第一题：证明角平分已知PE 、PF 是⊙O 的切线，A 、B 是一组对径点，PB 交⊙O 于另一点C ，直线AF 、BE 交于D 点。

求证：PCE PCD ∠=∠。

第二题：证明四点共圆如图，AB 是⊙O 的直径，C ,D 是圆上异于A 、B ,且在AB 同侧的两点，分别过C 、D 作⊙的O 切线，它们交于点E ,线段AD 与BC 的交点为F , 线段AB 与EF 的交点为M ,求证：E 、C 、M 、D 四点共圆。

第三题：证明角的倍数关系如图，PE 、PF 是以AB 为直径圆的切线E 、F 是切点，PB 交圆于C 点，AF 、BE 交于D 点，AB 是直径。

求证：ACD DPE ∠=∠2。

第四题：证明线与圆相切已知：ABC ∆中，︒=∠90A ，AD 切⊙ABC ，AD 交BC 延长线于D ，E 是A 关于BC 的对称点，BE AY ⊥于Y ，X 是AY 中点，延长BX 交⊙ABC 于J ，求证：BD 切AJD ∆外接圆第五题：证明垂直已知四边形ABCD 内接于以BD 为直径的圆，设'A 为A 关于BD 为对称点，'B 是B 关于AC 对称点，直线AC 交'DB 于Q ，直线DB 交'CA 于P 。

求证：AC PQ ⊥。

第六题：证明线段相等已知：BC 、BD 是⊙O 切线，C 、D 是切点，BJA 是割线，A 、J 在圆上，J 离B 较近，AO DE ⊥于E ，交AB 于F ，AC 交DE 于G ，求证：FG DF =。

第七题：证明线段为比例中项已知ABC ∆中，BC AC =，M 是AB 的中点，FG 经过点M ，且CFG ∆与ABC ∆有相同的内心。

求证：GM FM AM ⨯=2。

第八题：证明垂直已知：ABC ∆为非直角三角形，AD 平分BAC ∠，D 在BC 上，AC DF ⊥于F ，AB DE ⊥于E ，CE 交BF 于P 。

求证：BC AP ⊥。

第九题：证明线段相等过圆O 外一点P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点分别为C 、D ，过劣弧CD 上一点E 作圆O 的另一条切线分别交PC 、PD 于A 、B ，连结OE 交CD 于点N ，连结PN 交AB 于点M 。

求证：MB MA =。

第十题：证明角平分已知PA 、PB 是⊙O 切线，DE 是过C 的切线，D 、E 分别在AP 、PB 上，AB CF ⊥于F ，连接DF 、EF 。

求证：EFC DFC ∠=∠第十一题：证明垂直设PAB 是圆O 的割线，PC 是切线，CD 是圆O 的直径，DB 、OP 相交于E 。

求证：CE AC ⊥。

第十二题：证明线段相等设C 、D 是以O 为圆心AB 为直径的半圆上两点，过B 做圆O 的切线交CD 于P ，直线PO 交直线CA 、AD 分别于E 、F 。

求证: OF OE =。

第十三题：证明角相等如图，ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、AC 上一点，且BC DE //，BE 、CD 交于点F ，BDF ∆的外接圆⊙O ，与CEF ∆的外接圆⊙P 交于点G ，求证：CAG BAF ∠=∠。

第十四题：证明中点如图，⊙O 、⊙P 交于A 、B 两点，BO 、PA 延长线交于点C ，CD 、CE 分别切⊙O 、⊙P 于D 、E ，连接DE 交AB 于F ，求证：F 为DE 中点。

第十五题：证明线段的二次等式如图，半径不相等的两圆⊙O 、⊙P 交于A 、B 两点，过A 的直线CD 分别交⊙O 、⊙P 于C 、D ，CB 延长线交⊙P 于F ，DB 延长线交⊙O 于E ，过A 作CD 垂线交EF中垂线于G ，求证：AD AC EG AG ⋅+=22第十六题：证明角平分如图，ABC ∆内接于⊙O ，D 为BC 中点，AD 交⊙O 于E ，过E 作BC EF //，交⊙O 于F ，过C 作AC CG ⊥，交AE 于G 。

求证：FGC AGC ∠=∠。

第十七题：证明中点如图，ABC ∆内切圆⊙I 切BC 于D ，过I 作AD IE //交BC 于E ，过E 作⊙I 切线，分别交AB 、AC 于F 、G 。

求证：E 为FG 中点。

第十八题：证明角相等如图，如图，⊙P 、⊙Q 交于A 、B 两点，它们的外公切线CD 分别切⊙P 、⊙Q 于C 、D ，E 为BA 延长线上一点，EC 交⊙P 于F ，ED 交⊙Q 于G ，AH 平分FAG ∠交FG 于H 。

求证：GDH FCH ∠=∠。

第十九题：证明中点如图，⊙O 为ABC ∆外接圆，I 、E 分别为ABC ∆的内心和一个旁心，BAC ∠的外角平分线交BC 延长线于D ，DE IF ⊥于F ，交⊙O 于G 。

求证：G 为IF 中点。

第二十题：证明线段相等如图，在锐角ABC ∆中，C B ∠>∠，F 是BC 的中点，BE 、CD 是高。

G 、H 分别是FD 、FE 的中点，若过A 且平行于BC 的直线交GH 于I 。

求证：IF IA = 第二十一题：证明垂直如图，D 是ABC ∆边BC 上一点，ABD DAC ∠=∠，⊙O 过点B 、D 分别交AB 、AD 于E 、F ，直线BF 交DE 于G ，M 是AG 中点。

求证：AO CM ⊥。

第二十二题：证明角相等如图，如图，CD 为⊙O 直径，PC 、PE 分别切⊙O 于C 、E ，割线PBA 交⊙O 于A 、B ，AC 、BD 交于点F ，DE 交AB 于G ，求证：ADE GFE ∠=∠。

第二十三题：证明四点共圆如图，O 为ABC ∆外心，D 、E 分别为AB 、AC 上一点，DE OF ⊥于F ，L 、M 、N 分别为DE 、BE 、CD 中点。

求证：F 、L 、M 、N 四点共圆。

第二十四题：证明两圆相切如图，ABC ∆内切圆⊙I 切BC 于D ，BC AE ⊥于E ，F 为AE 中点，DF 交⊙I 于G ，作BCG ∆的外接圆⊙O ，求证：⊙O 、⊙I 相切于点G 。

第二十五题：证明线段相等如图，ABC ∆内接于⊙O ，内切圆⊙I 分别切AB 、AC 于J 、K ，AO 交⊙O 于D ，连接DI ，延长CA 到F ，使得BJ AF =，过F 作DI 的垂线交BA 延长线于G ，求证：CK AG =。

第二十六题：证明四条线段相等如图，⊙O 为ABC ∆外接圆，AD 平分BAC ∠交⊙O 于D ，BD OE //交AB 于E ，CD OF //交AC 于F ，H 为ABC ∆垂心，AD HG //交BC 于G ，求证：CF GF GE BE ===。

第二十七题：证明线段比例等式如图，四边形ABCD 中，AC AB =，ABD ∆外接圆⊙1O 交AC 于F ，ACD ∆外接圆⊙2O 交AB 于E ，BF 、CE 交于点G ，求证：CD BD CG BG =。

第二十八题：证明角的倍数关系如图，O 为ABC ∆外心，D 为ABC ∆内一点，使得DCB DAB ∠=∠，DCB DAC ∠=∠，E 为AD 中点，过E 作AD EF ⊥交CB 延长线于F ，连接FA 、FD 、FO ，求证：OFC AFD ∠=∠2。

第二十九题：证明三线共点如图，⊙O 的内接四边形ABCD ，AB 、DC 交于点E ，AD 、BC 交于点F ，EFC ∆的外接圆⊙P 交⊙O 于G ，AG 交EF 于H ，HC 交⊙O 于I ，求证AI 、GC 、FE 三线共点。

第三十题：证明平行如图，ABC ∆中，D 为BC 中点，O 为外心，H 为垂心，E 、F 分别为AB 、AC 上一点，使得AF AE =，且D 、H 、E 三点共线，P 为AEF ∆外心，求证：HD OP //。

第三十一题：证明线段相等如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，E 为四边形内一点，使得ECO EAB ∠=∠，EDC EBA ∠=∠，过点E 的直线FG 平分BEC ∠，交⊙O 于F 、G 两点，求证：EG EF =。

第三十二题：证明四点共圆如图，在ABC ∆中，AD 、BE 、CF 是三条高线，点P 为ABC ∆内部一点，P 关于BC 、CA 、AB 的对称点分别为L 、M 、N ，线段AP 的中点为G ，求证：D 、E 、G 、F 四点共圆的充要条件为A 、M 、L 、N 四点共圆。

第三十三题：证明三角形相似如图，⊙1O 、⊙2O 半径分别为1r 、2r ，⊙1O 、⊙2O 交于A 、B 两点，P 为平面上一点，PC 切⊙1O 于C ，PD 切⊙2O 于D ，且21r r PD PC =，求证：PCA ∆∽PBD ∆。

第三十四题：证明角相等如图，平行四边形ABCD 中，E 为BD 上一点，使得ACD ECB ∠=∠，AC 交ABD ∆外接圆⊙O 于F ，连接EF ，求证：AFD BFE ∠=∠。

第三十五题：证明内心如图，I 是ABC ∆内心，E 为BC 中点，F 为弧BC 中点，EF 中点为N ，BI 中点为M ，MN 交BC 于D ，连接AD ，求证：M 为ABD ∆内心。

第三十六题：证明角平分如图，⊙O 为ABC ∆的外接圆，AF 平分BAC ∠交⊙O 于F ，H 为ABC ∆的垂心，AB CE ⊥于E ，AC BD ⊥于D ，ADE ∆的外接圆⊙P 交⊙O 于G 。

GF 交BC 于I ，求证：IH 平分BHC ∠。

第三十七题：证明垂直在ABC ∆中，O 为外心，三条高AD 、BE 、CF 交于点H ，直线ED 和AB 交于点M ，直线FD 和AC 交于点N ，求证：（1）DF OB ⊥；（2）DE OC ⊥；（3）MN OH ⊥。

第三十八题：证明面积等式如图，ABC ∆和ADE ∆均为等腰直角三角形，︒=∠=∠90AED BAC ，连接BD 、CE ，取CE 的中点F ，连接DF 、BF ，求证：BDF S ∆=()ACE ADE ABC S S S ∆∆∆++321。

三十九题：证明角平分如图，ABC ∆中，旁切圆⊙P 分别切CB 、CA 延长线于D 、E ，旁切圆⊙Q 分别切BC 、BA 延长线于F 、G ，DE 、FG 分别交PQ 于M 、N ，BN 、CM 交于点L 求证：AL 平分BAC ∠。

第四十题：证明角相等如图，平行四边形ABCD 中，E 、F 分别为AD 、CD 上一点，AF 、CE 交于点G ，AEG ∆的外接圆⊙O 与CFG ∆的外接圆⊙P 交于点H ，连接BG 、DH ，求证：HDA GBA ∠=∠。

第四十一题：证明中点如图，PA 、PB 分别切⊙O 于A 、B ，PCD 为⊙O 一条割线，过C 作PB CF //，交AB 于E ，交BD 于F ，求证：E 为CF 中点。

第四十二题：证明中点如图，H 为ABC ∆垂心，D 为BC 中点，过H 作DH EF ⊥分别交AB 、AC 于E 、F ，求证：H 为EF 中点。