B A ， ，C中有不多于一个事件发生}可以表示成
ABC ABC ABC ABC
34
例3 某城市的供水系统由甲、乙两个水源与三部 分管道1，2，3组成，每个水源都足以供应城市的 用水，设事件 Ai { 第 i 号管道正常工作 }( i 1, 2, 3 ) 甲 乙 于是 “城市能正常供水”这一事件可表示为 “城市断水”这一事件可表示为 1 3 2 城市
样本空间的分割
若 A1，A2，……，An 有
1.
2.
Ai互不相容；
A1A2 ……An= Ω
则称 A1，A2，……，An 为Ω的一组分割.
•A1
•A5 •A4
•A2
•A3
•例
用图示法简化( A B)( A B ) .
•红色 •区域
AB •
B •A( A • )
B

•交
•黄色
•区域
•A
( A B )
•A
•

( A B)( A B ) A
B

例1 设A={ 甲来听课 }，B={ 乙来听课 } ，则： A B {甲、乙至少有一人来} A B {甲、乙都来} A B AB {甲、乙都不来} A B AB {甲、乙至少有一人不来}
10
(2) 试验的所有可能结果:
(3) 进行一次试验之前不能 确定哪一个结果会出现. 故为随机试验.
11
§2 样本空间· 随机事件
(一)样本空间
E1 抛一枚硬币，观察正面H，反面T出现的情况
H T
13
E2 将一枚硬币连抛两次，观察正面H反面T出现的情况
H
H
H
T
T
H
T
T
14
E3 将一枚硬币连抛两次，观察正面H出现的次数
33
例2 设
C A，B， 是随机事件，则事件
{
{ { { {
C A与 B发生， 不发生}可以表示成 ABC AB C BC A ， ， 恰好发生两个}可以表示成 ABC ABC ABC BC A ， ， 至少有一个发生}可以表示成 A B C BC A ， ， 至少有两个发生}可以表示成 AB AC BC
•
A

B
21
E2 A { 两次都出现正面 } { HH }
B { 两次出现反面 } { TT }
A B
n
称 称
A 为 n 个事件 A，A ， ，A 的和事件；
k k 1
1
2
n
A 为 可列 个事件A , A ,, A ,的和事件
k 1 2 k k 1
22
积事件
18
E6 在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命，
规定电视机的寿命超过10000小时时为合格品 满足这一条件的样本点组成
S 6 的一个子集
称事件A在某次试验中发生。
19
（三）事件间的关系与运算
随机试验E的样本空间
其他事件 A,B,C,Ak (k 1, 2,3,)
20
和事件
A B { A或 B }
•种瓜得
瓜，种 豆得豆
•（不确定性、统计规律性） •多次重复抛
•世界上
•随机试验
没有两 片相同 的树叶
掷一枚硬币， 得到正面朝 上的次数大
二、随机现象 1.确定性现象
(Random phenomenon)
自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
在一定条件下必然发生
的现象称为确定性现象.
4
2. 随机现象
35
课堂练习
•
• •
1. 若A 是 B 的子事件，则 AB = •(B )， AB =•A (
) )
•
• • •
•③ 2. 设 A 与B 同时出现时 C 也出现，则( ① AB 是 C 的子事件； ② C 是 AB 的子事件； ③ AB 是 C 的子事件； ④ C 是 AB 的子事件.
3. 设事件 A = “甲种产品畅销，乙种产品滞销” ， •④ • 则 A 的对立事件为（ ） • ① 甲种产品滞销，乙种产品畅销； • ② 甲、乙两种产品均畅销； • ③ 甲种产品滞销； • ④ 甲种产品滞销或者乙种产品畅销. •4. 设 x 表示一个沿数轴做随机运动的质点位置， • 试说明下列各对事件间的关系 •AB • ① A ={|xa|＜σ}，B ={x a＜σ} •相容 • ② A ={x＞20}， B ={x≤22} •不相容 • ③ A ={x＞22}， B ={x＜19}
在一定条件下可能出现也可能不出现的现象 称为随机现象. 实例1 “在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观 察正反两面出现的情况”.
5
实例2
“用同一门炮向同
一目标发射同一种炮弹多
发 , 观察弹落点的情况”.
结果: “弹落点会各不相同”. 实例3 “抛掷一枚骰子,观 结果有可能为:
察出现的点数”.
6
实例4
故在每次试验中事件A ， 中必有一个且仅有一个发生 A
A也是 A 的对立事件，所以称事件A与A互逆
27
若事件A表示“某公司今年年底结算将不亏损”
则事件 A表示“某公司今年年底结算将亏损”.
A

A
28
按差事件和对立事件的定义，显然有A B AB
A
B

A
B

29
运算规律
1.交换律 A B B A A B B A 2.结合律 A ( B C ) ( A B) C
概率论与 数 理 统 计
学 时： 约48课时 选用教材： 盛骤等
主
编
《概率论与 数 理 统 计》第四版
2008 ，高等教育出版社
1
绪言
•
在我们所生活的世界上，充满了不确定性．
第一章 概率论的基本概念
•现实世界中
的客观现象
•确定性现象
•（条件完全决定结果）
•非确定性现象
•（条件不能完全决定结果） •随机现象
k 1
24
差事件
A B { A且 B}
E2 A { HH , TT } B { HH , HT }
A
B
25

互斥
Байду номын сангаас
A B
则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的
A B 事件A和事件B不能同时发生
A
B
26

对立事件
A A
A A
“从一批含有正品
其结果可能为:
和次品的产品中任意抽取
一个产品”.
实例5
“过马路交叉口时,
可能遇上各种颜色的交通
指挥灯”.
7
说明 1. 随机现象揭示了条件和结果之间的非确定性联
系 , 其数量关系无法用函数加以描述.
2. 随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶然 性, 但在大量重复试验或观察中, 这种结果的出现 具有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现 象这种本质规律的一门数学学科.
如何来研究随机现象?
随机现象是通过随机试验来研究的. 问题 什么是随机试验?
8
§1 随机试验
随机试验E (Random experiment)
1. 可以在相同的条件下重复进行 2．试验的可能结果不止一个，并且能事先 明确试验的所有可能结果．
3．进行试验之前不能确定哪一个结果会出现
9
实例 “抛掷一枚硬币,观 察正面,反面出现的情况”.
A B { A且 B}
B

A
23
某输油管长100 km
事件A { 前50 km油管正常工作 }
事件B { 后50 km油管正常工作 }
称 Ak 为n个事件A1，A2， ，An的积事件；
k 1
n
称 Ak 为可列个事件A1 , A2 ,, An , 的积事件
0次
T
T
H
T
1次
2次
H H T H
15
E4 在某一批产品中任选一件，检验其是否合格
16
E5 记录某大超市一天内进入的顾客人数
E6 在一大批电视机中任意抽取一台，测试其寿命
E7 观察某地明天的天气是雨天还是非雨天
17
(二)随机事件(Random
Events)
随机事件
实例 抛掷一枚骰子, 观察出现的点数.
A ( B C ) ( A B) C
3.分配律 A ( B C ) ( A B) ( A C )
A ( B C ) ( A B) ( A C )
4.对偶律 A B A B
A B A B
30
注：这些运算规律可以推广到任意多个事件上去