dΦΦ=-∇=-=-对0=x 平板上n x e e =，面电荷密度分别为 ()01n n 02 2 2S U y S de D e E U y S d ερεε⎧-∈⎪⎪=⋅=⋅=⎨⎪-∈⎪⎩上下总电量为()0012120222U U SQ S S U d d dεεεε=-⋅-=-+ 电容器的电容为()1202Q S C U dεε==+ 对于图b ：忽略边缘效应，可以认为电位分布也只与x 有关，均满足一维拉普拉斯方程。

两种介质中的电位分布的通解可以分别设为111C x D Φ=+ 和 222C x D Φ=+根据已知条件100x Φ==和202x dU Φ==，以及分界面处的边界条件12x d x d ΦΦ===和12x dx dxxΦΦ==∂∂=∂∂可以解得20112U x d εΦεε=+ 和 202012U x dU dεΦεε-=++ 根据E Φ=-∇，可以得到平板电容器中两种介质中的电场分布为0121112d d xx U E e e x d ΦεΦεε=-∇=-=-+ 和 0212212d d x x U E e e x dΦεΦεε=-∇=-=-+ 对0=x 平板上n x e e =，面电荷密度为()012n n 112 S xU e D e E e dεερεεε=⋅=⋅=-+总电量为 1201222S SQ S U d εερεε=⋅=-+电容器的电容为 120122Q SC U dεεεε==+3.12 已知在半径为a 的无限长圆柱形体内均匀分布着电荷密度为0ρ的体电荷。

圆柱体内外的介电常数分别为ε和0ε。

若取圆柱体的表面为零电位的参考面，试利用直接积分法求出圆柱体内外的电位和电场强度。

解：取定圆柱坐标系，使z 轴与圆柱体的中心轴线相重合，由电位和电场的对称性可知Φ与ϕ和z 无关。

圆柱体内外的电位1Φ和2Φ分别满足01d 1d d d ρΦρρρρε⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 和 020d 1d d d ρΦρρρρε⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 它们的通解可以分别表示式为()20111ln 4C D ρΦρρρε=-++ 和 222ln C D Φρ=+ 由轴线上的电位应为有限值可得10C =。

而由圆柱体的表面电位为零可得20104a D ρε-+= 和 22ln 0C a D += 即 2014D a ρε= 和 22ln D C a =-于是有 ()()22014a ρΦρρε=-- 和 22ln C aρΦ=代入圆柱体表面电位的法向导数的边界条件12r ar arrΦΦεε==∂∂=∂∂得到0202aC a ρε=-，即20202a C ρε=-。

最后得到圆柱体内外的电位分别为()()22014a ρΦρρε=- 和 2020ln 2a aρρΦε=-而圆柱体内外的电场强度分别为01110d d 2E e e ρρρρΦΦρε=-∇=-= 和 202220d d 2a E e e ρρρΦΦρερ=-∇=-= 3.13 如题3.13图所示，半径为a 的无限长导体圆柱，单位长度的带电量为l ρ。

其一半埋于介电常数为ε的介质中，一半露在空气中。

试求各处的电位和电场强度。

解：根据题意，空间中电位分布与ϕ和z 无关，均满足一维的拉普拉斯方程，即()()211222d 1d 0d d d 1d 0d d r r ΦΦρρρΦΦρρρ⎛⎫∇== ⎪⎝⎭⎛⎫∇== ⎪⎝⎭介质中空气中将上述两方程分别直接积分两次，得出通解为111ln C D Φρ=-+ 和 222ln C D Φρ=-+根据不同介质分界面电位的连续性可知12C C C ==和12D D D ==，即12ln C D ΦΦΦρ===+若设无限长导体圆柱上电位为0，也即()0a Φ=，可得ln D C a =-，即ln C aρΦ=导体圆柱的面电荷密度为()()0S CCεΦρεερ⎧-∂⎪=-=⎨-∂⎪⎩介质中空气中单位长度导体圆柱的电量为0ππl C a C a ρεε=--即0π()lC ρεε=-+于是得到导体圆柱外的电位和电场强度分别为0lnπ()laρΦεερ=+ 和 0π()lE e ρρΦεερ=-∇=+3.14 如题3.14图所示同轴电容器，其中部分填充了介质ε，其余是空气。