初二上学期：轴对称—最小值问题专项
轴对称图形及图形的轴对称之间的联系与区别：
如果一个图形沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴；
把一个图形沿着某条直线折叠，如果他能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（轴对称），这条直线就是对称轴．
两图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点．
区别：轴对称图形是一个具有特殊性质的图形，而轴对称是说两个图形之间的位置关系．
联系：若把轴对称的两个图形视为一个整体，则它就是一个轴对称图形；
若把轴对称图形在对称轴两旁的部分视为两个图形，则这两个图形就形成轴对称的位置关系．
轴对称的性质是什么？
①关于某直线对称的两个图形是全等的．
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线段的垂直平分线．
③两个图形关于某直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
④如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成轴对称．
线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正多边形及圆等都是常见的轴对称图形．
中考考点研究：
①关于轴对称图形：有关这一考点的试题非常多，主要涉及轴对称图形及其对称轴的识别．
②关于轴对称的性质与作图；求最小值就是其中重要考点之一.
③关于现实生活中轴对称图形（镜面对称）与利用轴对称进行图案设计．主要考查应用意识，多为容易.
典型例题
例1.如图，点P关于OA、OB对称点分别是P1、P2，P1P2分别交OA、OB于点M、N，P1P2=6cm，则△PMN 的周长为．
变式：如图，P为△BOA内任一点，在OB上找一点M，在OA上找一点N，使得△PMN的周长最短．
例2.如图，请你用三种方法把左边的小正方形分别平移到右边三个图形中，使它成为轴对称图形.
例3.在剪纸中,如果所用的纸张对折了n次(n≥1且n为整数)，那么剪出来的图案至少有______条对称轴.
如图，把边长为1的正方形ABCD的对角线AC分成n段，以每一段为对角线作正方形，所有小正方形的周长之和为．
例4.如图，∠3=30°,为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1的度数为 _______ °.
下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为_______ .
例5.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE 的和最小，则这个最小值为 _______ .
第6题变式1 变式2
变式1:如图在正方形ABCD中,E是AB上一点,BE=2,AE=3BE,P是AC上一动点,则PB+PE的最小值是 _______ . 变式2:如图正方形ABCD中,AB=4，E是BC的中点,点P是对角线AC上一动点,则PE+PB的最小值为_______ .
例6.已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M 、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= _______．
例7.已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD=2，BC=DC=5，点P 在BC 上移动，则当PA+PD 取最小值时，
△APD 中边AP 上的高为（ ）.A 、17
17
2
B 、17174
C 、 17
178
D 、3
变式：如图，在梯形ABCD 中，AB∥CD，∠BAD=90°，AB=6，对角线AC 平分∠BAD，点E 在AB 上，且AE=2（AE ＜AD ），点P 是AC 上的动点，则PE+PB 的最小值是_________.
例8.圆柱形玻璃杯高为12cm 、底面周长为18cm ，在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正
好在杯外壁，离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为 cm ．
例9.如图，四边形ABCD 中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN＋∠ANM 的度数为( ). A ．130° B ．120° C ．110° D ．100°
例10.如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的角平分线交DC于点E，点P、Q分别是边AD和AE上的动点（两动点不重合）．
（1）PQ+DQ的最小值是_______.
（2）说出PQ+DQ取得最小值时，点P、Q的位置，并在图中画出；
（3）请对（2）中你所给的结论进行证明．
例11.如图，在锐角△ABC中，AB=6，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M，N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_______.
例12.如图，在△ABC中，∠C=90°，CB=CA=4，∠A的平分线交BC于点D，若点P、Q分别是AC和AD上的动点，求CQ+PQ的最小值.
例13.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的是_________(填序号).
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
思考练习:
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，点D是BC边上的点，CD=1，将△ABC沿直线AD翻折，使点C 落在AB边上的点E处，若点P是直线AD上的动点，则△PEB的周长的最小值是_______．
2.如图，在锐角△ABC中，AB＝42，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是_______．
坐标系中的轴对称、最小值
例1.如图，在平面直角坐标系中，有A(1，2)，B(3，3)两点，现另取一点C(a，1)，当a＝时，AC＋BC的值最小．
例2.如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是 ________.
O x
y B D
A C P 例3.一次函数y kx b =+的图象与x 、y 轴分别交于点A （2，0），
B （0，4）．
（1）求该函数的解析式； （2）O 为坐标原点，设OA 、AB 的中点分别为C 、D ，P 为OB 上一动点， 求PC ＋PD 的最小值，并求取得最小值时P 点坐标．
例4.如图，一次函数的图象过点P （2，3），分别交x 、y 的正半轴于A 、B ，求△AOB 面积的最小值．
例5.如图，在平面直角坐标系中，Rt △OAB 的顶点A 在x 轴的正半轴上．顶点B 的坐标为（3，），点C
的坐标为（，0），点P 为斜边OB 上的一个动点，求PA+PC 的最小值.
例6.点A 、B 均在由面积为1的相同小矩形组成的网格的格点上，建立平面直角坐标系如图所示．若P 是x
轴上使得PA PB -的值最大的点，Q 是y 轴上使得QA 十QB 的值最小的点，求OP OQ ⋅的值.
例7.如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是菱形，点A 的坐标为（3，4），点C在x轴的正半轴上，连接AC、OB．
（1）求直线AC的解析式；
（2）若点P、Q分别是OB、OC上的动点，连接CP、PQ，试探究：CP+PQ是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
变式:
如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线OC交于点C．
（1）若直线AB解析式为y=-2x+12，直线OC解析式为y=x，①求△OAC的面积．
（2）如图2，作∠AOC的平分线ON，若AB⊥ON，垂足为E，△OAC的面积为6，且OA=4，P、Q分别为线段OA、OE上的动点，连接AQ与PQ，试探索AQ+PQ是否存在最小值？若存在求出这个最小值；若不存在，说明理由.。