θOB CD A⑤1o 2o 3o 0v 1l 2l 3l摩擦力做功几种求法白城一中物理组 / 闫炜平摩擦力做功计算是同学做题时容易疑惑的问题，概括的说分为三种情况，下面举例说明：一、在摩擦力大小、方向都不变的情况下，应该用θcos ⋅⋅=s f W f 可求。

二、在摩擦力大小不变，方向改变时，由微元法，可将变力功等效成恒力功求和。

例1：质量为m 的物体，放在粗糙水平面上。

现 使物体沿任意曲线缓慢地运动，路程为s ，物体与水平面间的动摩擦因数为μ。

则拉力F 做的功为多少？ 解：由微元法可知：F 做的功应等于摩擦力做功总和。

例2：如图所示，竖直固定放置的斜面AB 的下端与光滑的圆弧轨道BCD 的B 端相切，圆弧面半径为R ，圆心O 与A 、D 在同一水平面上，∠COB=θ。

现有一个质量为m 的小物体从斜面上的A 点无初速滑下，已知小物体与AB 斜面间的动摩擦因数为μ。

求（1）小物体在斜面体上能够通过的路程；（2）小物体通过C 点时，对C 点的最大压力和最小压力。

[解析]（1）小物体在运动过程中，只有重力及摩擦力做功，小物体最后取达B 点时速度为零。

设小物体在斜面上通过的总路程为s ，由动能定理得：① 又 由①②式得： （2）小物体第一次到达C 点时速度大，对C 点压力最大。

由动能定理 ④解③④⑤式得 小物体最后在BCD 圆弧轨道上运动，小物体通过C 点时对轨道压力最小。

得：⑥ 解⑥⑦式得由牛顿第三定律知，小物体对C 点压力最大值为最小值 [注意，摩擦力做功的公式s f W ⋅-=中，s 一般是物体运动的路程]三、摩擦力大小、方向都在时刻改变时，速度V 越大时，压力N F 也越大，则由N F f μ=可知N F 越大，f 也越大，摩擦力做功越多。

例1：连接A 、B 两点的弧形轨道ACB 与ADB 是用相同材料制成的，它们的曲率半径相同。

如图所示，一个小物体由A 点以一定初速度v 开始沿ACB 滑到B 点时，到达B 点速率为1v 若小物体由A 点以相同初速度沿ADB 滑到B 点时，速率为2v 与的关系：（ ）A 1v >2vB 1v =2vC 1v <2vD 无法判断 [解析]A 物体沿ACB 运动过程中受竖直向下的重力。

垂直于轨道向上的支持力，沿切线方向的摩擦力，其中重力、支持力不做功，摩擦力做负功，又据圆运动的知识，支持力的平均值小于重力，摩擦力的平均值较小。

物体沿ADB 运动过程中受竖直向下的重力、垂直于轨道向上的支持，沿切线方向的摩擦力，重力、支持力不做功，摩擦力做负功，而此过程中支持力的平均值大于重力，摩擦力较大，而过程运动弧长相同。

所以沿ACB 过程摩擦力做负功较小，到达B 点时速率较大，故选A 正确。

例2：如图所示，地面上有一个半圆形轨道，一小物体（可视为质点）从一端离地面高为h 的A 点自由落下，恰好顺着圆弧运动，从另一端D 点竖直向上射出，其最高点B 距地面的高度为h/2，接着物体从B 点又自由落下，返回到左边的最高点（ ） A 低于C 点 B 高于C 点 C 恰在C 点 D 无法确定[解析]B 物体沿ACDB 运动过程中应用动能定理可知：2/mgh W f =即：由功能关系可知：由C 到D 过程中机械能损失为 2mgh ，同理可知：当物体由BD 到C 过程中损失机械能小于2mgh 故球一定能够高于C 点。

例3：如图所示，在竖直平面内固定着1/4圆弧槽，圆弧槽的半径为R ，它的末端水平，上端离地高H ，一个小球从上端A 点无初速滑下，若小球的水平射程为S ，求圆弧槽阻力做功。

解：设小球脱离滑槽，开始做平抛运动的速度为05年高考试题（选）25．（20分）如图所示，一对杂技演员（都视为质点）乘秋千（秋千绳处于水平位置）从A 点由静止出发绕O 点下摆，当摆到最低点B 时，女演员在极短时间内将男演员沿水平方向推出，然后自己刚好能回到高处A 。

求男演员落地点C 与O 点的水平距离s 。

已知男演员质量m 1和女演员质量m 2之比,221=m m 秋千的质量不计，秋千的摆长为R ，C点低5R 。

（白城一中物理组 / 李松选答案请见2版右下角）大家一起来学习如图所示，滑块A 质量m=0.01kg ，与水平地面间的动摩擦因数μ=0.2。

用细线悬挂的小球质量均为m’=0.01kg 且沿x 轴均匀排列。

A 与第一只小球及小球与相邻小球距离均为s=2m ，且从左至右悬挂小球的线长分别为 …… 当A 与第一只小球间距为2m 时的运动速度 且正好沿着x 轴正向运动。

不计滑块和小球大小且当滑块与球、球与球发生碰撞时机械能守恒，交换速度，碰后任一小球恰好能在坚直平面内做完整的圆周运动。

（ ）（1）最左侧悬挂小球的线长 为多少？ （2）滑块在运动中能与几个小球发生碰撞。

（3）求出碰撞中第n 个球悬线 的表达式。

[解析]（1）设滑块与第一个球碰撞前的速度为1v ，由动能定理得：20212121mv mv umgs -=-滑块与第一个球碰后瞬间球速1v v =，对球上升过程中，由机械能守恒得：2212121221mv mgl mv +=又因为球在最高点时，由牛顿第二定律有， 所以悬挂在最左侧绳长 （2）对滑块由动能定理得200210mv umgs -=- 所以滑块滑行的总路程m s 250=则滑块在滑行过程中与小球碰撞个数5.120==s s n ，应取12个 （3）设滑块与第n 个（n ≦12）球碰前速度为n v 由动能定理得2022121mv mv ns umg n -=⋅-则滑块与球碰后，球速n n v v ='若第n 个悬线长n l 到最高点速度为nn v对小球机械能守恒22'21221n nn n mv mgl mv +=且在最高点由牛顿第二定律有n n l mv mg 2'=联立以上各式g ugns v l n 5)2(20-=[教师评语]这是一道力学习题，可用来培养同学们的复合解题能力、考查的知识点有： ①动能定理 ②机械能守恒③瞬间牛顿第二定律④弹性碰撞时（不损失能量）由动量守恒，能量守恒可知，质量相等发生速度互换现象。

(白城一中一年五班 / 史小汐 投搞)②221cos cmvAB mg mgR =⋅-θμ编委主任 盖雁 主编 闫炜平 本报网址 电子邮箱 ***************2006.04.11 / 星期二06 / 02期 总2期高一版第1版 共2版 主管 白城一中教研所 主办 白城一中高一物理组 排版：张学金 李延铎 我们的目标：从生活走向物理，从物理走向社会！ 印刷：校本部印刷室HS RA B D BCA 0cos =-fs mgR θθμcos mg f =μR S =Rmv mgN c 2max =-③()mg ctg N θθμ⋅-=cos 23max smg s s s s mg W n f ⋅=+++=μμ)(321 R mv mg N c/2'min=-⑦()mg N θcos 23min -= ()221cos 1cmv mgR =-θ ()mgctg N θθμ⋅-=cos 23max 2hAh B D CBv ()R H g S v B -=2221B f mv W mgR =-()R H mgS mgR W f--=42由平抛运动知识得： ①由动能定理得： θctg R AB ⋅=()mgN θcos 23min -=由①②得： ② n l mg ugs v l 84.15)2(201=-=122l mv mg =)(16.02m n -=123.2.1 =n 2/10s m g =s m v /100=3l 2l 1l 1l漫谈“动量定理”的应用动量定理表明为对时间的积累效应使物体的动量发生改变，其适用的范围很广，它不仅适用于恒力情形，而且也适用于变力情形，尤其在解决作用时间短，作用力大小随时间变化的打击、碰撞等问题时，动量定理要比拮牛顿定律方便得多，本文试从几个角度谈动量定理的应用。

一、用动量定理解曲线运动问题[例1]以速度0v 水平抛出一个质量为1kg 的物体，若在抛出5s 后未落地且未与其它物体相碰的，求它在5s 内动量变化（ ）[解析]此题若求出末动量，再求它与初动量的矢量差，则极为繁琐。

由于平抛出去的物体只受重力且为恒力，故所求动量的变化等于重力的冲量。

则：s kgm s kgm mgt Ft p /50/5101=⨯⨯===∆ 注意：①运用0mv mv p -=∆求p ∆初、末速度必须在同一直线上，若不在同一直线，需考虑运用矢量法则或动量定理 Ft p =∆求解p ∆。

②用Ft I =求冲量，F 必须是恒力，若F 是变力，需用动量定理p I ∆=求解I 。

二、用动量定理解变质量问题设在t ∆时间内有m ∆质量的物体参与作用，速度从零变到V ，动量定理可改写成v m t F ⋅∆=∆⋅ 即t v m F ∆⋅∆=)(，t m ∆∆可理解为单位时间内参与作用物体的质量。

[例2]一架质量为M=500kg 的直升飞机，其螺旋桨把空气以v=50m/s 的速度下推，恰使直升飞机停在空中，则每秒种螺旋桨所推空气的质量为多少？[解析]飞机通过向下推空气而获得反冲力F ，飞机停在空中，根据平衡方程，求出飞机与空气的相互作用力F=Mg 。

每秒被推下的空气的动量变化等于飞机推力的冲量。

故mv Mgt Ft ∆==得每秒推下的空气质量三、用动量定理解决碰击问题打击、碰撞过程的相互作用力，一般不是恒力，用动量定理只需讨论初、末状态的动量和作用力的冲量而不必讨论每一瞬时力的大小和加速度的大小问题[例3]蹦床是运动员在一张紧绷的弹性网上蹦跳、翻滚并做各种空中动作的运动项目。

一个质量为60kg 的运动员，从离水平面3.2m 高处自由下落，着网后沿竖直方向蹦回到离水平面5.0m 高处。

已知运动员与网接触的时间为1.2s 。

则运动员对网的平均冲击力是多少？[解析]运动员动量的改变。

将运动员看作质量为的质点，从1h 高处下落，刚接触网时速度的大小为（向下） 弹跳后到达的高度为2h 度大小（向上）设向上的方向为正，对运动员与网接触过程运用动量定理 有： 由牛顿第三定律可知：运动员对网的平均作用力为四、动量定理的应用可扩展到全过程物体在不同阶段受力情况不同，各力可以先后产生冲量，运用动量定理，就不用考虑运动的细节。

[例4]质量为m 的物体静止放在足够大工业水平桌面上，物体与桌面的动摩擦因数为μ，有一水平恒力F 作用在物体上，使之加速前进，经1t 秒撤去力F 后，物体运动的总时间有多长？[解析]本题若运用牛顿定律解决，过程则较为繁琐，运用动量定理则可一目了然。

由于全过程初、末状态动量为零，对全过程运用动量定理 有：01=-umgt Ft 故umg Ft t 1=[说明]同学们可以尝试运用牛顿定律求解，掌握一题多解方法，同时比较各种方法的特点，对今后的学习有较大的帮助。