第二章 平面汇交力系与平面力偶系2−1分别用几何法和解析法求图示四个力的合力。

已知力F 3水平，F 1=60N ，F 2=80N ，F 3=50N ，F 4=100N 。

解： (一) 几何法用力比例尺，按F 3、F 4、F 1、F 2的顺序首尾相连地画出各力矢得到力多边形abcde ，连接封闭边ae 既得合力矢F R ，如图b 所示。

从图上用比例尺量得合力F R 的大小F R =68.8N ，用量角器量得合力F R 与x 轴的夹角θ=88°28′，其位置如图b 所示。

(二) 解析法以汇交点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图c 所示。

首先计算合力在坐标轴上的投影N79.68511002180103605121103N85.152100502180101605221101421R 4321R =⨯-⨯+⨯=-+==-=⨯-+⨯+⨯-=-++-==∑∑F F F F F F F F F F F y y x x然后求出合力的大小为N 81.6879.68)85.1(222R 2R R =+-=+=y x F F F设合力F R 与x 轴所夹锐角为θ，则82881838.3785.179.68tan R R '︒====θθxy F F再由F R x 和F R y 的正负号判断出合力F R 应指向左上方，如图c 所示。

习题2−1图(b)(c) 2 4(a) 0 25 50kN2−2一个固定的环受到三根绳子拉力F T1 、F T2 、F T3的作用，其中F T1，F T2的方向如图，且F T1=6kN ，F T2=8kN ，今欲使F T1 、F T2 、F T3的合力方向铅垂向下，大小等于15kN ，试确定拉力F T3的大小和方向。

解： 以汇交点为坐标原点，建立直角坐标系xOy ，如图b 所示。

计算合力在坐标轴上的投影)2(15sin 238sin 30cos )1(0cos 21860cos 30sin 332R 3321R -=⨯-⨯--=-︒-===-⨯+=-︒+==∑∑θθθθT RT T y yT T T T x x F F F F F F F F F F F F由式（1）、（2）联立，解得4538,85.123'︒==θkN F T 。

2−3图示三角支架由杆AB 、AC 铰接而成，在铰A 处作用着力F ，杆的自重不计，分别求出图中三种情况下杆AB 、AC 所受的力。

习题2−2图(b) (a) FA(a)(b) 习题2−3图(c)解：建立直角坐标系xOy ，如图g 所示。

（a ）取节点A 为研究对象。

其受力如图d 所示。

列平衡方程F F F F F F FF F F F FAC AB C A AB xAC C A y58.05.0155.160cos 060cos ,0155.1060sin ,0=⨯=︒==︒-===-︒=∑∑（b ）取节点A 为研究对象。

其受力如图e 所示。

列平衡方程)2(030sin 60sin ,0)1(030cos 60cos ,0=-︒+︒==︒-︒=∑∑F F F FF F F B A AC yAB C A x由式（1）、（2）联立，解得F F F F AC AB 87.0,50.0==。

（c ）取节点A 为研究对象。

其受力如图f 所示。

列平衡方程FF F F F F FF F F F FAC AB B A AC yABAC AB C A x58.0060sin 60sin ,0060cos 60cos ,0===-︒+︒===︒-︒=∑∑2−4杆AB 长为l ，B 端挂一重量为G 的重物，A 端靠在光滑的铅垂墙面上，而杆的C 点搁在光滑的台阶上。

若杆对水平面的仰角为θ，试求杆平衡时A 、C 两处的约束力以及AC 的长度。

杆的自重不计。

解：取整体为研究对象，其上受一汇交于O 点的平面汇交力系作用，如图b 所示。

建(f)(e)(d F F AB F AC 60° A Ox y (g)习题2−4图(a)x (b)立直角坐标系xAy ，如图b 所示。

列平衡方程θθθθθθθθGtg G F F F F FG GF G F FNC NA NC NA xNC C N y====-====-=∑∑cos sin sin 0sin ,0sec cos 0cos ,0在直角三角形ABO 中AB AO=θcos ，则θcos l AO =。

在直角三角形AOC 中AOAC =θcos ，则θθ2cos cos l AO AC ==。

2−5图示铰接四连杆机构中，C 、D 处作用有力F 1、F 2。

该机构在图示位置平衡，各杆自重不计。

试求力F 1和F 2的关系。

解：（1）取节点C 为研究对象，受力如图b 所示.。

建水平的x 轴如图b 所示.，列平衡方程)1(030cos 15cos ,01=︒+︒=∑F F FCD x（2）取杆CD 为研究对象，受力如图c 所示，其中F ′CD =–F CD （F ′CD =F CD ）。

由二力平衡知F ′DC =F ′CD =F CD（3）取节点D 为研究对象，受力如图d 所示.。

其中F DC =–F ′DC （F DC = F ′DC = F CD ）。

建y 轴与力F DB 垂直，如图d 所示.，列平衡方程)2(030sin 60sin 030sin 60sin ,022=︒+︒=︒+︒=∑F F F F FCD DC y由方程（1）、（2）联立可得644.060sin 30cos 15cos 30sin 21=︒︒︒︒=F F 习题2−5图(a)F ′CD(c)F (b)(d)22−6用一组绳挂一重量G =1kN 的物体，试求各段绳的拉力。

已知1，3两段绳水平，且α=45º，β=30º。

解：（1）取物体及铅垂的绳子为研究对象，其上一汇交于A 点的平面汇交力系作用，如图b 所示。

建立直角坐标系xOy ，如图d 所示。

列平衡方程kNG G F F F F FkN G GG F G F FT T T T xT T y145cos 2cos 0cos ,041.112245sin sin 0sin ,0212!22==︒===+-==⨯==︒===-=∑∑αααα （2）取节点B 为研究对象，受力如图c 所示，其中F ′T 2=–F T 2（F ′T 2=F T 2=1.41kN ）。

列平衡方程kN F F F F F F F kNF F F F FT T T T T T x T T T T y58.12115.12241.130sin 45cos 0sin cos ,015.130cos 45sin 41.130cos 45sin 0sin cos ,04234232424=⨯+⨯=︒+︒'==-'-==︒︒⨯=︒︒'=='-=∑∑βααβ2−7重物M 悬挂如图，绳BD 跨过滑轮且在其末端D 受一大小为100N 的铅垂力F 的作用，使重物在图示位置平衡。

已知α=45º，β=60º。

不计滑轮摩擦，试求重物的重量G 及绳AB 段的拉力。

习题2−6图2(b)T 3(c) (a) Oxy(d)习题2−7图(a)F (b)解：取物体及铅垂的绳子为研究对象，受力如图b 所示。

由于绳子的张力处处相等，则F T 的大小F T =F ，方向如图b 所示。

列平衡方程N F F G G F F F NF F F F FT TAB T TAB y T TAB T TAB x60.136211002249.12260cos 45cos 0cos cos ,049.12245sin 60sin 10045sin 60sin 0sin sin ,0=⨯+⨯=︒+︒==-+==︒︒⨯=︒︒==+-=∑∑βαβα2−8试计算下列各图中力F 对O 点之矩。

解：（a ）M O =Fl ；（b ）M O =0；（c ）M O =Fl sin α；（d ）M O =−Fa ；（e ）M O =F （l +r ）；（f ）M O =Fl sin α2−9已知梁AB 上作用一力偶，力偶矩为M ，梁长为l ，梁重不计。

试求在图a ，b ，c 三种情况下，支座A 和B 的约束力。

(a)(b)(c)F(f) (e) (d)习题2−8图解：（a ）取梁AB 为研究对象。

主动力为作用其上的一个主动力偶。

B 处是滑动铰支座，约束力F B 的作用线垂直于支承面；A 处是固定铰支座，其约束力方向不能确定；但梁上荷载只有一个力偶，根据力偶只能与力偶平衡，所以力F A 与F B 组成一个力偶，即F A =−F B ，力F A 与F B 的方向如图d 所示。

列平衡方程lMF F M l F MB A A i===-=∑00（b ）取梁AB 为研究对象。

主动力为作用其上的一个主动力偶。

B 处是滑动铰支座，约束力F B 的作用线垂直于支承面；A 处是固定铰支座，其约束力方向不能确定；但梁上荷载只有一个力偶，根据力偶只能与力偶平衡，所以力F A 与F B 组成一个力偶，即F A =−F B ，力F A 与F B 的方向如图e 所示。

列平衡方程lMF F M l F MB A A i===-=∑00（c ）取梁AB 为研究对象。

主动力为作用其上的一个主动力偶。

B 处是滑动铰支座，约束力F B 的作用线垂直于支承面；A 处是固定铰支座，其约束力方向不能确定；但梁上荷载只有一个力偶，根据力偶只能与力偶平衡，所以力F A 与F B 组成一个力偶，即F A =−F B ，力F A 与F B 的方向如图f 所示。

列平衡方程2−10简支梁AB 跨度l =6m ，梁上作用两个力偶，其力偶矩M 1=15kN·m ，M 2=24kN·m ，转向如图所示，试求支座A 、B 处的约束力。

l l l（a ） （c ）（b） 习题2−9图l （e ） F l （d ） F l （f ）B)cos (0cos 0θθl M F F M l F M B A A i ===-⨯=∑解：取简支梁AB 分析。

主动力为作用其上的两个主动力偶。

B 处是滑动铰支座，约束力F B 的作用线垂直于支承面；A 处是固定铰支座，根据力偶只能与力偶平衡，所以力F A 与F B 组成一个力偶，即F A =−F B ，力F A 与F B 的指向假设如图b 所示。

列平衡方程kNl M M F F M M l F MB A A i5.16241502121=+-=+-===-+=∑2−11铰接四连杆机构OABO 1在图示位置平衡，已知OA =0.4m ，O 1B =0.6m ，一个力偶作用在曲柄OA 上，其力偶矩M 1=1N·m ，各杆自重不计，求连杆AB 所受的力及力偶矩M 2的大小。