7.某保险受益人以年金形式从保险公司分期领取100000元死亡给付金，每月末领取一次，共领取25年，年利率为3％，在领取10年后，保险公司决定通过调整利率至5％来增加后面15年受益人年月的领取额，计算每月年金的增加额。
8.某年金每4年末付款一次，共40年，已知 ，计算该年金现值。
标准递增年金
一、标准递增年金
，这是0岁的人在x岁之前死亡的概率。
2. X的概率密度函数记为f（x），则
3. 表示x岁的人在50岁以后死亡的概率，即在50岁仍然生存的概率。
4. 表示活到x岁的人在x～x+1之间死亡的概率。
5.新生婴儿的平均寿命
3.1.2生存函数
【概念】 ，s（x）称为生存函数，表示0岁的人活过x岁的概率，即在x岁以后死亡的概率。
【符号】
【定义】
名义贴现率 ：指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际贴现率为
【例】：若一年为一个度量期， =8%的名义利率指的是每季度的实际利率为2%，即每年计息4次的年名义利率为8%。
【1】名义利率与实际利率之间的关系
如果 与i等价，则
【2】名义贴现率与实际贴现率之间的关系
同理，如果 与d等价，则
【概念】即计算任意时刻t的年金值。
【符号】V(t)
【1】在首期付款前某时刻的年金现值
【2】在最后一期付款后某时刻的年金积累值
【3】付款期间某时刻的年金当前值
假定付款期限为n，其中第m（m<n）次付款时所有付款的当前值
永续年金
【概念】付款次数没有限制，永远持续的年金就称为永续年金。
【符号】
【例题讲解】P28例2.4.1
重点难点
本章的重点是不同支付方式下支付的时间间隔与单位时间相等或不等情况下年金的计算。
教法教具
讲授法?/谈话法(提问,讨论)
教具:电子ppt
课时分配
4课时
教学内容
具体要点如下：
期末付年金
【概念】在每个付款期间末付款的年金为期末付年金。
【符号】
【公式】
【公式解读】
1.由上式1可推出：
经济意义：等式左边表示在时刻0投资1个单位，等式右边表示资金回收方式：每期期末都可获得利息i,n期利息现值之和为 ，到n期期末，将投资本金收回，折现到时刻0时现值为 。
授课专业
数学与应用数学专业
授课班级
2011级
任课教师
胡素敏
职称
讲师
教学目的和要求
研究保险事故的出险规律、保险事故损失额的分布规律、保险人承担风险的平均损失及其分布规律、保险费和责任准备金等保险具体问题计算方法的应用数学。本课程以寿险精算为主，详细讨论寿险精算的基本原理和基本技术，对非寿险精算中的基本概念和主要问题进行概括性的介绍。
从投资日起第n个时期得到的利息金额记为 ，则
1.1.1实际利率
【定义】某一度量期的实际利率，是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开始时投入的本金金额之比。用字母i表示。
举例1，2加以说明。
1.1.2单利和复利
1.单利法
A(n)=A(0)[1+i(1)+i(2)+……+i(n-1)+i(n)]
2.复利法
寿险精算教案
河南城建学院
教师教案
（2014~2015学年第1学期）
课程名称
精算数学
专业
数学与应用数学
课程类别
专业必修课
授课班级
2011级
主讲教师
胡素敏
职称
讲师
使用教材
《寿险精算》北京理工大学出版社
课程简介
课程名称
精算数学
课程代码
总学时：64学时
讲课：64学时
上机：0学时
实验：0学时
学分
课程类别
专业必修课
重点难点
本章的重点是了解构造生命表的基本过程和各种不同用途的生命表，熟悉生命表的结构，会用精算符号表示有关余命的各种概率，并且会用生命表描述寿命分布。
教法教具
课堂讲授
教具:电子ppt
课时分配
4课时
教学内容
具体要点如下：
生命函数
3.1.1分布函数
【概念】
1.用X表示出生婴儿未来寿命的随机变量，则X的分布函数F(x)则可以表示为
练习题
1.已知 .已知
2.如果现在投资300元，第2年末投资200元，第4年末投资100元，这样在第4年末将积累到700元，求实际利率。
3.一家制造商出售其产品给零售商，后者可以有两种选择：
（1）立即按低于零售价30％的价格付款
（2）6个月后按低于零售价25％的价格付款
则利率为多少时，两种选择无差别？
3.1.3T(x)
【概念】
1.用（x）表示一个x岁的人，T(x)＝X-x表示（x）的未来寿命的随机变量，即剩余寿命，简称余命。
2.
3.T的概率密度函数
4.
5.用生存函数表示死亡率和生存率
3.1.4K(x)
【概念】用K(x)表示（x）的取整余命，即K(x)＝[T(x)]
3.1.5死力
【概念】用生存函数的相对变化率来表示死力，有
教学重点、难点
本课程的重点难点有：
1.各种确定型年金的计算
2.各种寿险趸缴纯保费计算
3.生存年金的计算
4.均衡纯保费计算
5.责任准备金的计算方法
6.保单红利和现金价值的计算
教材和参考书
教材：
《寿险精算》李秀芳傅安平李静中国人民大学出版社
参考书目：
[1]《寿险精算数学》卢仿先曾庆五编着南开大学出版
[2]《保险精算技术》曾庆五等编着 东北财经大学出版社
计息频率与付款频率不同的情况
1.付款频率低于计息频率的年金
期末付年金
假设条件：
每个付款期间内的计息频率为k，
整个付款期的计息次数n
每个计息期利率为i，n，k为整数
付款额为1
则年金现值公式
年金终值公式
期初付年金
假设条件除付款时间改为期初，其他同上。
则年金现值公式
年金终值公式
例每月实际利率为1%，甲于每季度初在银行存款1000元，共存3年，以后2年，每季度初存入2000元，计算甲在第5年末的存款积累值。
[3]《寿险数理基础知识》万峰 中国金融出版社
[4]《利息理论》尚汉冀译 上海科学技术出版社
课题
目的要求
掌握有关利息的基本知识：单利、复利、名义利率、实际利率、贴现率
掌握单利、复利及其终值、现值的计算方法
掌握贴现因子、贴现率及利率的区别与联系
重点难点
本章的重点是各种利率之间的相互转换以及现值和终值的计算。
2.由上式2可推出：
经济意义：等式左边表示在时刻0投资一个单位，每期按复利i计算，到n期期末，投资积累值为 ；等式右边表示投资本金1，每期期末产生利息i，而每期所产生利息又再以利率i再投资，到n期期末积累值之和为 。
3.3式即为在时刻0一次性投资 ，以复利计算，到n期期末的积累值即
4.对于4式，可以这样理解，P等于左边部分，在每期期末投资P个单位，则这些投资值在时刻0的现值之和为 ，到n期期末n期积累值则为 ，这等价于在期初投资1个单位到n期期末积累值 ，即 。
【符号】
【公式】
1.n年定期保险趸缴纯保费
2.终身寿险趸缴纯保费
3.延期终身寿险趸缴纯保费
4.n年期生存保险
5.n年期两全保险趸缴纯保费
4.2【例题讲解】例4.1.1，例，例死亡年末给付的人寿保险
【概念】死亡年末给付指保险金的支付是在死亡发生的年末进行的人寿保险。
【符号】
【公式】
1.n年定期寿险
2.终身寿险趸缴纯保费
【例题讲解】P19-20
期初付年金
【概念】在每个付款期间初付款的年金为期末付年金。
【符号】
【公式】
【公式解读】公式1与期末付年金现值公式相比较，差别在于分母不同，在期末付年金公式终，i是利息在每期期末支付的度量标准；而期初付年金公式中d是利息在每期期初支付的度量标准。
【例题讲解】P23例2.2.1
任意时刻的年金值
教法教具
讲授法?/谈话法(提问,讨论)
教具:电子ppt
课时分配
4课时
教学内容
具体要点如下：
1.1实际利率与实际贴现率
【概念】本金、利息、积累值、度量期
【符号】
本金为1单位的投资在时刻t的积累值为积累函数 ，也称为t期积累因子
本金为k单位的投资在时刻t的积累值为 ，则
为t期折现因子或折现函数， 简称为折现因子，并记为
【定义】一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末投资可回收金额之比，通常用字母d表示。
若 ，则
这种情况下的贴现做复贴现。
贴现率d和折现因子v之间的关系
1.2名义利率和名义贴现率
【概念】：若在一个度量期中利息支付不止一次或在多个度量期利息才支付一次，则称相应的一个度量期的利率和贴现率为“名义”的。
二、标准递减年金
作业
P31 1~9
课题
目的要求
通过本章的教学，使学生了解寿险的分布，从统计上掌握死亡的规律，并了解构造生命表的基本过程和各种不同用途的生命表。
了解生存函数和死力的概念
熟悉生命表的结构，会用精算符号表示有关余命的各种概率，会用生命表描述寿命分布
了解年龄间的寿命分布假设描述寿命分布
生命表的类型，了解选择――终极表
重点难点
本章的重点是定期死亡保险趸缴纯保费的计算、终身死亡保险趸缴纯保费的计算、生存保险趸缴纯保费的计算、两全保险趸缴纯保费的计算、递增型寿险趸缴纯保费，以及递减型寿险趸缴纯保费的计算。
教法教具
课堂讲授ppt
课时分配
6课时